Головна ⇒ 📌Математика ⇒ Види кутів. Вимірювання кутів

Види кутів. Вимірювання кутів

Розділ I НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА І ДІЇ З НИМИ

§ 2. ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

12. Види кутів. Вимірювання кутів

На кожному з рисунків 84, а – г зображено два промені. На якому з рисунків пара променів утворює кут, сторонами якого є ці промені?

Рис. 84

Оскільки на рисунках 84, а – в початки променів не суміщаються, то кутів вони не утворюють. Промені на рисунку 84, г утворюють пряму. При цьому початки променів суміщаються, а отже, вони утворюють кут. Такий кут називають розгорнутим.

Кут. сторони

якого утворюють пряму, називають розгорнутим.

Кути, як і відрізки, можна вимірювати. Нагадаємо, що для вимірювання відрізків ми застосували одиничний відрізок (1 мм, 1 см тощо). Однак для вимірювання кутів у нас поки що немає одиничного кута.

Створити його можна, наприклад, так. Поділимо розгорнутий кут на 180 рівних кутів (рис. 85). Кут, утворений двома сусідніми променями, обирають за одиницю виміру. Його величину називають градусом (від лат. gradus – “крок”, “сходинка”) і записують 1°.

Виміряти кут – це означає підрахувати, скільки одиничних кутів у ньому міститься.

Рис.

Тоді величина або, як ще прийнято говорити, градусна міра розгорнутого кута дорівнює 180°. Можна сказати й так: розгорнутий кут дорівнює 180°.

Для вимірювання кутів використовують спеціальний прилад – транспортир (рис. 86). Він складається зазвичай з півкільця, з’єднаного з лінійкою. Його шкала містить 180 поділок.

Щоб виміряти кут, сумістимо його вершину з центром транспортира так, щоб одна із сторін кута пройшла по лінійці (рис. 87). Тоді штрих на шкалі, через який пройде друга сторона, укаже градусну міру (величину) цього кута.

Рис. 86

Рис. 87

Так, на рисунку 87 ∠AOB = 53°, на рисунку 88 ∠MON =136°.

Рис. 88

Рис. 89

Рівні кути мають рівні градусні міри. Із двох нерівних кутів більшим будемо вважати той, градусна міра якого більша. Наприклад, із трьох кутів, зображених на рисунку 89, ∠MON – найбільший. У цьому легко переконатися, вимірявши кути транспортиром.

Величина кута має таку властивість.

Якщо між сторонами кута ABC провести промінь BD, то градусна міра кута ABC дорівнюватиме сумі градусних мір кутів ABD и DBC (рис. 90), тобто ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC.

Рис. 90

Зазначимо, що бісектриса розгорнутого кута ділить його на два кути, градусна міра кожного з яких дорівнює 90° (рис. 91).

Кут, градусна міра якого дорівнює 90°, називають прямим.

Рис. 91

Зокрема, на рисунку 91 кожний із кутів АОС і ВОС є прямим.

Прямий кут позначають так, як на рисунку 92.

Кут, градусна міра якого менша від 90°, називають гострим (рис. 93).

Кут, градусна міра якого більша за 90°, але менша від 180°, називають тупим (рис. 94).

ПРИКЛАД 1 Дано промінь ОА. Побудуйте кут ВОА, градусна міра якого дорівнює 72°.

Розв’язання. Сумістимо центр транспортира з точкою О так, щоб промінь ОА пройшов по лінійці. Виберемо на кільці транспортира штрих, який відповідає 72°. Біля цього штриха позначимо точку В (рис. 95). Проведемо промінь ОВ. Кут ВОА – шуканий.

Якщо дано промінь ОА і побудовано кут ВОА, то говорять, що від променя ОА відкладено кут ВОА.

ПРИКЛАД 2 З вершини кута ABC проведено промені ВК і ВМ так, що ∠ABK = 48°, ∠CBM = 72° (рис. 96). Обчисліть величину кута ABC, якщо∠MBK = 16°.

Рис. 95

Рис. 96

Розв’язання. Маємо:

∠ABM = ∠ABK – ∠MBK;

∠ABM = 48° – 16° = 32°;

∠ABC = ∠ABM + ∠CBM;

∠ABC = 32° + 72° = 104°.

Відповідь: 104°.

Розв’язуємо усно

1. Назвіть два числа, одне з яких:

1) на 27 більше за друге;

2) на 15 менше від другого;

3) у 7 разів менше від другого;

4) у 3 рази більше за друге.

2. Годинник спішить на 10 хв і зараз показує 10 год 8 хв. Яка година насправді?

3. Годинник відстає на 7 хв і зараз показує 16 год 55 хв. Яка година насправді?

4. Які з даних рівнянь не мають коренів:

1) 2х = х; 6) х + 6 = 7 + х;

2) 0х = 0; 7) 8х = 0;

3) 3 – х = 3; 8) 3 – х = 2;

4) 0х = 6; 9) 1 ∙ х = 5?

