Головна ⇒ 📌Математика ⇒ Застосування кількох способів розкладання многочленів на множники

Застосування кількох способів розкладання многочленів на множники

Розділ 1. ЦІЛІ ВИРАЗИ

& 18. Застосування кількох способів розкладання многочленів на множники

У попередніх параграфах ми вже розглядали кілька способів розкладання многочленів на множники: винесення спільного множника за дужки, групування, застосування формул скороченого множення.

Іноді, щоб розкласти многочлен на множники, доводиться застосовувати кілька способів. У такому випадку розкладання

На множники доцільно починати з винесення спільного множника за дужки, якщо такий множник існує.

Розглянемо кілька прикладів.

Приклад

1. Розкласти на множники многочлен 5m4 – 20m2n2.

Р о з в’ я з а н н я. Спочатку винесемо за дужки спільний множник 5m2:

5m4 – 20m2n2 = 5m2(m2 – 4n2).

Потім до виразу в дужках застосуємо формулу різниці квадратів:

5m2(n2 – 4n2) = 5m2(m – 2n)(m – 2n).

Отже, 5m4 – 20m2n2 = 5m2(m – 2n)(m + 2n).

Приклад 2. Розкласти на множники многочлен 2х4 + 12×3 + 18х2.

Р о з в’ я з а н н я. Винесемо за дужки спільний множник 2×2, а до виразу в дужках застосуємо формулу квадрата суми:

2х4 + 12×3 + 18×2 = 2х2(х2 + 6x + 9) = 2х2(х + 2)2.

Приклад 3. Розкласти на множники многочлен a3b2 – 3а3b + 5а2b2 – 15а2b.

Р о з в ‘ я з а н н я. Винесемо

за дужки спільний множник а2b. Одержимо:

A3b2- 3а3b + 5а2b2 – 15а2b = а2b(аb – 3а + 5b – 15).

Многочлен ab – 3а + 5b – 15, що утворився в дужках, можна розкласти на множники способом групування:

Ab – 3а + 5b – 15 – (ab – 3а) + (5b – 15) = а(b – 3) + 5(b – 3) = (b – 3)(а + 5).

Остаточно маємо:

А3b2 – 3а3b + 5а2b2 – 15а2b = а2b(b – 3)(а + 5).

Універсального правила, за яким можна було б розкладати многочлени на множники, немає. Приклади, які ми розглянули вище, дозволяють лише сформулювати правило-орієнтир, якого бажало дотримуватися при розкладанні многочленів на множники.

1) Якщо можливо, винести спільний множник за дужки.

2) Перевірити, чи не є вираз, одержаний в дужках, квадратом двочлена або різницею квадратів, різницею чи сумою кубів.

3) Якщо многочлен, отриманий у дужках, містить чотири або шість доданків, перевірити, чи не розкладається він на множники способом групування.

Окрім за пропонованого правила, інколи допомагають штучні прийоми.

Приклад 4. Розкласти на множники многочлен а2 – 4а + 4 – b2.

Р о з в ‘ я з а н н я. Оскільки перші три доданки є квадратом двочлена, застосуємо штучне групування, розбивши многочлен на дві групи, одна я яких містить цей квадрат двочлена, а друга – четвертий доданок:

А2 – 4а + 4 – b2 – (а2 – 4а + 4) – b2.

Першу групу згорнемо у квадрат різниці: а2 – 4а + 4 = = (а – 2)2, після чого даний многочлен перетвориться на різницю квадратів двох виразів: а2- 4а + 4 – b2 = (а – 2)2 – b2, яку розкладемо на множники за формулою різниці квадратів.

Отже, маємо:

А2 – 4а + 4 – b2 = (а – 2)2 – b2 = (а – 2 – b)(а – 2 + b).

Приклад 5. Розв’язати рівняння х2 + 8х – 20 = 0.

Р о з в ‘ я з а н н я. Знайдемо такe число, яке разом із виразом х2 + 8х утворює квадрат двочлена. Таким числом є 16. У лівій частіші рівняння додамо і віднімемо число 16. Одержимо:

Х2 + 8х + 16 – 16 – 20 = 0;

(х2 + 8x + 16) – 36 = 0;

(х + 4)2 – 62 = 0.

Далі розкладемо ліву частину рівняння на множники за формулою різниці квадратів і розв’яжемо одержане рівняння:

(х + 4 – 6)(х + 4 + 6) = 0;

(х – 2)(х + 10) = 0;

Х – 2 = 0 або х + 10 = 0;

Х = 2 або х = 10.

В і д п о в і д ь: -10; 2.

Перетворення х2 + 8х – 20 = х2 + 8х + 16 – 16 – 20 = (х + 4)2 – 36 називають виділенням квадрата двочлена.

Не кожний многочлен другого степеня можна розкласти на множники. Наприклад, на множники не можна розкласти многочлени х2 + 4, х2 + y2 + 1, х2 + х + 2 тощо. Зокрема, не розкладаються на множники многочлени другого степеня, які є неповними квадратами суми або різниці та не містять спільного множника.

Наприклад, m2 + m + 1, р2 – 3р + 9, 4×2 + 2x + 1 тощо.

Які способи розкладання многочленів на множники ви знаєте? У чому полягає правило-орієнтир, яке доцільно використовувати при розкладанні многочленів на множники? Чи кожний многочлен можна розкласти на множники? Наведіть приклади многочленів, які не можна розкласти на множники.

(Усно) Із формул виберіть ті, що є тотожностями:

1) (а + b)2-a2 + ab + b2;

2) а2 – b2 = (а – b)(а + b);

3) (а – b)2 – а2 – 2ab + b2;

4) а3 + b3 = (а + b)(a2 – ab + b2);

5) а3 – b3 = (а – b)(a2 + 2аb + b2);

6) а2 – b2 = (а – b)2.

Які з формул є тотожностями:

1) (m – n)2 = m2 – mn + n2;

2) x3 + у3 = (х + у)(х2 – 2ху + у2);

3) р2 – q2 = (р – q)(p + q);

4) (с + d)2= с2+ 2cd + d2;

5) m3 – n3 = (m – n)(m2 + mn + n2);

6) a2 – b2 = (a + b)(a + b)?

