Головна ⇒ 📌ГДЗ з математики ⇒ Розв’язання задач за допомогою рівнянь

Розв’язання задач за допомогою рівнянь

79. Нехай Петро купив х зошитів у клітинку, тоді у лінійку він купив (x + 6) зошитів. Усього він купив (х + x + 6) зошитів, або 24 зошити за умовою.

Отже, х + х + 6 = 24; 2х = 24 – 6; 2х = 18; х = 18 : 2; х = 9 зошитів куплено у клітинку; 9 + 6 = 15 зошитів куплено у лінійку. Під повідь: 15 зошитів у лінійку, 9 зошитів у клітинку.

80. Нехай із ‘ другого дерева зібрали х кг вишень, тоді з першого зібрали (х – 12,6) кг вишень. Разом зібрали 65,4 кг вишень.

Отже, х + х – 12,6 = 65,4; 2х = 65,4 + + 12,6; 2х = 78; х = 39 (кг) вишень зібрали з другого дерева; 39 – 12,6 = 26,4 (кг) вишень зібрали з першого дерева.

Відповідь:

26,4 кг і 39 кг.

81. Нехай х см – менша сторона прямокутника, тоді (х + 1,3) см – більша сторона прямокутника. Його периметр 2(х + х + 1,3) см, або 7,8 см за умовою. Маємо рівняння:

2(х + х + 1,3) = 7,8; 2х + 1,3 = 7,8 : 2; 2х + 1,3 = 3,9; 2х = 3,9 – 1,3; 2х = 2,6; х = 2,6 : 2; х = 1,3 см – довжина меншої сторони; 1,3 + 1,3 = 2,6 (см) – довжина більшої сторони.

Відповідь: 2,6 см; 1,3 см; 2,6 см; 1,3 см.

82. Нехай х см – довжина меншої сторони прямокутника, тоді 11х см – довжина більшої сторони прямокутника. Р = (х + 11х) • 2, а за умовою 144 см.

Отже, (х + 11х) • 2 = 144; 24х = 144; х = 144 : 24; х = 6 см – довжина меншої сторони; 11 • 6 = 66 см – довжина більшої сторони.

Відповідь:

6 см; 66 см.

83. Нехай висота Говерли х м, тоді висота Бребенескул (х – 29) м, а Петри – (х – 41) м. Сума їхніх висот дорівнює 6113 м, тому х + (х – 29) + (х – 41) = 6113; х + х – 29 + х – 41 = 6113; 3х – 70 = 6113; 3х = 6113 + 70; 3х = 6183; х = 6183 : 3; х = 2061 (м) – висота Говерли; 2061 – 41 = 2020 (м) – висота Петри; 2061 – 29 = 2032 (м) – висота Бребенескул.

Відповідь: 2061 м, 2020 м, 2032 м.

84. Нехай глибина Каскадної печери х м, тоді глибина Солдатської печери 1,2х м, а глибина Нахімовської печери (х – 26) м. Сума їхніх глибин 1874 м, тому х + 1,2х + х – 26 = 1874; 3,2х = 1874 + 26; 3,2х = 1900; х = 1900 : 3,2; х = 593,75 (м) – глибина Каскадної печери; 593,75 • 1,2 = 712,5 (м) – глибина Солдатської печери; 593,75 – 26 = 567,75 (м) – глибина Нахімовської печери.

Відповідь: 712,5 м; 593,75 м; 567,75 м.

85. Нехай у будинку X однокімнатних квартир, тоді двокімнатних 2х квартир, а трикімнатних (х + 24) квартир. Всього в будинку 160 квартир.

Тому х + 2х + х + 24 = 160; 4х = 160 – 24; 4х = 136; х = 136 : 4; х = 34 – однокімнатних квартир у будинку; 34 • 2 = 68 – двокімнатних квартир у будинку; 34 + 24 = 58 – трикімнатних квартир у будинку.

86. Нехай другий робітник виготовив х деталей, тоді перший робітник виготовив 3х деталей, а третій – (х + 16) деталей. Троє робітників виготовили 96 деталей, тому х + 3х + х + 16 = 96; 5х = 96 – 16; 5х = 80; х = 80 : 5; х = 16 деталей виготовив другий робітник; 16 • 3 = 48 деталей виготовив перший робітник; 16 + 16 = 32 деталі виготовив третій робітник.

Відповідь: 48 деталей, 16 деталей, 32 деталі.

87. Нехай у третьому цеху працює х робітників, тоді у першому цеху працює 4/9х робітників, а в другому цеху – 0,8х робітників. Усього в трьох цехах працює 101 робітник.

