Вертикальні кути. Кут між двома прямими, що перетинаються

Розділ 2. Взаємне розміщення прямих па площині

§ 6. Вертикальні кути. Кут між двома прямими, що перетинаються

107. 1) За властивістю вертикальних кутів – вертикальні кути рівні. Отже, кут, вертикальний до кута 15°, дорівнює 15°.

2) За властивістю вертикальних кутів – вертикальні кути рівні. Отже, кут, вертикальний до кута 129°, дорівнює 129°.

Відповідь: 1) 15°; 2) 129°.

108. 1) За властивістю вертикальні кути рівні. Отже, кут, вертикальний до кута 42°, дорівнює 42°.

2) За властивістю вертикальні кути рівні. Отже, кут, вертикальний

до кута 139°, дорівнює 139°.

109. На рис. 65 пари вертикальних кутів – це: ∠BPC і ∠KPL, ∠APB і ∠LPM, ∠APC і ∠KPM, ∠APK і ∠CPM, ∠BPK і ∠LPC, ∠APL і ∠MPB.

110. При перетині двох прямих утворилося чотири кути. Нехай ∠KPN = 40°, тоді ∠LPM = 40°, бо за властивістю вертикальні кути рівні. ∠KPL та ∠LPM – суміжні.

Вертикальні кути. Кут між двома прямими, що перетинаються

Тоді за властивістю суміжних кутів ∠KPL + ∠LPM = 180°, звідси ∠KPL = 180°- ∠LPM; ∠KPL = 180° -40° = 140°. ∠KPL і ∠NPM – вертикальні. За властивістю вертикальні кути рівні, отже, ∠NPM =140°.

Відповідь: 40°, 140°, 140°.

111. ∠AML та ∠PMB – вертикальні кути. ∠PMB = ∠AML = 120°.

∠AML

та ∠LMB – суміжні, отже, їх сума дорівнює 180°. ∠AML + ∠LMB = 180°, звідси ∠LMB = 180° – ∠AML; ∠LMB = 180° – 120° = 60°.

∠AMP та ∠LMB – вертикальні. ∠AMP = ∠LMB = 60°.

Відповідь: 60°, 120°, 60°.

113. За означенням кутом між прямими, що перетинаються, є менший з кутів, що утворилися при перетині цих прямих. Отже, кутом між прямими AB і PL є кут РОА або кут BOL. ∠POA – суміжний кут до кута РОВ. Отже, ∠POA + ∠POB = 180°, ∠POА = 180° – ∠POB, ∠POA = 180° – 118° = 62°.

Відповідь: 62°.

114.

Вертикальні кути. Кут між двома прямими, що перетинаються

CD і AB – прямі, що перетинаються. Оскільки кут між прямими не може бути більше за 90°, то кутом між прямими CD і AB буде кут АРС або кут BPD. ∠APC = 55°.

Відповідь: 55°.

115.

Вертикальні кути. Кут між двома прямими, що перетинаються

∠MON та ∠KOL – вертикальні, ∠МОК та ∠NOL – вертикальні.

За властивістю вертикальні кути рівні, отже, ∠KOL = ∠MON = 110°.

∠МОК та ∠MON – суміжні, отже, ∠MOK + ∠MON = 180°, звідси ∠MOK = 180° – ∠MON = 180° – 110° = 70°. ∠NOL = ∠MOK = 70°.

Відповідь: 70°, 70°, 110°.

116.

Вертикальні кути. Кут між двома прямими, що перетинаються

Оскільки OD доповняльний промінь до OB, OP доповняльний промінь до ОА, то ∠АОВ та ∠DOP, ∠DOA та ∠РОВ – вертикальні. За властивістю вертикальні кути рівні. Отже, ∠DOP = ∠АОВ = 30°.∠DOA та ∠АОВ – суміжні. За властивістю суміжних кутів ∠DOA + ∠АОВ = 180°, ∠DOA + 30° = 180°, ∠DOA = 150°. ∠РОВ = ∠DOA = 150°.

Відповідь: 30°, 150°, 150°.