Закінчіть розкладання на множники:

1) ха2 – 9х = х(а2 – 9) = х(a2 – 32) = …

2) bm2 – 2mb + b = b(m2 – 2m + 1) = …

(Усно) Розкладіть на множники:

1) ах2 – ау2;

2) mр2 – m;

3) b3 – b.

Розкладіть на множники:

1) 5а2 – 5b2;

2) ар2 – aq2;

3) 2хm2 – 2хn2;

4) 7b2 – 7;

5) 16 x2 – 4;

6) 75 – 27с2;

7) 5mk2 – 20m;

8) 63ad2 – 7а;

9) 125рx2 – 5ру2.

Подайте у вигляді добутку:

1) m3 – m;

2) р2 – р4;

3) 7а – 7а3;

4) 9а2 – 9а4;

5) 81с3 – с5;

6) 3а5 – 300а7.

Розкладіть на множники:

1) ах2 – ау2;

2) mа2 – 4mb2;

3) 28 – 7m2;

4) p5 – p3;

5) b – 4b3;

6) а5 – а3с2;

7) 15d – 15d3;

8) 625b3 – b5;

9) 500а5 – 45а3.

Розв’яжіть рівняння:

1) 3х2 – 27 = 0;

2) 5 – 20×2 = 0.

Знайдіть корені рівняння:

1) 8 – 2х2 = 0;

2) 75×2 – 3 = 0.

Розкладіть на множники:

1) 3а2 + 6аb + 3b2;

2) – 2m2 + 4mn – 2n2;

3) – а2 – 4а – 4;

4) 6а2 + 24аb + 24b2;

5) 2аm2 + 4аm + 2а;

6) 8а4 – 8а3 + 2а2.

Подайте многочлен у вигляді добутку:

1) -4а2 + 8ab – 4b2;

2) -25by2- 10by – b;

3) а5 + 6a4m + 9a3m2;

4) 6by2 + 36by3 + 54by4.

Знайдіть значення виразу:

1) 3m2 – 3n2, якщо m = 41, n = 59;

2) 2х2 + 4ху + 2у2, якщо х = 29, у = 28.

Знайдіть значення виразу:

1) 5×2 – 5y2, якщо х = 49, у = 51;

2) 3а2 – 6ab + 3b2, якщо а = 102, b = 101.

Подайте у вигляді добутку:

1) 3а3 – 3b2;

2)7×3 + 7у3;

3) – рm3 – рn3;

4) 16а3 – 2;

5) 125m + m4;

6) а7 – а4.

Розкладіть на множники:

1) bx3 – by3;

2) -2a3 – 2b3;

3) 8a – a4.

Розкладіть на множники:

1) а4 – 81;

2) 16 – с4;

3) х8 – 1;

4) а4 – b8.

Доведіть тотожність:

А8 – b8 = (а – b)(а + b)(а2 + b2)(а4 + b4).

Розв’яжіть рівняння:

1) x3 – х = 0;

2) 112y – 7y3 = 0;

3) 64х3 + х = 0;

4) у3 + 4y2 + 4у = 0.

Розв’яжіть рівняння:

1) у – у3 = 0;

2) 5х3 – 180х = 0;

3) 16у3 + у = 0;

4) x3 – 2×2 + х = 0.

Розкладіть на множники:

1) 7ab + 21а -7b – 21;

2) 6mn + 60 – 30m – 12n;

3) abc – 3ас – 4ab – 12а;

4) а3 – ab – а2b + а2.

Подайте вираз у вигляді добутку:

1) 90 + 3аb – 45а – 6b;

2) -3mn – 9m – 18n – 54;

3) а4х + а4 + а3х + а3;

4) р3а2 + ра2 – 3ар2 – 3ар.

Розкладіть на множники:

1) а2 + 2ab + b2 – 16;

2) а2 – х2 – 2ху – у2;

З) р2 – х2 + 10р + 25;

4) m2 – b2 – 8b – 16.

Розкладіть на множники:

1) x2 + 2ху + у2 – 25;

2) m2 – а2 + 2аb – b2;

3) m2 – а2 – 8m + 16;

4) р2 – х2 + 20х – 100.

Подайте вираз у вигляді добутку:

1) а2 – 81 + а – 9;

2) m2 – а2 – (а + m);

3) x2 – у2 – х + у;

4) х + х2 – у – y2;

5) а – 3b + а2 – 9b2;

6) 16m2 – 25n2 – 4m – 5n.

Розкладіть на множники:

1) а2 – b2 – (а – b);

2) р2 – b – р – b2;

3) 16×2 – 25y2 + 4х – 5у;

4) 100m2 – 10m + 9n – 81n2.

Перетворіть вираз на добуток:

1) р2(m – 3) – 2р(m – 3) + (m – 3);

2) 1 – а2 – 4b(1 – а2) + 4b2(1 – а2).

Доведіть тотожність:

С2(с – 2) – 10с(с – 2) + 25(с – 2) = (с – 2)(с – 5)2.

Подайте у вигляді добутку:

1) аb2 – b3 – а + b;

2) ах2 – а3 + 7х2 – 7а2;

3) р3 + p2q – 4р – 4q;

4) а3 – 5m2 + 5а2 – аm2.

Розкладіть на множники:

1) m3 + n3 + m + n;

2) а – b – (а3 – b3);

3) а3 + 8 – а2 – 2а;

4) 8р3 – 1 – 12р2 + 6р.

Подайте у вигляді добутку:

1) m3 + m2n – m – n;

2) bа2 – 3а2 – 4b + 12;

3) а3 – b3 + а – b;

4) х3 + 1 – 5х – 5.

Розв’яжіть рівняння:

1) у3 – 5у2 – у + 5 = 0;

2) х3 = 2х2 + 4х – 8.

При якому значенні х:

1) значення виразу х3 – х2 – х + 1 дорівнює нулю;

2) значення виразів x3 – 9х і х2 – 9 є між собою рівними?