Отже,

робітників у третьому цеху; робітників у першому цеху; 0,8 • 45 = 36 робітників у другому цеху.

88. Нехай за 1-й день велосипедисти проїхали х км, тоді за 2-й день вони проїхали 1,2х км, а за 3-й день 4/5х км. Довжина всього маршруту становить 270 км, тому ; х + 1,2х + 0,8х = 270; 3х = 270; х = 270 : 3; х = 90 (км) проїхали велосипедисти за 1-й день;

1,2 • 90 = 108 (км) проїхали велосипедисти за 2-й день;

4/5 • 90 = 72 (км) проїхали велосипедисти за 3-й день.

89. Нехай у кожному маленькому ящику було х кг яблук, тоді у кожному великому (х + 6) кг яблук. У 6 великих було 6(x + 6) кг яблук, а у 8 маленьких було 8x кг яблук. Всього було 232 кг яблук, тому 6(х + 6) + 8x = 232; 6x + 36 + 8x = 232; 14x = 232 – 36; 14x = 196; x = 196 : 14; x = 14 кг яблук було у кожному маленькому ящику; 14 + 6 = 20 кг яблук було у кожному великому ящику.

90. Нехай у кожному ряді другого залу x місць, тоді у кожному ряді першого залу (x + 4) місць. У першому залі всього 12(x + 4) місць, а у другому залі всього 15x місць. Всього у двох залах 534 місця, тому

12(x + 4) + 15x = 534; 12x + 48 + 15x = 534; 27x = 486; x = 18 місць у кожному ряді другого залу; 18 + 4 = 22 місця у кожному ряді першого залу; 18 • 15 = 270 місць у другому залі; 22 • 12 = 264 місця у першому залі.

91. Нехай швидкість велосипедиста х км/год, тоді швидкість мотоцикліста (x + 48) км/год. Відстань між містами 0,8(x + 48) км, або 4x км. Маємо рівняння: 4x = 0,8(x + 48); 4x = 0,8x + 38,4; 3,2x = 38,4; x = 38,4 : 3,2; х = 12 км/год – швидкість велосипедиста; 12 + 48 = 60 км/год – швидкість мотоцикліста.

92. Нехай 1 кг цукерок другого виду коштує x грн., тоді 1 кг цукерок першого виду коштує (x + 12) грн. За цукерки другого виду заплатили 3,5x грн., а за цукерки першого виду – 2(x + 12) грн. За умовою задачі за цукерки заплатили однакову кількість грошей, тому

3,5X = 2(X + 12); 3,5x = 2x + 24; 3,5x – 2x = 24; 1,5x = 24; x = 24 : 1,5; x = 16 грн. коштує 1 кг цукерок другого виду;

16 + 12 = 28 грн. коштує 1 кг цукерок першого виду.

93. Нехай 1 кг огірків коштує л грн., тоді 1 кг помідорів коштує (x + 0,8) грн. За 3,2 кг помідорів заплатили 3,2(x + 0,8) грн., а за 3,6 кг огірків 3,6x грн.

Маємо рівняння:

3,6x = 3,2(x + 0,8); 3,6x = 3,2x + 2,56; 3,6x – 3,2x = 2,56; 0,4x = 2,56; x = 2,56 : 0,4; x = 6,4 (грн.) коштує 1 кг огірків;

6,4 + 0,8 = 7,2 грн. коштує 1 кг помідорів.

Відповідь: 7,2 грн.

94. Нехай у другому баку було x л води, тоді в першому баку було 3x л води. Коли в 1-й бак долили 16 л води, в ньому стало (3x + 16) л води, а в 2-й бак долили 80 л води, в ньому стало (x + 80) л води. Води в баках стало порівну, тому

3x + 16 = х + 80; 3x – х = 80 – 16; 2x = 64; x = 64 : 2; x = 32 (л) води було у другому баку; 32 • 3 = 96 (л) води було в першому баку.

95. Нехай на другій полиці було х книг, тоді на першій полиці було 4x книг. Коли з першої полиці взяли 5 книг, на ній стало (4x – 5) книг. Коли на другу полицю поставили 16 книг, на ній стало (x + 16) книг. Книг на полицях стало порівну, тому 4x – 5 = x + 16; 4x – x = 16 + 5; 3x = 21; x = 21 : 3; x = 7 книг було на другій полиці; 7 • 4 = 28 книг було на першій полиці.

96. Нехай через x років батько буде старше за сина в 5 разів. Тоді батькові буде (26 + x) років, а синові (2 + x) років. Маємо рівняння:

(2 + x) • 5 = 26 + x; 10 + 5x = 26 + x; 5x – x = 26 – 10; 4x = 16; x = 16 : 4; x = 4.