117. 1) Оскільки всі кути рівні між собою, то позначимо градусну міру кожного х. Розглянемо пару суміжних кутів. За властивістю суміжних кутів їх сума дорівнює 180°. х + х = 180°; 2х = 180°; х = 90°. Отже, кожен кут дорівнює 90°. Відповідь: всі кути по 90°.

2) При перетині двох прямих утворюються дві пари вертикальних кутів і чотири пари суміжних. Сума двох будь-яких суміжних кутів дорівнює 180°. За умовою задачі сума кутів дорівнює 178°, отже, ці кути вертикальні.

Один з кутів дорівнює 178° : 2 = 89°, а суміжний з них кут дорівнює 180° – 89° = 91°. Отже, утворилися кути 89°, 89°, 91°, 91°.

Відповідь: 89°, 89°, 91°, 91°.

118. 1) При перетині двох прямих утворюються дві пари вертикальних кутів і чотири пари суміжних. Оскільки сума суміжних кутів дорівнює 180°, а за умовою сума двох кутів дорівнює 16°, то ці кути – вертикальні.

Один з кутів дорівнює 16° : 2 = 8°, а суміжний з ним кут дорівнює 180° – 8° = 172°.

Отже, утворилися кути: 8°, 8°, 172°, 172°.

Відповідь: 8°, 8°, 172°, 172°.

2) Оскільки три з чотирьох кутів рівні, то серед них є пара суміжних кутів, сума яких дорівнює 180°. Позначимо градусну міру кутів х. Тоді х + х = 180°; 2х = 180°; x = 90°. Отже, три з утворених кутів дорівнюють 90°. Тоді і четвертий кут теж 90°, тому що він вертикальний з одним із трьох знайдених кутів. Відповідь: всі кути по 90°.

119. 1) При перетині двох прямих утворюються дві пари вертикальних кутів і чотири пари суміжних кутів. Різниця двох вертикальних кутів дорівнює 0°, а різниця двох суміжних кутів (відмінних від прямих) відмінна від 0°. Отже, за умовою задачі задана різниця двох суміжних кутів.

Менший кут дорівнює (180° – 18°) : 2 = 81°, тоді більший кут дорівнює 180° – 81° = 99°. За означенням, якщо кутом між прямими, що перетинаються, є менший з кутів, то цей кут дорівнює 81°.

Відповідь: 81°.

2)

Вертикальні кути. Кут між двома прямими, що перетинаються

Нехай за умовою ∠СОА + ∠AOD + ∠DOB = 293°. ∠СОА і ∠AOD – суміжні, тому ∠СОА + ∠AOD = 180°. Отже, кут DOB = 293° – 180° = 113°.

∠СОВ і ∠DOB – суміжні, отже, їхня сума 180°. ∠СОВ + 113° = 180°; ∠СОВ = 180° – 113° = 67°. ∠СОВ – кут між прямими, що перетинаються.

Відповідь: 67°.

120. Оскільки вертикальні кути рівні, то за умовою задачі задані суміжні кути. Нехай градусна міра меншого кута дорівнює х, тоді більшого – 2х. За властивістю суміжних кутів їхня сума дорівнює 180°. Отже, маємо х + 2х= 180°; 8х = 180°; х = 60°. Тож кут між прямими дорівнює 60°.

Відповідь: 60°.

121.

Вертикальні кути. Кут між двома прямими, що перетинаються

∠BMC = ∠KML = 20° (як вертикальні кути). ∠KMP = ∠KML + ∠LMP – 20° + 60° = 80° (згідно з основною властивістю вимірювання кутів).

∠AMK і ∠KMP – суміжні. ∠AMK + ∠KMP = 180°, ∠AMK + 80° = 180°. ∠AMK = 180° – 80° = 100°.

Відповідь: 100°.

122.

Вертикальні кути. Кут між двома прямими, що перетинаються

∠BMC = ∠KML = 25° (як вертикальні кути). ∠BMP = ∠BMC + ∠CMP = 25° + 105° = 130° (згідно з основною властивістю вимірювання кутів). ∠AMB і ∠BMP – суміжні. ∠AMB + ∠BMP = 180°, ∠AMB + 130° = 180°, ∠AMB = 180° – 130° = 50°.