Запишіть у вигляді добутку:

1) 9(а + b)2 – (а2 – 2ab + b2);

2) 25(3у – 2m)2 – 36(9у2 + 12mу + 4m2).

Розкладіть на множники:

1) а3 + 8b3 + а2 – 2ab + 4b2;

2) m3 – 8n3 + m2 – 4mn + 4n2.

Перетворіть многочлен на добуток многочленів:

1) a3 – b3 + а2 – 2аb + b2;

2) с2+ 2cd + d2 – x2 – 2xy – у2.

Розкладіть тричлен на множники, виділивши попередньо квадрат двочлена:

1) х2 – 2х – 3;

2) х2 + 8х – 9;

3) х2 – 3х – 4;

4) х2 + х – 2.

Р о з в ‘ я з а н н я.

4) х2 + х – 2 = х2 + 2 ∙ х ∙ + ()2 – ()2 – 2 = (х + ) – = (х + )2 – ()2 = (х + + ) (х + – ) = (х – 1)(х +2).

Доведіть, що при будь-якому цілому значенні n значення виразу є числом цілим.

Вправи для повторення

Спростіть вираз:

1) х(х + 1)(х + 2) – 3(х – 2)(х + 2) + 2(х – 6);

2) (2х + 3у)(3у – 1) – (2х – у)(5х – у) + (2х – 3у)(5х + 2у).

Розв’яжіть рівняння:

Х((х – 2)2 + 4х) = 64 ( х – 1)( х2+ х + 1).

Супермаркет електроніки до річниці свого відкриття вирішив продати 141 планшет і 95 смартфонів зі знижками. Щогодини продавали по 12 акційних планшетів та по 10 акційних смартфонів. Через скільки годин від початку дії знижок акційних планшетів у супермаркеті залишалося утричі більше, ніж акційних смартфонів?

Цікаві задачі для учнів неледачих

Сашко і Марійка живуть в одному під’їзді на одному поверсі і навчаються в одній школі. Сашко пішки витрачає на дорогу до школи 12 хвилин, а Марійка – 18 хв. Через 3 хвилини після виходу Марійки до школи вийшов і Сашко. Через який час після свого виходу віл її наздожене?

Домашня самостійна робота № З

Кожне завдання має по чотири варіанти відповідей (А – Г), серед яких лише один є правильним. Оберіть варіант правильної відповіді.

Якому многочлену тотожно дорівнює вираз (m – n)2?

A)m2 + 2mn + n2;

В) m2 – n2;

B) m2 + n2;

Г) m2 – 2mn + n2.

Знайдіть добуток (а – х)(а + x).

А) а2 + х2;

Б) а2 – х2;

В) х2 – а2;

Г) а2 + 2ха + х2.

Подайте вираз х2 + 2ху + у2 у вигляді квадрата двочлена.

А) (х – у)2;

В)(у – х)2;

В) (2 х + y)2;

Г) (х + у)2.

Перетворіть вираз (5х – 1)2 на многочлен.

A)5х2 – 10х + 1;

Б) 25×2 + 10x + 1;

B) 25х2 – 10х +1;

Г) 25х2 – 1.

Розкладіть двочлен -16 + 9а2 на множники. A) (3а – 4)(3а – 4);

Б) (3а + 4)(4 – 3а);

B) (3а + 4)(3а – 4);

Г) (3а – 4)2.

Подайте вираз m3 + 64 у вигляді добутку. A) (m + 4)(m2 – 4m + 16);

Б) (m + 4)(m2 – 8m + 16);

B) (m – 4)(m2 + 4m + 16);

Г) (m + 4)(m2 – 4m – 16).

Розв’яжіть рівняння: х(х + 2) – (х – 3)2 = 7.

А) -2;

Б) -1;

В) 1;

Г) 2.

Спростіть вираз (m2 + 2р)(m4 – 2m2р + 4р2).

А) m4 + 8р3;

Б) m6 + 8р3;

В) m8 – 8р3;

Г) m8 + 4р3.

Розкладіть многочлен 3аb – 3b + 6а – 6 на множники. A) (а – 1)(b + 2);

Б) 3(а + 1)(b – 2);

B) 3(а + 1)(b + 2);

Г) 3(а – 1)(b + 2).

Якого найменшого значення набуває вираз х2 + 4х + 3?

А) 1;

Б) 0;

В) -1;

Г) -2.

Розв’яжіть рівняння х3 +2х2 – х – 2 = 0.

А) -2; -1; 1;

В) -2; 1;

В) -2; -1;

Г) -1; 1.

Розкладіть вираз (b – 2)3 – b3 на множники. A) 2(b2 – 6b + 4);

Б) -2(b2 – 6b + 4);

B) 2(3b2 – 6b + 4);

Г) 2(3b2 – 6b + 4).

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПЕРЕВІРКИ ЗНАНЬ ДО & 13 – & 18

Перетворіть вираз на многочлен:

1) (р + а)2;

2) (с – m)(с + m).

Розкладіть на множники:

1) t2 – 2tb + b2;

2) d2 – n2.

Які з рівностей є тотожностями:

1) (р – а)2 = р2 – ра + а2;

2) р3 + q3 = (р + q)(р2 – рq + q2);

3) m2 – с2 = (m – с)(m + с);

4) d3 – t3 = (d – t)(d2 + 2dt + t2)?

Перетворіть вираз на многочлен:

1) (3а – 5)2;

2) (7 + 2b)(2b – 7).

Розкладіть многочлен на множники:

1) а2 + 6а + 9;

2) -25 + 36х2;

3) b3 + 64;

4) 7с2 – 7d2.

Доведіть тотожність:

(4х + 3)2 – (4х – 5)(4х + 5) – 24х = 34.

Спростіть вираз:

1) (-4а + 3b)2 + (-4а + 5b)(5b + 4а) + 24аb;

2) (а – 2)(а2 + 2а + 4) – а(а – 3)(а + 3).

Розв’яжіть рівняння:

1) 2х3 – 50х = 0;

2) х3 – 10х2 + 25х = 0.