Через 4 роки батько буде старше за сина в 5 разів.

97. Нехай x років тому донька була молодша від матері в 3 рази. Тоді матері було (40 – x) років, доньці (18 – x) років. Маємо рівняння:

40 – x = 3 • (18 – x); 40 – x= 54 – 3x; 3x – x = 54 – 40; 2x = 14; x = 7 років тому доньку була в 3 рази молодша від матері.

98. Нехай орфографічних словників було x, тоді тлумачних було (40 – x). За орфографічні словники заплатили 15x грн., а за тлумачні – 24(40 – x) грн. За все разом заплатили 690 грн.

Тому: 15x + 24(40 – x) = 690; 15x + 960 – 24x = 690; 15x – 24x = 690 – 960; -9x = -270; x = -270 : (-9); x = 30 орфографічних словників було куплено;

40 – 30 = 10 тлумачних словників було куплено.

99. Нехай на перший рахунок вкладник поклав х грн., тоді на другий – (3000 – х) грн. Прибуток на першому рахунку склав 0,07X: грн., а на другому – 0,08(3000 – х) грн. Весь прибуток 222 грн.

Отже, 0,07X + 0,08(3000 – х) = 222; 0,07X + 240 – 0,08х = 222; -0,01х = 222 – 240; -0,01X = -18; х = 1800 грн. вкладник поклав на перший (7 %) рахунок;

3000 – 1800 = 1200 грн. вкладник поклав на другий (8 %) рахунок.

100. Нехай купюр по 2 грн. було х шт., тоді купюр по 5 грн. було (19 – х). В касі було 62 грн.

Отже, 2X + 5(19 – x) = 62; 2х + 95 – 5х = 62; 2х – 5х = 62 – 95; -3х = -33; х = -33 : (-3); х = 11 купюр по 2 грн. було в касі; 19 – 11 = 8 купюр по 5 грн. було в касі.

101. Нехай у сховищах було по х т вугілля. Коли з першого вивезли 680 т, а з другого 200 т вугілля, то у першому сховищі стало (х – 680) т вугілля, а у другому (х – 200) т вугілля. В першому залишилося в 5 разів менше вугілля, ніж у другому, тому 5(х – 680) = х – 200; 5х – 3400 = х – 200; 5х – х = 3400 – 200; 4х = 3200; х = 3200 : 4; х = 800 т вугілля було у кожному зі сховищ спочатку.

102. Нехай у Петра і Василя було по х грн. Після покупки книг у Петра стало (х – 30) грн., а у Василя (х – 45) грн. У Петра залишилось у 2 рази більше грошей, ніж у Василя.

Тому х – 30 = 2(х – 45); х – 30 = 2х – 90; х – 2х = -90 + 30; – х = -60; х = 60 грн. було у кожного хлопця спочатку.

103. Нехай у другому мішку було х кг борошна, тоді у першому 5х кг борошна; Коли з першого у другий пересипали 12 кг борошна, то у першому мішку стало (5х – 12) кг, а у другому (х + 12) кг борошна. Маса борошна в другому мішку склала 5/7 маси борошна в першому мішку. Тому х + 12 = 5/7(5х – 12); 7х + 84 = 5(5х – 12); 7х + 84 = 25х – 60; 7х – 25х = -60 – 84; -18х = -144; х = -144 : (-18); х = 8 кг борошна було у другому мішку.

8 • 5 = 40 кг борошна було у першому мішку.

104. Нехай у другому контейнері було х кг вугілля, тоді у першому контейнері було 3х кг вугілля. Коли з першого у другий пересипали 300 кг вугілля, то у першому контейнері стало (3х – 300) кг, а у другому (х + 300) кг вугілля. Маса вугілля в першому контейнері склала 60 % маси вугілля в другому контейнері, тобто:

3х – 300 = 0,6(х + 300); 3х – 300 = 0,6х + 180; 3х – 0,6х = 180 + 300; 2,4х = 480; х = 480 : 2,4; х = 200 кг вугілля було у другому контейнері.

200 • 3 = 600 кг вугілля було у першому контейнері.

Відповідь: 600 кг, 200 кг.

105. Нехай через x днів першому робітникові залишиться виготовити вдвічі більше деталей, ніж другому. Тоді за х днів 1-й робітник виготовить 4х деталей, 2-й робітник – 5х деталей. 1-му робітникові залишиться виготовити (90 – 4х) деталей, 2-му робітникові – (60 – 5х) деталей. За умовою задачі 1-му робітникові залишилося виготовити вдвічі більше деталей, тому 90 – 4х = 2(60 – 5х); 90 – 4х = 120 – 10х; -4х + 10х = 120 – 90; 6х = 30; х = 30 : 6; х = 5.