5) х ∙ х = х;

5. Для озеленення вулиці завдовжки 3 км на одному її боці посадили дерева на відстані 20 м одне від одного. Скільки дерев було посаджено? Чому дорівнює відстань між першим і п’ятим деревами?

Вправи

300. Накресліть: 1) гострий кут EFC; 2) прямий кут ORT; 3) тупий кут D; 4) розгорнутий кут КАР.

301. Знайдіть на рисунку 97 гострі, тупі та прямі кути.

Рис. 97

302. Які з даних кутів гострі, тупі, прямі, розгорнуті: ∠A = 96°, ∠B = 84°, ∠S = 180°, ∠D = 90°, ∠R = 162°, ∠E = 60°, ∠Q = 100°, ∠M = 72°?

303.° Знайдіть, користуючись транспортиром, градусну міру кутів, зображених на рисунку 98. Визначте вид кожного кута.

Рис. 98

304. Знайдіть, користуючись транспортиром, градусну міру кутів, зображених на рисунку 99. Визначте вид кожного кута.

Рис. 99

305. Накресліть кут, градусна міра якого дорівнює:

1) 38°; 2) 124°; 3) 92°; 4) 90°; 5) 87°; 6) 54°; 7) 170°;

8) 65°. Визначте вид кожного кута.

Проведіть промінь. Відкладіть від цього променя кут, градусна міра якого дорівнює: 1) 40°; 2) 130°;

3) 68°; 4) 164°. Визначте вид кожного з побудованих кутів.

307.° На рисунку 100 ∠CMK = 132°, а кут АМК – розгорнутий. Обчисліть величину кута АМС.

Рис. 100

Рис. 101

308. На рисунку 101 кут АОК – прямий, Z∠COP = 54°, а кут СОК – розгорнутий. Обчисліть величину кута АОР.

309.° Який із кутів, зображених на рисунку 102, найбільший? найменший?

Рис. 102

310.° Накресліть кут CDE, який дорівнює 152°. Променем DA розділіть його на два кути так, щоб ∠CDA = 98°. Обчисліть величину кута ADE.

311.° Накресліть кут ABC, який дорівнює 106°. Променем BD розділіть цей кут на два кути так, щоб ∠ABD = 34°. Обчисліть величину кута DBC.

312.° З вершини прямого кута ВОМ (рис. 103) проведено промені ОА і ОС так, що ∠BOC = 74°, ∠AOM = 62°. Обчисліть величину кута АОС.

Рис. 103

Рис. 104

313.° З вершини розгорнутого кута АСР (рис. 104) проведено промені СТ і CF так, що ∠ACF = 158°, ∠TCP = 134°. Обчисліть величину кута TCF.

314.° Чи правильне твердження:

1) будь-який кут, менший від тупого, – гострий;

2) кут, менший від розгорнутого, – тупий;

3) бісектриса тупого кута ділить його на два гострих кути;

4) сума градусних мір двох гострих кутів більша за 90°;

5) кут, більший за прямий, – тупий?

315.° Знайдіть градусну міру кута між стрілками годинника, якщо вони показують: 1) 3 год; 2) 6 год; 3) 4 год; 4) 11 год; 5) 7 год.

316.° Промінь ВК є бісектрисою кута CBD, ∠ABK = 146° (рис. 105). Обчисліть градусну міру кута CBD.

Рис. 105

Рис. 106

317.° Промінь ОА є бісектрисою кута СОМ, ∠COM = 54° (рис. 106). Обчисліть градусну міру кута АОВ.

318.° Проведіть три прямі, що перетинаються в одній точці. Запишіть усі розгорнуті кути, які утворилися при цьому.

319.° Проведіть шість прямих, що перетинаються в одній точці. Чи правильно, що серед кутів, які при цьому утворилися, є кут, градусна міра якого менша від 31°?

Вправи для повторення

320. Заповніть ланцюжок обчислень:

321. Чи правильна нерівність

(а + 253) ∙ 7 < (9864 – а) : 4 при а = 124?

322. У чотирьох стаканах вміщується стільки ж молока, як і в банці. У стакані та банці вміщується разом 1 кг 200 г молока. Скільки грамів молока вміщується у стакані?

323. Довжина сухопутного кордону України з Росією, Білоруссю та Молдовою становить 4232 км. Знайдіть довжину кордону України з кожною з цих держав, якщо довжина кордону з Росією і Білоруссю дорівнює 3038 км, а з Росією і Молдовою – 3257 км.

Задача від Мудрої Сови

324. Равлик удень піднімається вгору по жердині на 3 м, а вночі з’їжджає по ній на 2 м вниз. На який день він добереться до вершини жердини, довжина якої дорівнює 20 м?