Доведіть, що при будь-якому значенні змінної х вираз х2 + 8х + 17 набуває лише додатних значень. Якого найменшого значення набуває цей вираз і при якому значенні х?

Додаткові вправи

Перетворіть вираз на многочлен:

1) (а + З)3;

2)(2m – 5)3.

Знайдіть дві останні цифри числа 2933 – 933. Розкладіть тричлен х2 + 6х – 7 на множники.

Вправи для повторення розділу 1

До &1

Випишіть вирази, які є виразами зі змінними, у дві груші: у першу – цілі раціональні вирази, у другу – дробові раціональні вирази:

1) m – 7;

2)a2 – ;

3)7 + 9 ∙ 3;

4) (3 – 9) + 7 ∙ 8;

5) – ab;

6) + c3;

7) + ;

8) а3 – а2 + а.

На склад привезли а мішків цукру по 50 кг у кожному. Запишіть виразом масу всього завезеного цукру. Знайдіть значення цього виразу, якщо а = 12. Запишіть у вигляді виразу:

1) двоцифрове число, у якому х десятків і у одиниць;

2) двоцифрове число, у якому 5 десятків і а одиниць.

3) трицифрове число, у якому а сотень, b десятків і с одиниць;

4) трицифрове число, у якому m сотень, n десятків і 6 одиниць.

Відомо, що х – у = 2 і р = 2. Знайдіть значення виразу:

1) х + р – у;

2) х – у + 5р;

3) (у – х)р;

4) ;

5) 7x – 7у – p;

6) – .

До & 2

Спростіть вираз:

1) 2+ 3а – 5;

2) 0,4m + m;

3) 3р – 2р + 5;

4) -(m – 3).

Розкрийте дужки і зведіть подібні доданки:

1) 7(5x + 8) – 12x;

2) 9m + 3(15 – 4m);

3) 6(х + 1) – 6х – 9;

4) 12x – 2(3х – 5);

5) (2х + 1) – 3(2x – 5);

6) 5(x – 2) – 4(2х – 3).

Доведіть тотожність:

1) 18(а – 2) = 12а – (20 – (6а – 16));

2) 2(х – у + t)- 3(x + у – t) – 5 (t – у) = – х.

Доведіть, що сума будь-яких трьох послідовних цілих чисел ділиться на 3. Чи є тотожністю рівність:

1) |а + 5| = а + 5;

2) |m2 + 1| = m2 = 1;

3) |m – n| = |n – m|;

4) |а| + |b| = |а + b|?

До & 3

А) Подайте добуток у вигляді степеня:

1) 0,3 ∙ 0,3 ∙ 0,3;

2) -2 ∙ (-2) . (-2) ∙ (-2);

3) aa;

4) ∙ ∙ ∙ ∙

Б) Подайте степінь у вигляді добутку однакових множників:

1)m3;

2)17x;

3) (р + 2)2;

4) ()5.

Обчисліть:

1) 26;

2) (0,2)3;

3)(- )2;

4) (-1 )3;

5)-(-2)3;

6) – ()2;

7)-(-0,1)2;

8)-(-1)27.

Не виконуючи обчислень, порівняйте значення виразу з нулем:

1) (-1,7)15 ∙ (-2,7)2;

2) (-2,3)3 : (-5,89);

3) -3,72 ∙ (-2,8)4;

4) -(-2,6)8 ∙ (-5,7)5.

Знайдіть останню цифру числа:

1) 201513;

2) 50117;

3) 100617;

4) 159 + 168 + 10117.

Чи є число:

1) 1017 + 5 кратним числу 3;

2) 1029 + 7 кратним числу 9?

До & 4

Подайте у вигляді степеня:

1)b7b3;

2) а3а;

3) 98 ∙ 97;

4) р10 : р3;

5) 198 : 196;

6) 715 : 714;

7) (а3)4;

8) (25)3.

Обчисліть:

1) З8 : 37;

2) 25∙ 212: 215;

3) ;

4).

Знайдіть значення х, при якому рівність є тотожністю:

1) (х7)х = х21;

2) (32)8 = 33х;

Запишіть вираз у вигляді степеня (n – натуральне число):

1) (а18 : а2n) . (а7 : аn), де n < 7;

2) ∙ a4n.

Знайдіть останню цифру числа (n – натуральне число):

1) 84n;

2) 74n+1.

До & 5

Які з виразів є одночленами? Які з одночленів подано у стандартному вигляді:

1) – а2с;

2) 7а. 2b ∙ 4;

3) 17;

4) aaba;

5)6(х – у);

6) р + 1;

7) – р2;

8) с9 – с?

Зведіть одночлен до стандартного вигляду, укажіть його коефіцієнт і степінь:

1) – а2b ∙ 2ab7;

2) 3m (-2m2) ∙ 5m7;

3) -7ар2∙ 0,1а2р9;

4) 1 m2 ∙ mс2;

5) – а ∙ ( b) ∙ (-с) ∙ (-5d);

6) р9 ∙ (-2а2) ∙ (-5р7) ∙ a8.

Складіть по два різних одночлени стандартного вигляду зі змінними а і b таких, щоб:

1) степінь кожного з них дорівнював 7, а коефіцієнт дорівнював -8;

2) степінь кожного з них дорівнював 3, а коефіцієнт дорівнював 17.

До & 6

Знайдіть добуток одночленів:

1) 3m ∙ 2n;

2) -4р 2а;

3) 8m2 ∙ 3n;

4) -2а3 ∙ (-b7).

Подайте вираз у вигляді одночлена стандартного вигляду.

1) -2,5m2 ∙ ( 4m3р);

2) 12р2m ∙ ( – р3m7);

3) 0,6m7а9 ∙ 10m2а7 ∙ m3;

4) (-mn7)3;

5) (-2а5b7)2;

6) (m3p7a9)5.

Знайдіть одночлен А, якщо:

1) А ∙ 14m2n = 42m4n2;

2) 3p2q7 ∙ А = – 21p3q7.

