Головна ⇒ 📌Математика ⇒ Уявлення про звичайні дроби

Уявлення про звичайні дроби

Розділ II ДРОБОВІ ЧИСЛА І ДІЇ З НИМИ

§ 4. ЗВИЧАЙНІ ДРОБИ

Вивчивши матеріал цього параграфа, ви розширите свої знання про звичайні дроби. Дізнаєтесь, які дроби називають правильними, а які – неправильними, які числа називають мішаними, як пов’язані ділення натуральна чисел і дроби. Навчитеся порівнювати, додавати і віднімати дроби з однаковими знаменниками.

25. Уявлення про звичайні дроби

Ви знаєте, що, крім натуральних чисел і нуля, існують інші числа – дробові.

Дробові числа виникають, коли

один предмет (яблуко, кавун, торт, хлібину, аркуш паперу) або одиницю виміру (метр, годину, кілограм, градус) ділять на кілька рівних частин.

Такі слова, як “півхлібини”, “півкілограма”, “півлітра”, “чверть години”, “третина шляху”, “півтора метра”, мабуть, ви чуєте щодня.

Половина, чверть, третина, одна сота, півтора – це приклади дробових чисел.

Розглянемо приклад.

На день народження до вас прийшли 10 друзів. Святковий торт ви розділили на 10 рівних частин (рис. 184). Тоді кожний гість отримає одну десяту торта. Пишуть: торта (читають: “одна десята

торта”).

Рис. 184

Рис. 185

Такий “двоповерховий” запис використовують для позначення й інших дробових чисел. Наприклад: півкілограма – кілограма (читають: “одна друга кілограма”); чверть години –Години (читають: “одна четверта години”); третина шляху –Шляху (читають: “одна третя шляху”).

Якщо двоє ваших гостей не полюбляють солодкого, то ласун отримає

Торта (читають: “три десятих торта”; рис. 185).

Записи виду тощо називають звичайними дробами, або коротше – дробами.

Звичайні дроби записують за допомогою двох натуральних чисел і риски дробу.

Число, записане над рискою, називають чисельником дробу; число, записане під рискою, називають знаменником дробу.

Знаменник дробу показує, на скільки рівних частин поділили щось ціле, а чисельник – скільки таких частин узяли.

Так, на рисунку 186 рівносторонній трикутник ABC поділили на 4 рівні частини – 4 рівних трикутники. Три з них зафарбовано. Можна сказати, що зафарбовано фігуру, площа якої становить площі трикутника ABC. Або говорять: зафарбовано трикутника ABC.

Рис. 186

Рис. 187

На рисунку 187 одиничний відрізок ОА координатного променя поділено на п’ять рівних частин. Відрізок ОВ становить одиничного відрізка ОА. Точка В зображує число . Число називають координато точки В і пишуть: Оскільки відрізок ОС становить одиничного відрізка ОА, то координата точки С дорівнює , тобто

ПРИКЛАД 1 У саду Барвінка ростуть 24 дерева, з них 7 – яблуні. Яку частину всіх дерев становлять яблуні?

Розв’язання. Оскільки в саду ростуть 24 дерева, то одна яблуня становить Усіх дерев, а 7 яблунь – усіх дерев.

Відповідь:

ПРИКЛАД 2 У саду Барвінка ростуть 24 дерева, з них становлять вишні. Скільки вишень росте в саду?

Розв’язання. Знаменник дробу показує, що кількість усіх дерев, які ростуть у саду, треба поділити на 8 рівних частин. Оскільки в саду ростуть 24 дерева, то одна частина складає 24 : 8 ” 3 (дерева).

Чисельник дробу показує, що треба взяти 5 таких частин. Тоді

Дерев саду – це 3 – 5 ” 15 (дерев).

Відповідь: 15 вишень.

ПРИКЛАД 3 Барвінок зібрав урожаю із 16 дерев, що становить Усіх дерев його саду. Скільки всього дерев росте в саду?

Розв’язання. Дріб показує, що кількість усіх дерев було поділено на 3 рівні частини і взято 2 такі частини. Отже, дві частини становлять 16 дерев.

Тоді одна частина, тобто всіх дерев, становить 16 : 2 = 8 (дерев). Оскільки таких частин 3, то всього в саду ростуть 8 ∙ 3 = 24 (дерева).

Відповідь: 24 дерева.

Розв’язуємо усно

1. Скільки грамів:

1) у п’ятій частині кілограма;

2) у десятій частині кілограма?

2. Скільки кілограмів:

1) у четвертій частині тонни;

2) у двадцятій частині центнера?

3. Скільки секунд:

1) у третій частині хвилини;

2) у дванадцятій частині хвилини;

3) у дев’ятій частині години;

4) у тридцятій частині години?

4. Ширина прямокутника дорівнює 8 см, що становить половину його довжини. Обчисліть периметр прямокутника.