Відповідь: через 5 днів першому робітникові залишиться виготовити вдвічі більше деталей.

106. Нехай з першої цистерни використали X л води, тоді з другої цистерни використали 2х л води. В І цистерні залишилося (200 – х) л води, в II цистерні (640 – 2х) л води. За умовою задачі в II цистерні залишилося в 3,5 рази більше води, ніж у першій, тому:

640 – 2х = 3,5(200 – х); 640 – 2х = 700 – 3,5х; -2х + 3,5х = 700 – 640; 1,5х = 60; х = 60 : 1,5; х = 40 л води використали з І цистерни.

40 • 2 = 80 л води використали з II цистерни.

107. Нехай до зустрічі вантажний автомобіль їхав х год, тоді легковий автомобіль – (х + 4) год. Вантажний автомобіль проїхав 50х км, а легковий – 80(х + 4) км. Разом вони проїхали 385 км. Тому 80(х + 4) + 50х = 385; 80х + 320 + 50х = 385; 130х = 385 – 320; 130х = 65; х = 0,5 год проїхав до зустрічі вантажний автомобіль.

0,5 + 4 = 4,5 год проїхав до зустрічі легковий автомобіль.

108. Нехай через x год після виїзду велосипедист зустрівся з пішоходом. Тоді пішохід до зустрічі пройшов (4 • 1,5 + 4х) км, а велосипедист проїхав 16x км. Разом вони подолали 14 км.

Тому 4 • 1,5 + 4х + 16x = 14; 6 + 20х = 14; 20x = 14 – 6; 20x = 8; x = 8/20; x = 2/5 год був у дорозі велосипедист.

2/5 год = 2/5 • 60 = 24 хв.

Відповідь: 24 хв.

109. Нехай швидкість теплохода х км/год, тоді швидкість автобуса (х + 30) км/год. За 6 годин теплохід пройде 6x км, а за 3 год 30 хв = год автобус пройде Відстань між містами річкою на 55 км менша, ніж по шосе, тому 3,5x + 105 – 6x = 55; 3,5x – 6x = 55 – 105; -2,5x = -50; x = -50 : (-2,5); x = 20 км/год – швидкість теплохода.

20 + 30 = 50 км/год – швидкість автобуса.

110. Нехай швидкість теплохода в стоячій воді дорівнює х км/год, тоді швидкість теплохода за течією річки (х + 2,5) км/год, а проти течії річки – (x – 2,5) км/год. За 4 години за течією річки теплохід пройде 4(x + 2,5) км, а за З години проти течії – 3(x – 2,5) км. Шлях за течією річки на 48 км більший, тому 4(x + 2,5) – 3(x – 2,5) = 48; 4х + 10 – 3х + 7,5 = 48; x = 48 – 17,5; х = 30,5(КМ/ГОД) – швидкість теплохода в стоячій воді.

111. Нехай швидкість течії х КМ/ГОД, річки тоді швидкість човна проти течії річки дорівнює (24 – x) км/год. Шлях, пройдений на плоту, дорівнює 5x км, а шлях проти течії – (24 – x) • 1,5 км. Проти течії турист проплив на 23 км більше, тому (24 – x) • 1,5 – 5х = 23; 36 – 1,5x – 5x = 23; -6,5x = 23 – 36; -6,5x = -13; x = -13 : (-6,5); x = 2 км/год – швидкість течії річки.

112. Нехай у першому ящику x кг печива, тоді у другому ящику (55 – x) кг печива. Коли з першого ящика у другий переклали 1/3 маси печива, то в першому ящику стало кг печива, а у другому – кг печива. В першому ящику стало на 5 кг більше, ніж у другому.

Тому

печива було у першому ящику.

55 – 45 = 10 кг печива було у другому ящику.

113. Нехай у І ящику було x кг груш, тоді у II ящику (24 – x) кг груш. Коли з І ящика у II ящик переклали 3/7 маси груш, то в І ящику стало кг, а у II ящику кг. У II ящику груш стало у 2 рази більше, тому

груш було у І ящику.

24 – 14 = 10 кг груш було у II ящику.

114. Нехай усього було x книжок. Тоді на І полиці стояло – 4/15x книг, на II полиці 0,6x книг, а на III – книг. Маємо рівняння:

Книг стояло на трьох полицях.