Виконайте множення одночленів 0,4m ∙ 10nm2 та знайдіть значення одержаного добутку, якщо m = -2; n = 0,5. Чи можна подати вираз у вигляді квадрата одночлена:

1) 49mn12;

2) -25а4b8;

3) -0,2m4n2 ∙ (-5m2n4);

4) -(-3а4)3 ∙ 3а12?

При якому натуральному значенні n рівність (2,5а8с)n ∙ 0,16с5 = 2,5а24с8 є тотожністю?

До & 7

З даних одночленів складіть многочлен та вкажіть його степінь:

1) 5а2 і 4b;

2) – а2; аb і m;

3) 5с3 і -8;

4) 3mn2; 4mn; -5m2n і -7.

Зведіть подібні члени многочлена:

1) 8а2b – 7аb2 + 5а2b + 4b2а;

2) 5mn – 2mn – 8 – 3mn;

3) 7m3 + m2 – 8 – m3 + 3m2;

4) 2х2у – 7xу2 – 5ху + 3ух2 + 7у2х.

Зведіть многочлен ab ∙ (-8ab2) + 8а2 ∙ (-1,5аb) + 20аb ∙ (-0,1аb2) + a2ab + 2а ∙ 6а2b до стандартного вигляду і знайдіть його значення, якщо а = 5; b = – . Чи існують такі натуральні значення змінної а, при яких значення многочлена 2а2 + 6а + 7 є парним числом?

До & 8

Спростіть вираз:

1) (3m + 5n) + (9m – 7n) – (-2n + 5m);

2) (12аb – b2) – (5аb + b2) + (аb + 2b2);

3) (3х2 + 2n) + (2х2 – 3х – 4) – (17 – х2);

4) (m – n + р) + (m – р) – (m – n – р).

1) Подайте многочлен 4х3 – 4×2 + 5х – 7 у вигляді суми двочленів.

2) Подайте многочлен х3 – 5х + 7х2 – 9 у вигляді різниці одночлена і тричлена.

Який многочлен у сумі з многочленом 2×2 – 3х + 7 дає:

1) 0;

2) 5;

3) -3х + 1;

4) х2 – 5х + 7?

Доведіть, що сума двох послідовних непарних цілих чисел ділиться на 4. Спростіть вираз 5ху – 8х2у – (3ху – (4 ху2 + 8х2у) – 2,75ху2) і знайдіть його значення, якщо х = -1; у = 3.

До & 9

Виконайте множення:

1) а(b + 7);

2) с(2 – х);

3) а(m – 3);

4) – b(а – х + у).

Перетворіть добуток на многочлен:

1) 2ха(а2 – 3ах);

2) 3mp(2m3 – 5mр);

3) 4аb2(а2 – 2ab – b2);

4) (4m3 – 2mn2 – n)2mn2;

5) (-0,1х3у + 0,2х2у – у3)(-5х2у);

6) -10n3х (5nх2 – 2n2х + х5).

Спростіть вираз і знайдіть його значення:

1) 2х(х + у) – у(2х – у) – у(у + 1), якщо х = -5, у = -10;

2) m2(m2 – 5m + 1) – 2m(m3 – 4m2 + m) + m4 – 3m3 + 2, якщо m = -3.

При якому значенні змінної значення виразу 2х(6х – 5) на 5 менше за відповідне значення виразу 3(4х2∙ 5)? Спростіть вираз хn – x2(1 + xn – 2) + x3(xn-3 + 2), де n > 3, n – натуральне число. За перший день із овочесховища продали на 3 ц більше овочів, ніж за другий, а за третій – від того, що було продано за перші два дні разом. По скільки центнерів овочів продавали у кожен із цих днів, якщо за ці три дні разом продали 65 ц овочів? Розв’яжіть рівняння

До & 10

Винесіть за дужки спільний множник:

1) 5х – 5у;

2) 7m + 7n;

3) ар + ас;

4) bm – bk.

Розкладіть на множники:

1) 7ах – 7bх;

2) 8а + 24ас;

3) 18р – 24р2;

4) 5m3 – 10m2;

5) -15а2 – 20а3;

6) а7 – а2 + а5.

Подайте вираз у вигляді добутку:

1) 6ху – 12х2у + 15x2y;

2) 7mn5 + 28m2n3 – 7m3n2;

3) а(х – 2) + 3b(х – 2) – 2(2 – х);

4) 8(m – 1) – n(1 – m).

Розв’яжіть рівняння:

1) х|х – 3| – 5|х – 3| = 0;

2) |х||х – 2| – 7(х – 2| = 0.

При деякому значенні х значення виразу х2 – 3х – 13 дорівнює -1. Знайдіть при тому самому значенні х значення виразу:

1) 2×2 – 6х – 26;

2) х2(х2 – 3х – 13) – 3х(х2 – 3х – 13);

3) 3х2 – 9х – 8;

4) х2 – х + 3.

До & 11

Виконайте множення:

1) (m – р)(а + х);

2) (2 + t)(a – 3);

3) (а + b)(2 + с);

4) (а -2)(b – 3).

Подайте у вигляді многочлена:

1) (2m – 3р)(3m + 2р);

2) (2а2 + b)(3b – 5а2);

3) (7×2 – 2х)(3х + 1);

4) (5а3 – 4а2)(9а2 + 8а);

5) (3а2 + 5bа)(3b – 4а);

6) (mn – n2)(4n3 + 2n2m).

Спростіть вираз:

1) (а – 8)(2а – 2) – (а + 9)(а – 3);

2) (х – у)(х + 3) – (х + y)(х – 3);

3) (3а – 5b)(5а + 3b) – (5а – 3b)(3а + 5b);

4) (а3 + 4m)(а2 – 4m) (а2 + 4m)(а3 – 4m).

Розв’яжіть рівняння:

1) (3х – 1)(2х + 6) – (2х – 2)(3х + 1) = -24;

2) (3х + 9)(х – 5) – (х – 7)(3х – 1) = 12 + 8х.