Б. Знак якої арифметичної дії треба поставити замість зірочки, щоб утворилася правильна рівність:

1) 83 * 1 = 83; 3) 58 * 0 = 58;

2) 2 * 2 = 4; 4) 34 * 0 = 0?

В. Обчисліть:

1) суму частки чисел 72 і 9 та числа 22;

2) різницю числа 60 та частки чисел 126 і 6;

3) добуток частки чисел 714 і 7 та числа 0.

Вправи

679. Прочитайте дроби:

Назвіть чисельник і знаменник кожного дробу та поясніть, що вони означають.

680.° Запишіть у вигляді дробу число:

1) дві п’ятих;

2) сім тринадцятих;

3) двадцять дві шістдесятих;

4) тридцять чотири сорок третіх;

5) тридцять дев’ять сотих;

6) сто двадцять сім тисячних.

681.° Запишіть дробом, яка частина фігури, зображеної на рисунку 188, заштрихована.

Рис. 188

682.° Перерисуйте фігури, зображені на рисунку 189, у зошит і зафарбуйте відповідні частини фігур.

Рис. 189

683.° Виразіть:

1) у метрах: 1 см; 5 см; 24 см; 1 дм; 7 дм; 1 мм; 4 мм; 39 мм; 247 мм;

2) у годинах: 1 хв; 7 хв; 19 хв; 39 хв; 1 с; 4 с; 58 с.

684.° Виразіть у тоннах: 1 кг; 327 кг; 58 кг; 1 ц; 3 ц.

685.°У саду ростуть 56 дерев, з них 23 дерева є черешнями. Яку частину дерев становлять черешні?

686.° У 5 класі 32 учні, з них 7 учнів написали контрольну роботу з математики на 12 балів. Яку частину учнів класу вони становлять?

687.° У книжці надруковано два оповідання. Одне оповідання займає 14 сторінок, а друге – 19 сторінок. Яку частину книжки займає кожне оповідання?

688.° Марічка спекла 24 пиріжки з повидлом і 28 пиріжків з маком. Яку частину всіх пиріжків становили пиріжки з повидлом і яку частину – пиріжки з маком?

689.° Знайдіть від числа 36:

690.° Знайдіть від числа 28:

691.° Петрик прочитав Книжки, у якій 180 сторінок. Скільки сторінок прочитав Петрик?

693.° Галинка зліпила 72 вареники з м’ясом і з картоплею, причому вареники з м’ясом становили усіх вареників. Скільки вареників з м’ясом зробила Галинка?

693.° Площа одного з найкрасивіших озер України – гірського озера Синевир (Закарпаття) становить площі озера Сасик (Одеська область) – найбільшого озера України. Скільки квадратних метрів становить площа озера Синевир, якщо площа озера Сасик дорівнює 210 км2?

694.° Знайдіть число, якщо:

його дорівнює 42.

695. Знайдіть число, якщо:

його дорівнює 90.

696.° Накресліть координатний промінь, одиничний відрізок якого дорівнює 9 см. Позначте на ньому точки, що відповідають дробам:

697.° Накресліть координатний промінь, одиничний відрізок якого дорівнює 12 см. Позначте на ньому точки, що відповідають дробам:

698.° У саду ростуть 24 вишні, що становить Усіх дерев саду. Скільки всього дерев росте в саду?

699.°За контрольну роботу з математики оцінку “9” одержали 12 учнів, що становить учнів класу. Скільки учнів у цьому класі?

700.° Яку частину площа зафарбованого трикутника (рис. 190) становить від площі:

1) трикутника ABD;

2) чотирикутника ABCD;

3) чотирикутника АВСЕ?

Рис. 190

701.° Сторона квадрата ABCD дорівнює 8 см (рис. 191). Знайдіть загальну площу зафарбованих частин квадрата.

Рис. 191

702.° Сторона квадрата ABCD дорівнює 4 см (рис. 192). Знайдіть загальну площу зафарбованих частин квадрата.

Рис. 192

703.°Скільки градусів становлять:

1)Величини прямого кута;

2)Величини розгорнутого кута?

704.° Скільки градусів становлять:

1)Величини прямого кута;

2)Величини розгорнутого кута?

705.° Три рибалки зловили 168 риб. Щукін зловив vcix риб, Окунєв – усіх риб, а Карасьов – решту. Скільки риб зловив Карасьов?

706.° За чотири дні яхта капітана Врунгеля “Біда” пройшла 624 км. За перший день було пройдено усієї відстані, за другий – за третій –,а за четвертин – решту. Скільки кілометрів пройшла яхта за четвертий день?

707.° Маркіз Карабас подарував Коту в чоботях 9 кг 450 г сметани. За перший тиждень Кіт у чоботях з’їв Подарунка, а за другий тиждень – Решти. Скільки сметани з’їв Кіт у чоботях за другий тиждень?

708.° Ілля Муромець заготував на зиму для свого коня 4 т 9 ц вівса. За грудень кінь з’їв усього запасу вівса, а за січень – решти.

