Обчислення об’ємів тіл за допомогою інтеграла



1210.

Об’єм призми обчислимо за формулою: V = Sосн. × Н, де H – висота призми.

V = Q × l × sin а.

Відповідь: l sin а.

1211.

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Нехай ABCDA1B1CD1- паралелепіпед.

AB = 6 дм, AD = 8 дм, ∠BAD = 45°, AA= 7 дм, ∠AAK = 45°.

З ΔA1AK: Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Отже, об’єм V паралелепіпеда дорівнює:

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Відповідь: 168 дм3.

1212.

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Нехай ABCDA1B1C1D1- заданий паралелепіпед. Проведемо A1K – висоту паралелепіпеда і KM + AD, KN + АВ, тоді за теоремою про три

перпендикуляри A1M + AD1, A1N + AB. ΔAA1M = ΔAA1N (за гіпотенузою і ∠A1AM = ∠A1AN), а отже, Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

З ΔАKМ: Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

З ΔA1AK: Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Отже, об’єм паралелепіпеда дорівнює:

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Відповідь: Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

1213.

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Нехай ABCDA1B1C1D1- паралелепіпед, ABCD – ромб,

AS = BC = CD = DA = 4 см, ∠BAD = 60°. ∠C1AC = 60°.

Знайдемо Обчислення обємів тіл за допомогою інтегралаОбчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

З ΔACD: Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

З ΔAC1C: Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Отже, об’єм V паралелепіпеда:

src="/images/image4095.jpg" class=""/>

Відповідь:Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

1214.

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Нехай ABCDA1B1C1D1- заданий паралелепіпед. Проведемо Α1K – висоту паралелепіпеда і KM + AD, KN + AB, тоді за теоремою про три перпендикуляри A1M + AD, A1N + AB. ΔA1AM = ΔA1AN

(AA1- спільна гіпотенуза. ∠A1AM = ΚΑ,ΑΝ),

А отже, Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

3 ΔAKΜ: Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

З ΔΑ1AK: Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Отже, об’єм паралелепіпеда дорівнює:

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Відповідь: Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

1215.

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Нехай ABCDA1B1C1D1- заданий паралелепіпед. Проведемо висоту A1K паралелепіпеда і KM + AD, KN + АВ, тоді за теоремою про три перпендикуляри A1M + AD, A1N + АВ. ΔAA1M = ΔAA1N (AA1- спільна гіпотенуза,

∠A1AM = ∠A1AN = 60°), отже, Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Далі з ΔАKМ: Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

З ΔA1AK: Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Об’єм паралелепіпеда

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

1216.

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Нехай LL1K1K – переріз похилого паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1.

(LL1K1K) ? A1A. AL = LB, AK = KD. S1площа ΔALK, Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

S2- площа ABCD, S2= 2AL × 2АK × sin∠LAK. S3- площа LBCDK.

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Знайдемо відношення V1- призми ALKA1L1K1 і V2- призми LBCDKL1B1C1D1K1.

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Відповідь: 1 : 7.

1217.

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Нехай ABCA1B1C1- призма, AB = BC = AC = a, (AA1C1C) + (ABC).

Проведемо AK + AC – висоту призми. ∠A1AK = α. AA1C1C – ромб, AA1= АС.

З ΔA1AK: Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Отже, Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Підставимо дані а = 17 см, α = 65°, отримаємо:

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Відповідь: Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла 1925 см3.

1218.

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Нехай (AA1C1C) + (ABC), AB = BC = CA = а. AA1C1C — ромб, AA1 = AC = a,

A1C = b. За властивістю діагоналей паралелограма маємо:

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Знайдемо Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

З другого боку SA1AC1C = AC × A1K = а × A1K.

Прирівняємо праві частини: Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Звідси Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Отже, об’єм паралелепіпеда дорівнює:

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Відповідь: Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

1219.

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Нехай площа грані BB1C1C дорівнює Q.

Проведемо площину A2B2C2, яка перпендикулярна бічним ребрам, тоді A2D = m. Знайдемо площу перпендикулярного перерізу Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла і тоді для шуканого об’єму маємо: Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Відповідь: Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

1220.

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Нехай в призмі ABCDA1B1C1D1 ABCD – трапеція, AD = 44 см, BC – 28 см,

AB = CD= 17 см. (B1D1DB) + (ABCD), ∠B1BK = 45°.

Розглянемо трапецію ABCD: Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

LD = 36 см.