Доведіть, що значення виразу

2(10х – 5)(х + 0,6) + (4х2 – 1)(2х – 5) – (2х – 1)(4х2 + 2х + 1) не залежить від значення змінної.

Доведіть, що (х + 1)(y + 1) – (х – 1)(y – 1) = 8, якщо х + у = 4. Два акваріуми мають форму прямокутного паралелепіпеда. Довжина першого на 10 см більша за його ширину. Довжина другого акваріума на 20 см більша за довжину першого, а ширина на 10 см більша за ширину першого. Якщо обидва акваріуми наповнити водою на висоту 25 см, то води у другому буде на 37,5 л більше, ніж у першому. Знайдіть довжину і ширину першого акваріума.

До & 12

Закінчіть розкладання многочлена на множники:

Ab – 7b + 3а – 21 = (ab – 1b) + (3а – 21) = …

Розкладіть на множники:

1) m(а – b) + 3а – 3b;

2) а(b + с) + b + с;

3) 3а – 3с + ха – хс;

4) ab – ас – 4b + 4с.

Подайте многочлен у вигляді добутку:

1) 12х2с – 8х2у – 9су3 + 6y4;

2) 1,6mn2 – 2,4mр2 – n3 + 1,5nр2.

Розв’яжіть рівняння х2 + 5х – 6 = 0, застосувавши розкладання многочлена на множники.

До & 13

Піднесіть двочлен до степеня:

1)(х – р)2;

2) (m + а)2;

3) (b – k)2;

4)(y + c)2.

Перетворіть вираз на многочлен:

1) (3а – 7)2;

2) (2b + 5)2;

3) (10m – 5k)2;

4) (4р + 9q)2;

5) (0,1m – 5p)2;

6) (a + 6b)2 .

Спростіть вираз і знайдіть його значення:

1) (а – 1)2 – (а – 2)2, якщо а = 1 ;

2) (3b + 2)2+ (3b – 2)2, якщо b = – .

Знайдіть число, квадрат якого при збільшенні цього числа на 3 збільшується на 159. Чи є рівність (а – b)2 = |а – b|2 тотожністю? Подайте у вигляді многочлена:

1) ((х + у) + a)2;

2) ((6 – с) – d)2;

3) (m + n + 2)2;

4) (а + 3 – с)(а + 3 – с).

До & 14

Подайте у вигляді квадрата двочлена:

1) m2 – 2mр + р2;

2) b2 = 2bу + у2;

3) а2 – 2 ∙ а ∙ 4 + 42.

Розкладіть на множники:

1) m2 + 20m + 100;

2) 49 – 14b + b2;

3) 0,09×2 + 0,6x + 1;

4) – р + р2;

5) 4×2 + 20x + 25;

6) 14m2 – 12mр + 9р2.

Знайдіть значення виразу:

1) -100m2 + 20m – 1, якщо m = 0,1; -0,9;

2) -4×2 – 12xу – 9у2, якщо x = 0,03, у = -0,02.

Розв’яжіть рівняння:

1) 3х2 – 2x + = 0;

2) 5у2 + 2у + = 0.

Змініть один з коефіцієнтів многочлена так, щоб одержаний тричлен можна було подати у вигляді квадрата двочлена (знайдіть три різних розв’язки):

1) 100m2 + 40mn + n2;

2) 25а2 – аb + 9b2.

Доведіть, що при будь-яких значеннях змінних вираз набуває лише невід’ємних значень:

1) 4x(4x – 10) + 25;

2) (а – 2)((а – 2) + 2m) + m2;

3) (а + b)(а + b + 8) + 16.

До & 15

Які з рівностей є тотожностями:

1) (b – х)(b + х) = b2 + х2;

2) (с – d)(c )- d) = с2 – d2;

3) (m + n)(m – n) = (m + n)2;

4) (p + q)(p – q) = p2 – g2?

Виконайте множення:

1) (с + 7)(7 – с);

2) (0,5m – 3)(0,5m + 3);

3) (3b + 7)(3k – 7);

4) (2p – 9q)(9q + 2p);

5) (10m + 9n)(9n – 10m);

6)( с – d) ( с + d)

Подайте у вигляді многочлена:

1) 4(а – 1)(а + 1);

2) b(b – 2)(b + 2);

3) 7р(р + 3)(р – 3);

4) 3х(х + 4)(x – 3).

Спростіть вираз і знайдіть його значення:

1) (1,9х – 3)(3 + 1,9х) + 0,39х2, якщо х = 2;

2) 9,99 – (5у – 0,1)(5у + 0,1), якщо у = ;

3) (2х – 3у)(2х + 3у) – (3х + 2у)(3х – 2у), якщо х = 1,8; у = -1,8;

4) (ab + 1)(ab – 1)(а2b2 + 1), якщо а = 5; b = .

Обчисліть: 740 ∙ З40 – (2120 – 1)(2120 + 1).

До & 16

Які з рівностей є тотожностями:

1) m2 – р2 = (m + р)(m – р);

2) а2 – m2 = (а – 7)(а + 7);

3) с2 – d2 = (с – d)(c + d);

4) 92 – a2 = (9 – a)2?

Розкладіть на множники:

1) х2 – 49;

2) 100 – р2;

3) 0,04m2 – n2;

4) 25×2 – 36у2;

5) 16а2 – b2c2;

6) 121m2а2 – b2.

Розв’яжіть рівняння, де х – змінна:

1) а2×2 – b2 = 0, а ≠ 0;

2) х2 – 0,09а2 = 0.

Чи ділиться:

1) 1382 – 1362 на 4;

2) 3492 – 3472 на 6?

Розкладіть вираз на множники:

1) 9 – (2х – 8)(3х + 2) – 2х(5х + 10);

2) (3х + 5)(4х – 5) – 2х(2,5 + 1,5х).

До & 17

Який з даних виразів є неповним квадратом суми виразів m і n, а який – неповним квадратом їх різниці:

1) m2- 2mn + n2;

2) m2 + mn + n2;

3) m2 + 2mn + n2;

4) mе2 – mn + n2?