Відповідь: 50°.

123.

Вертикальні кути. Кут між двома прямими, що перетинаються

Кути 2, 4 і 3 утворюють розгорнутий кут, отже ∠2 + ∠4 + ∠3 = 180°.

∠1 = ∠4 – як вертикальні кути. Звідси ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Відповідь: 180°.

124.

Вертикальні кути. Кут між двома прямими, що перетинаються

Нехай ∠COB і ∠AOD – вертикальні, ОL – бісектриса кута СОВ, ОК – бісектриса кута AOD. Доведемо, що ∠KOL = 180°. Оскільки ∠COB = ∠AOD, то ∠BOL = ∠AOK – як половини рівних кутів.

Тоді ∠KOL = ∠AOK + ∠AOC + ∠COL = ∠AOC + (∠BOL + ∠COL) = ∠AOC + ∠COB = 180°. Отже, бісектриси вертикальних кутів утворюють розгорнутий кут. Отже, OL доповняльний до ОК.

125. Десять точок на прямій розбивають відстань між крайніми точками на 9 відрізків по 2 см кожний. Отже, відстань між крайніми точками дорівнює 9 x 2 = 18 (см).

Відповідь: 18 см.

126. 1) Ні; 2) так; 3) ні; 4) ні; 5) так; 6) ні.

127. 1) 14; 2) Вертикальні кути. Кут між двома прямими, що перетинаються

Домашня самостійна робота № 1 (§§ 1-6)

1. Як прямій а, так і прямій b належить точка М. Отже, відповідь В) М.

2. Оскільки тупий кут більший за прямий, але менший від розгорнутого, то правильна відповідь A) ∠M = 129°.

3. Оскільки сума суміжних кутів дорівнює 180°, то правильна відповідь Б) 27° і 153°.

4.

Вертикальні кути. Кут між двома прямими, що перетинаються

Згідно з основною властивістю вимірювання кутів маємо: ∠AOB = ∠AOP + ∠POB = 20° + 50° = 70°. Отже, правильна відповідь Б) 70°.

5. Вертикальні кути. Кут між двома прямими, що перетинаються

Згідно з основною властивістю вимірювання відрізків AL + LB = AB, звідси AL = АВ – LB = 8 см – 5 см = 3 см. Отже, правильна відповідь Г) 3 см.

6. При перетині двох прямих утворюються дві пари вертикальних кутів і чотири пари суміжних кутів. Оскільки сума суміжних кутів дорівнює 180°, а за умовою сума двох кутів дорівнює 160°, то ці кути вертикальні. Один з них дорівнює 160° : 2 = 80°, а суміжний з ним кут дорівнює 180°-80°= 100°.

За означенням, якщо кутом між прямими, що перетинаються, є менший з кутів, то цей кут дорівнює 80°. Отже, правильна відповідь В) 80°.

7. Вертикальні кути. Кут між двома прямими, що перетинаються

Оскільки ВС = AB + АС, 7 см = 4 см+ 3 см, 7 см = 7 см, то точка А лежить між точками В і С. Отже, правильна відповідь А).

8. ∠COK = ∠KOB = 35° (оскільки ОК – бісектриса кута СОВ), ∠AOB – розгорнутий, ∠AOB = 180°, ∠AOB = ∠AOK + ∠KOB, 180° = ∠AOK + 35°, ∠AOK = 180° -35° = 145°. Отже, правильна відповідь В) 145°.

9. Нехай один із суміжних кутів х, тоді другий 2х. Оскільки сума суміжних кутів дорівнює 180°, маємо: х + 2х = 180°; 3х = 180°; х = 60°; 2х = 120°. Отже, правильна відповідь Г) 120°.

10.

Вертикальні кути. Кут між двома прямими, що перетинаються

Правильна відповідь Г) 120°.

11.