115. Нехай у чотири бідони розлили x л молока. Тоді в перший бідон налили 0,3x л молока, у другий бідон – л молока, у третій – (0,3x – 26) л молока, в четвертий – л молока.

Маємо рівняння:

0,3х + 5/6 • 0,3х + 0,3х – 26 + 5/6 • 0,3х + 10 = х; 0,3х + 0,25х + 0,3х + 0,25х – х = 26 – 10; 0,1х = 16; х = 160 л молока розлили в чотири бідони.

116. Нехай було х туристів. Тоді наметів було штук, або штук.

Маємо рівняння: 7х – 35 = 6х + 36; 7х – 6х = 36 + 35; х = 71.

Відповідь: 71 турист.

117. Нехай було х апельсинів. Тоді учнів у 7 класі було осіб, або осіб.

Маємо рівняння: 3х + 9 = 4х – 100; 3х – 4х = -100 – 9; – х = -109; х = 109 апельсинів було всього.

118. Нехай робітник планував виконати роботу за х днів, тоді він повинен виготовити 20х деталей за планом. Але робітник виготовляв щодня 20 + 8 = 28 деталей і за (х – 2) дні виготовив 28 • (х – 2) деталей, що на 8 деталей більше плану. Отже, 28 (х – 2) – 20х = 8; 28х – 56 – 20х = 8; 8х = 8 + 56; 8х = 64; х = 64 : 8; х = 8 днів за планом необхідно робітникові для виконання плану.

119. Нехай учень планував розв’язати х задач, тоді він мав виконати завдання за x/10 днів. Але він розв’язував щодня 10 + 4 = 14 задач і розв’язав (х – 2) задачі за 3 дні до екзамену за днів.

Маємо рівняння: 2x + 10 = 210; 2х = 210 – 10; 2х = 200; х = 200 : 2; х = 100 задач планував розв’язати учень.

120. Нехай у даному двоцифровому числі х одиниць, тоді десятків 3х і число дорівнює 3х • 10 + х. Якщо цифри переставити, то число буде дорівнювати 10х + 3х. Отримане число менше даного на 54, тому 3х • 10 + х – (10х + 3х) = 54; 31х – 13х = 54; 18х = 54; х = 54 : 18; х = 3 – число одиниць; 3 • 3 = 9 – число десятків.

Тоді 93 – шукане число.

121. Нехай х – кількість одиниць, тоді (х – 2) – кількість десятків.

10(х – 2) + х – шукане двоцифрове число.

Якщо цифри числа переставити, то одержимо число 10х + х – 2.

Отримане число більше даного в рази, тому

44х – 8 = 7(11х – 20); 44х – 8 = 77х – 140; 44х – 77х = -140 + 8; -33х = -132; х = 4 – кількість одиниць; 4 – 2 = 2 – кількість десятків.

24 – шукане число.

122. Нехай х км/год – швидкість другого автомобіля, тоді (х + 10) км/год – швидкість першого автомобіля. Швидкість зближення автомобілів (х + х + 10) км/год, за 2 години автомобілі зблизяться на 2(х + х + 10) км, а за умовою задачі ця відстань дорівнює (270 – 30) км.

Отже, 2(х + х + 10) = 270 – 30; 2(2х + 10) = 240; 2х + 10 = 120; 2х = 120 – 10; 2х = 110; х = 110 : 2; х = 55 км/год – швидкість другого автомобіля. 55 + 10 = 65 км/год – швидкість першого автомобіля.

123. Нехай першого сплаву треба взяти х кг, тоді другого сплаву (300 – х) кг. У І сплаві 0,09х кг цинку, у II сплаві 0,3(300 – х) кг цинку.

Разом у двох сплавах 0,09х + 0,3(300 – х) кг цинку, або 0,23 • 300 кг.

Отже, 0,09х + 0,3(300 – х) = 0,23 • 300; 0,09х + 90 – 0,3х = 69; -0,21х = 69 – 90; -0,21х = -21; х = 100 кг першого сплаву треба взяти. 300 – 100 = 200 кг другого сплаву треба взяти.

124. Нехай І розчину взяли х кг, тоді II розчину взяли (50 – х) кг. І розчин містить 0,25х кг солі, II – 0,4(50 – х) кг. Всього 0,25х + 0,4(50 – х) кг солі, або 0,34 • 50 кг солі за умовою.

Тому 0,25х + 0,4(50 – х) = 0,34 • 50; 0,25х + 20 – 0,4х = 17; -0,15х = 17 – 20; -0,15х = -3; х = 20 кг І розчину треба взяти. 50 – 20 = 30 кг II розчину треба взяти.