Розкладіть на множники:

1) x3 – у3;

2) р3 + k3;

3) а3 – 64;

4) + b3;

5) 0,001m3 – 1;

6) 8×3 + 27р3.

Доведіть, що значення виразу 373 + 133 ділиться на 50. Доведіть тотожність:

X6 – y6 = (x – у)(x + у)(x2 + xу + y2)(x3 – xy + у2).

До & 18

Закінчіть розкладання на множники:

1) уm2 – 4у = у(m2 – 4) = у(m2 – 22) = …

2) са2 + 2ас + с = с(а2 + 2а + 1) = …

Розкладіть на множники многочлен:

1) mp2 – mq2;

2) 20а2 – 5;

3) с – с3;

4) 64а2 – а4;

5) 5×2 – 10xу + 5у2;

6) 2b + 4bn + 2bn2.

Подайте у вигляді добутку:

1) 9а3- 9b3;

2) 2mn – 2bn + 6m – 6b;

3) р4 – 1;

4) m2 – 4mn + 4n2 – 25;

5) m2 – 36 + b – 6;

6) m3 – 4m – m2n + 4n.

Розкладіть на множники многочлен:

1) аm4 – m4 – аm2 + m2;

2) a3b – а3 – ab + а;

3) b3 + 1 – b2 – b;

4) х3 – 27 + х4 – 9х2.

Доведіть тотожність:

1) (а + 1)3 – 4(а + 1) = (а + 1)(а – 1)(а + 3);

2) (m2 + 9)2 – 36m2 = (m – 3)2(m + 3)2.

Про фундаторів математичних олімпіад в Україні

Трохи раніше ми вже розповідали про історію математичною олімпіадного руху в Україні, тепер детальніше розкажемо про його фундаторів, які більшу частину свого життя присвятили виявленню, вихованню та навчанню математично обдарованої молоді.

“Він жив і горів безмірною любов’ю до України і до Математики і увесь свій короткий вік працював невпинно й творчо на благо Науки, Освіти рідного народу. Його лекції – це і сила, й безмірна глибочінь, і краса математичної думки”. Ці слова про Михайла Пилиповича Кравчука до його 115-річчя написала Ніна Опанасівна Вірченко, український математик, доктор фізико-математичних наук, заслужений працівник освіти України, професор Національного технічного університету України “КШ.

Народився майбутній вчений 27 вересня 1892 р. у с. Човниця на Волині. Навчався в Луцькій гімназії, яку в 1910 році закінчив із золотою медаллю, і вступив на математичне відділення фізико – математичного факультету Університету святого Володимира (інші Київський національний університет імені Тараса Шевченка). У 1914 році М. Кравчук закінчує університет і його залишають при університеті як професорського стипендіата для підготовки до наукової та викладацької роботи. Успішно склавши магістерські іспити в 1917 році, Михайло Кравчук одержує звання приват-доцента. І відтоді вся наукова, педагогічна та громадська діяльність Кравчука пов’язана з Киевом. Він викладає математичні предмети у вперше створених в столиці українських гімназіях, Українському народному університеті. Був учителем Архипа Люльки, винахідника турбоактивного двигуна, та Сергія Корольова, авіаконструктора зі світовим ім’ям. На лекціях Михайла Пилиповича ніколи не було вільного місця, слухати його лекції приходили і біологи, і хіміки, і філософи, і філологи, і робітники…

У 1919 році Кравчук опублікував перший переклад українською мовою підручника “Елементарна геометрія” А. П. Кисельова, російськомовного підручника, який на початку XX ст. отримав схвальну оцінку вчителів математики та проіснував більш як півстоліття аж до перебудови шкільного курсу математики в СРСР. На початку 1920 року Михайла Пилиповича обрано членом комісії математичної термінології при Інституті наукової мови Української академії наук. На кінець того ж року цією комісією під головуванням М. Кравчука було створено тритомний математичний словник. Пильно вивчення праць Михайла Кравчука під мовно-термінологічним кутом зору і нині може прислужитися такій актуальній справі, як подальша розробка та вдосконалення української математичної термінології. Вільно володіючи кількома мовами (французькою, німецькою, італійською, польською, російською), він писав ними свої наукові праці, але найчастіше – рідною мовою, і ця його мова – гідний зразок українського науково-математичного стилю.

У 1924 році Михайло Пилипович Кравчук блискучо захистив докторську дисертацію. Це був перший в Україні захист докторської дисертації. У 1925 році Михайлові Кравчуку було присвоєно звання професора, а в 1929 році йот обрано дійсним членом Всеукраїнської академії наук. У віці 37 років він став наймолодшим академіком в Україні. Математичні інтереси Михайла Пилиповича – розмаїті, його наукові праці відзначались оригінальністю ідей, нестандартністю підходів до відомих і нових математичних проблем. Своєрідність та гнучкість мислення, висока продуктивність та працездатність, ерудованість, вимогливість та наукова щедрість, відданість науці М. Кравчука викликали захоплення його учнів та послідовників, коло яких значно з року в рік розширювалось.

Вісім років, з 1929 до 1937, були найпліднішими у творчості та наукових здобутках М. Кравчука. Він одержує низку глибоких результатів у різних розділах математики, зокрема і а теорії многочленів, видає під ручники для вищої школи, ініціює проведення першої в Україні шкільної математичної олімпіади, неперервно працює над удосконаленням математичної термінології. Результати своїх досліджень друкує но тільки в наукових виданнях України, а й за кордоном, в Італії, Франції, Німеччині.

Але трагічно склалася подальша доля Михайла Пилиповича. У СРСР почалися сталінські репресії. У 1938 році тяжка година випробовувань настала і для нього. Його заарештовують, інкримінуючи стандартний на той час набір злочинів: український націоналізм, шпигунство, контрреволюційну діяльність, у зв’язку із чим у вересні 1938 p. М. Кравчука було засуджено до 20 років тюремного ув’язнення і п’яти років заслання та відправлено в тюремні табори на Колиму. Три каторжні зими і літа відбув він том, хворий і пригнічений несправедливістю. А 9 березня 1942 року його не стало. Залишився

Михайло Кравчук на віки вічні в Коломийскій мерзлоті поряд а поетом-неокласиком Михайлом Драй-Хмарою, що за кілька літ до сього спочив у тій далекій землі, поряд з тисячами інших закатованих представників інтелігенції. І лише в 1956 році Михайла Пилиповича було реабілітовано.