Вертикальні кути. Кут між двома прямими, що перетинаються

∠AON = ∠MON – ∠MOA = 180° – 120° = 60°. ∠MOB = ∠MON – ∠NOB = 180° – 110° = 70°. ∠BOA = ∠MON – ∠AON – ∠MOB = 180° – 60° – 70° = 50°. Отже, правильна відповідь А) 50°.

12. Нехай градусна міра одного з кутів х, тоді другого 2х. Кут, суміжний з першим кутом – 180° – х, з другим – 180° – 2х. 3а умовою 180° – х – (180° – 2х) = 70°; 180° – х – 180° + 2х = 70°; х = 70°; 2х = 140°. Отже, правильна відповідь Г) 140°.

Завдання для перевірки знань (§§ 1-6)

1. В є a, D є а, М ∉ а, С ∉ а.

2. 1) ∠A = 92° – тупий;

2) ∠B = 180° – розгорнутий;

3) ∠C = 90° – прямий;

4) ∠D = 31° – гострий.

3. ∠BAD і ∠KAN, ∠BAK і ∠DAN – вертикальні.

4. Вертикальні кути. Кут між двома прямими, що перетинаються

MN = CM + CN, звідси CM = MN – CN = 7,2 см – 3,4 CM = 3,8 CM.

Відповідь: 3,8 см.

5.

Вертикальні кути. Кут між двома прямими, що перетинаються

∠AOB = 70°, ОС – бісектриса кута АОВ.

6.

Вертикальні кути. Кут між двома прямими, що перетинаються

∠AOC i ∠COB – суміжні. ∠AOC + ∠COB = 180°, ∠COB = 180° – 132° = 48°. ∠COB – кут між прямими AB і CD.

Відповідь: 48°.

7. Вертикальні кути. Кут між двома прямими, що перетинаються

AN – AB – BN = 30 – 16 = 14 (CM), MB = AВ – AM = 30 – 20 = 10 (CM), MN = AB – (AN + MB) = 30 – (14 + 10) = 30 – 24 = 6 (CM).

Відповідь: 6 CM.

8.

Вертикальні кути. Кут між двома прямими, що перетинаються

Нехай градусна міра кута ВОС – x, тоді ∠AOВ = х + 12.

Оскільки сума суміжних кутів дорівнює 180°, маємо: х + х + 12° = 180°; 2x = 168°; x = 84°. Отже, один з кутів дорівнює 84°, тоді другий – 84° + 12° = 96°.

Відповідь: 84°, 96°.

9. Задача має два розв’язки.

I розв’язок: Вертикальні кути. Кут між двома прямими, що перетинаються

AВ = АК + КВ = 9,3 + 3,7 = 13 (см).

II розв’язок: Вертикальні кути. Кут між двома прямими, що перетинаються

AВ = АК – КВ = 9,3 – 3,7 = 5,6 (см).

Додаткові вправи

10.

Вертикальні кути. Кут між двома прямими, що перетинаються

∠АОВ = 48°, ОС – бісектриса кута АОВ.

∠АОС = ∠СОВ = 48° : 2 = 24° (оскільки ОС – бісектриса кута АОВ). OD – доповняльний промінь до сторони ОА кута АОС. ∠AOD = 48°. ∠AOD = ∠AOC + ∠COD, звідси ∠COD = ∠AOD – ∠AOC = 180° – 24° = 156°.

Відповідь: 156°.

11. Нехай один з кутів х, тоді другий – 3х.

Кут, суміжний з першим кутом – 180° – х, а другим – 180° – 3х. Градусні міри цих кутів відносяться, як 7 : 3. Складемо пропорцію: Вертикальні кути. Кут між двома прямими, що перетинаються 3(180° – х) = 7(180° – 3х); 540 – 3х = 1260 – 21х; 18х = 720°; х = 40°. Отже, один з кутів дорівнює 40°, другий – 40° х 3 = 120°.

Відповідь: 40°, 120°.


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (1 votes, average: 5.00 out of 5)
Loading...



Найпоширеніші отруйні рослини тварини гриби.
Ви зараз читаєте: Вертикальні кути. Кут між двома прямими, що перетинаються