Скільки центнерів вівса кінь з’їв за січень?

709.° Фермери Іван, Назар і Тарас виростили разом 612 т ячменю та поділили врожай між собою. Івану дісталося Усього врожаю, Назару – решти. Скільки тонн ячменю отримав Тарас?

710.° Чебурашка, крокодил Гена й мадам Шапокляк поїхали у Херсон на збирання кавунів. Разом вони заробили 1024 грн і розділили їх відповідно до того, хто як працював. Чебурашка одержав Зароблених грошей, крокодил Гена – Решти. Хто з цієї компанії найпрацьовитіший?

711.° До дитячого санаторію завезли банани, апельсини та мандарини. Маса апельсинів становить маси бананів, а маса мандаринів –Маси апельсинів. Скільки кілограмів апельсинів і мандаринів разом завезли до санаторію, якщо бананів завезли 245 кг?

712.° Подорожуючи на човні Дніпром, Барвінок за перший тиждень проплив 72 км, за другий тиждень – того, що проплив за перший тиждень, а за третій – того, що проплив за другий. На скільки кілометрів менше проплив Барвінок за третій тиждень, ніж за другий?

713.° Із двох портів, відстань між якими дорівнює 576 миль, одночасно назустріч один одному вийшли кораблі капітана Врунгеля і Сіндбада-мореплавця. Яхта капітана Врунгеля проходила за день 42 милі, що становить того, що проходив за день корабель Сіндбада. Через скільки днів після початку руху зустрілися мореплавці?

714.° З Квіткового та Сонячного міст виїхали одночасно назустріч один одному Знайко і Незнайко. Знайко їхав зі швидкістю 56 км/год, що становило швидкості руху Незнайка. Через скільки годин після початку руху вони зустрілися, якщо відстань між містами дорівнює 532 км?

715.°° Знайдіть число, якого дорівнюютьЧисла 210.

716.°° Знайдіть числа, якого дорівнюють 160.

717.°° Один із доданків дорівнює 324 і становить суми. Знайдіть другий доданок.

718.°°Знайдіть різницю двох чисел, якщо від’ємник дорівнює 658 і становить – зменшуваного.

Вправи для повторення

719. Розв’яжіть рівняння:

1) 9х – 4х + 39 = 94; 2) 7y + 2y – 34 = 83.

720. Із двох яблунь Івасик-Телесик зібрав 65 кг яблук, причому з однієї яблуні він зібрав на 17 кг менше, ніж із другої. Скільки кілограмів яблук він зібрав

З кожної яблуні?

Задача від Мудрої Сови

721. До п’яти різних замків є п’ять ключів, причому невідомо, який ключ до якого замка підходить. Барон Мюнхгаузен стверджує, що можна не більше ніж за 10 спроб підібрати ключ до кожного замка. Чи правий барон Мюнхгаузен?

Коли зроблено уроки

“Потрапити у дроби”

Можливо, не всі “задачі на дроби” ви могли легко розв’язати. Нехай вас не засмучує, що для розв’язання деяких з них довелося докласти чимало зусиль. Адже ще 250 років тому в підручниках з арифметики розділ “Дроби” був необов’язковим для вивчення, і його розміщували в кінці книги. У середні віки вміння легко оперувати дробами було ознакою високої математичної майстерності. Недаремно в німецькій мові й до наших днів збереглася приказка “Mit etw. in die Bruche kommen”, що в перекладі означає “потрапити в дроби”. Її використовують тоді, коли хочуть сказати, що людина опинилася в складному становищі.

Давньогрецькі вчені взагалі вважали, що в математиці мають розглядатися тільки цілі числа. Великий філософ Платон писав: “Якщо ти захочеш ділити одиницю, математики висміють тебе і не дозволять цього робити”.

Проте досвід людства показує, що штучні бар’єри, якими відгороджують науку від життя, дуже неміцні. Так, самі ж греки виявили, що дві струни одночасно звучать най мелодійніше, коли відношення їх довжин дорівнює

Узагалі, дроби виникли в глибокій давнині, задовго до давньогрецької цивілізації.

Перші дроби, з якими нас знайомить історія, – це дроби виду Наприклад, стародавні єгиптяни для запису дробів придумали спеціальні знаки (рис. 193). Цікаво, що єгиптяни не користувалися дробами з чисельниками, відмінними від одиниці.

У Вави лоні використовували шістдесяткові дроби, тобто дроби із знаменниками 60, 602, 603 і т. д., а в Стародавньому Римі – дванадцяткові дроби. Наприклад, одну з одиниць маси називали ассом, а асса – унцією.

Рис. 193

Слово “дріб” походить від дієслова “дробити”, що означає розбивати на частини, ламати. Мабуть, тому в старих підручниках з математики дроби називали “ламаними числами”. Деякі дроби, що часто зустрічалися, мали спеціальні назви:

– половина, – четь, – півчеть, – пів півчеть, – треть,