3ΔABL: Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

3ΔBLD: Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

B1D1DB – ромб, отже, B1B = 39 см. Проведемо B1K + BD.

3 ΔB1BK: Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Отже, об’єм призми Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Відповідь: Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

1221.

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Нехай OB – радіус основи похилого Циліндра, OB = 12 см, AB = 23 см.

Проведемо AK + BO, ∠ ABK = 72°.

З ΔABK: AK = AB sin 72° = 23 × sin 72°.

Отже, V циліндра дорівнює:

V = π × OB2× ΑK = π × 144 × 23 × sin 72° ≈ 9880 (см3).

Відповідь: ≈ 9880 см3.

1222.

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Нехай ABCA1B1C1- задана призма, AA1 = BB1 = CC1 = 8 см, A2B2 = 13 см,

B2C2 = 14 см, C2A2 = 15 см. Оскільки A2B2, B2C2 і C2A2- відстані між бічними ребрами, отже, A2B2 + A1A і A2B2 + B1B, B2C2Δ B1B і B2C2 + C1C, A2C2 + A1A

І A2C2+ C1C1 отже, A2B2C2- переріз.

Знайдемо площу AA2B2C2за формулою Герона:

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Де Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла а а, b, с – сторони трикутника;

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Отже, V призми дорівнює: Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Відповідь: 672 см3.

1223.

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Ехай SA1ADD1 =21 см2, SA1ABB1=49 см2. AA1 = 7 см.

A2B2C2B2- переріз, A2D2+ AA1, A2B2+ AA1.

SA1ABB1= A1A × A2B2, 49 = 7 × A2B2, звідси Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

SA1ADD1 = A1A × A2D2, 21 = 7 × A2B2, звідси Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Знайдемо Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Відповідь: Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

1224.

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Нехай (A1ABB1) + (B1BCC1). B1B = 10 см, A2B2 = 5 см, B2C2 = 12 см.

A2B2C2- перпендикулярний переріз. ΔA2B2C2- прямокутний (∠B2= 90°).

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Знайдемо об’єм призми: Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Відповідь: 300 см3.

1225.

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Нехай в призмі ABCA1B1C1 ABC – правильний трикутник.

AB = BC = AC = a, A1A = A1B = A1C.

Знайдемо AO – радіус описаного кола навколо ΔABC: Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

З ΔAA1O: Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Об’єм V призми дорівнює: Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Відповідь: Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

1226.

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Нехай ABCDA1B1C1D1- паралелепіпед, ABCD – паралелограм,

AB = 6 см, BC = 14 см, BD = 12 см.

За властивістю діагоналей паралелограма маємо:

BD2 + AC2 = = 2(АВ2 + BC2); 144 + AC2 = 2(36 + 196); 144 + AC2 = 464;

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла AC2 = 464 – 144 = 320;

SA1ACD1 = AA × АС, Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

ЗнайдемоОбчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Де Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла а, b, с – сторони ААВС.

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Знайдемо V призми: Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Відповідь: 320 см3.

1227.

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Нехай ABCDA1B1C1D1- похилий паралелепіпед, AC = 10 см, B1D1 = 8 см.

Оскільки кутом між мимобіжними прямими є кут між прямими, які перетинаються і паралельні даним мимобіжним прямим, отже,

BD? B1D1, AC? A1C1, то ∠COD = 30°.

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Проведемо OO1Δ (ABCD), OO1 = 5 см.

Об’єм паралелепіпеда V = SABCD × OO1 = 20 × 5 = 100 (см3).

Відповідь: 100 см3.

1228.

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Нехай ABCDA1B1C1D1- паралелепіпед, AB = а, AD = b, AA1 = c,

∠A1AK = α, ∠A1AL = α. ΔA1AK = ΔA1AL, звідси AK = AL = AA1× cos α = с × cos α. ΔAOK = ΔAOL, звідси ∠OAK = ∠OAL = 45°.

З ΔAOK: OK = AK × tg∠OAK = c × cosα × tg45° = c × cos α.

З ΔAA1K: A1K = AA1× sin α = с × sin × α.

3 ΔAOK: OK = AK × tg ∠OAK = с × cos α × tg 45° = c cos α.

3 ΔA1OK: Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Отже, об’єм паралелепіпеда Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Відповідь: Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

1229.

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Нехай ABCDA1B1C1D1- паралелепіпед. Розділимо сторони основи на відрізки AK, KD і BL, LC, так що AK = a, KD = b, BL = b, LC = c.

З’єднаємо точки K I L. Отримаємо дві трапеції ABLK і LKDC.

Нехай H – висота паралелепіпеда.

Проведемо K1K + AD1, LL1 + AD, K1K = LL1.

Позначимо K1K = LL1 = h.

Знайдемо Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Об’єм Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Отже, V1 = V2, KMNL – шуканий переріз.

1230.

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Проведемо в призмі ABCA1B1C1переріз AA1D1D.

Точка D ділить сторону основи на відрізки BD = а, DC = а.

Нехай AA1 = H.

Проведемо в AABD і AADC висоту AK, вона спільна для обох трикутників, нехай AK = h.

Тоді отримаємо V 1 = SABD × AA1, V 2 = SADC × AA1, Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

З другої сторони V1: V2 = 1 : 2. Отже, маємо Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Звідси можна зробити висновок, що січна площина проходить через точку, яка ділить сторону основи, протилежну ребру призми у відношенні 1 : 2.

1231.

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

ABCA1B1C1- похила призма, AC = 8 см, BB1 = 6 см.

Оскільки кут між AC і BB1дорівнює 60°, то кут між AC і AA1дорівнює 60°.

Через точку C проведемо площину, перпендикулярну до бічних ребер призми, отримаємо перпендикулярний переріз CB2A2. В трикутнику B2A2C проведемо висоту B2K (B2K + A2C), тоді B2K = 5 см.

Iз ΔAA2C: Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Тоді Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Відповідь: Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

1232.

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Нехай ABCA1B1C1- дана призма, Sосн. = S, AA1 = l.

Проведемо A1O + (ABC), тоді V = Sосн. × H = S × H.

Із ΔAA1O маємо A1O = AA1 × sin ∠A1AO = l sin φ.

Тоді V = S × A1O = Sl sin φ.

Оскільки S i l задані числа, то V буде мати найбільше значення, якщо sin φ буде найбільшим. Оскільки sin φ = 1, якщо φ = 90°, то тоді AA1+ (ABC).

Таким чином, із всіх призм, які мають одну й ту саму основу і бічне ребро, найбільший об’єм має пряма призма, що й треба було довести.

1233.

Обчислення обємів тіл за допомогою інтегралаОбчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Нехай задано похилий циліндр з основою S1(еліпс) і твірною l. Через точку А проведемо площину, яка перпендикулярна до твірної і перетинає циліндр по кругу радіуса г, тоді площа цього круга S = πr2. Ту частину циліндра, яка лежить нижче цієї площини, перенесемо на верхню основу похилого циліндра. В результаті отримаємо прямий циліндр з основою S і висотою l. Оскільки об’єми цих циліндрів рівні, то V = Sl = πr2l.

Відповідь: πr2l.

1234.

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Нехай ABCA1B1C1- похила призма, площа основи якої S1, а бічне ребро дорівнює l, A1O + (ABC), ∠A1AO = φ, тоді об’єм призми дорівнює V = S1× l sin φ. Проведемо перпендикулярний переріз KLM, площа якого дорівнює S, тоді об’єм призмі V= Sl.

Отже, маємо S1l sin φ = SI, тоді S1 sin φ = S. Якщо бічне ребро нахилене до площини основи під кутом φ, то кут між площиною основи і площиною перпендикулярного перерізу дорівнює куту між перпендикулярами до цих площин, тобто між прямими KA1 і AO, тобто α = 90° – φ, тоді φ = 90° – α, тоді

S1sin(90° – α) = S або S1 cos α = S.

Отже, площа проекції многокутника дорівнює площі многокутника помноженій на косинус кута між площиною проекції і площиною многокутника.

1235.

Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Нехай задано еліпс з осями AB = 2b, CD = 2а, який лежить на поверхні циліндра, діаметр якого KM, KM = CD = 2а, a висота циліндра дорівнює h. Знайдемо об’єм циліндра V = πa2h. (І)

З іншого боку V = Sел. × cos φ × h, де φ – кут між площиною еліпса і площиною основи циліндра.

Із трикутника O1BO маємо: Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Тоді Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Прирівнюючи (І) і (II), одержуємо: Обчислення обємів тіл за допомогою інтеграла

Тоді Sел. = πab.

Відповідь: πab.


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (No Ratings Yet)
Loading...


Методи вивчення природи.
Ви зараз читаєте: Обчислення об’ємів тіл за допомогою інтеграла