У 1992 році, після здобуття незалежності, Україна відзначила 100-річчя від дня народження М. І1. Кравчука. Його ім’я було занесено в Міжнародний календар ЮНЕСКО визначних наукових діячів. У Національному технічному університеті України “Київський Політехнічний Інститут” (НТУУ “КІН”) періодично проходять Міжнародні наукові конференції, присвячені пам’яті академіка Михайла Кравчука, у яких беруть участь учені з усіх областей України, з Білорусі, Литви, Росії, Австралії, США, Німеччини, Польщі, Китаю. Японії та інших країн.

Пам’ять про Михайла Пилиповича Кравчука увічнено в назві однієї з київських вулиць, на батьківщині вченого відкрито його музей, у НТУУ “КШ” засновано стипендію його імені, а на території цього вишу відкрито пам’ятник вченому, на постаменті якого викарбовано його життєве кредо: “Моя любов – Україна і математика”.

Історія знає вражаючі приклади, коли таємниці науки підкорялися юним дослідникам.

Видатного математика і фізика-теоретика Миколу Миколайовича Боголюбова (1909- 1993) було зараховано до аспірантури коли йому ще не виповнилося і 15 років. У 17 років за досягнення в математиці йому присвоїли ступінь кандидата наук. Ще через два роки його наукові праці було відзначено нагородою Болонської академії наук (Італія), а в 20 років за визначні досягнення в галузі математики за рішенням Всеукраїнської академії наук йому було присуджено науковий ступінь доктора фізико-математичних наук без захисту дисертації.

Народився Микола Боголюбов у Нижньому Новгороді (Росія), але більшу частину свого життя і наукової діяльності провів в Україні. Коли Миколі виповнявся рік, його родина переїжджає до Києва. Юний Микола самостійно опрацьовує курси вищої математики та фізики, і тринадцятирічному хлопцю а надзвичайними здібностями дозволяють відвідувати лекції в Київському університеті. З великим захопленням юнак вивчає тут математику, фізику, астрономію, боре участь у роботі наукових семінарів. З 1923 року його заняттями з математики керує відомий учений, математик і механік М. М. Крилов (1879- 1955). Понад два десятиліття Микола Миколайович Боголюбов керував проведенням в Києві та Україні учнівських математичних олімпіад, був професором Київського і Московського університетів, працював в Академії наук УРСР, у Математичному інституті ім. В. А. Стєклова Академії наук СРСР, Міжнародному науковому центрі ядерно-фізичних досліджень – Об’єднаному інституті ядерних досліджень у м. Дубна (Росія).

З українськими математичними олімпіадами нерозривно пов’язане ім’я ще однієї неперевершеної особистості – Михайла Йосиповича Ядренка (1932-2004), який щороку до останніх своїх днів очолював журі Всеукраїнської учнівської олімпіади.

Надзвичайно плідним є його життєвий шлях. Народився у с. Дрімайлівка Чернігівської області. За словами самого Михайла Йосиповича, його першими підручниками були буквар та “Кобзар” Шевченка. Навчаючись у школі, він твердо вирішив стати математиком. У березні 1950 р. Михайло почуй но радіо оголошення, що в Київському університеті має відбутися математична олімпіада, і, маючи бажання взяти в ній участь, написав до університету листа із запитанням про таку можливість для школярів не з Києва. Через деякий час отримав відповідь із запрошенням взяти в ній участь. Тоді Михайло посів у цих змаганнях 2-го місце з-поміж учнів 10 класу. Того ж року він закінчив школу із золотою медаллю та вступив до Київського університету на механіко-математичний факультет, а після його закінчення до аспірантури. Захистив кандидатську і докторську дисертації. Ще будучи аспірантом, він боре активну участь в організації Київських математичних олімпіад та підготовці конкурсних задач. А з 1970 року стає головою журі Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики. Понад 40 років свого життя Михайло Йосипович віддав розвитку шкільної математичної освіти, виданню посібників і задачників з математики, титанічній праці з виховання математично здібної молоді. У 2010 році на честь Михайла Йосиповича названо Всеукраїнський турнір юних математиків (ТЮМ). ще одно не менш популярно за олімпіаду математичне змагання всеукраїнського рівня – Всеукраїнський турнір юних математиків імені М. Й. Ядренка.

Усе своє життя він пропрацював у Київському університеті, більш ніж 30 років завідував кафедрою теорії ймовірностей та математичної статистики механіко-математичного факультету. Під його керівництвом 45 аспірантів захистили дисертації, 10 стали докторами наук. У 1990 році Михайла Йосиповича було обрано членом-кореспондентом Національної академії наук України.

Його донька Ольга у своїх спогадах про батька зазначала: “Усе своє життя батько присвятив людям, математиці, Україні…”.


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (1 votes, average: 5.00 out of 5)
Loading...


Related posts:

  1. Застосування кількох способів для розкладання многочленів на множники Математика – Алгебра Многочлен Застосування кількох способів для розкладання многочленів на множники Щоб розкласти многочлен на множники, бажано діяти в такій послідовності. 1. З’ясувати, чи можна винести за дужки спільний множник. Зробити це, якщо можна. 2. Розглянути, чи можна вираз, який залишився в дужках (або даний), розкласти на множники за формулами скоро­ченого множення. 3. Спробувати […]...

  2. ЗАСТОСУВАННЯ ФОРМУЛ СКОРОЧЕНОГО МНОЖЕННЯ ДЛЯ РОЗКЛАДАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ НА МНОЖНИКИ Цілі: – навчальна: удосконалити вміння розкладати многочлени на множники, використовуючи формули скороченого множення; – розвивальна: формувати вміння міркувати за аналогією; розвивати увагу, логічне мислення, пам’ять; – виховна: виховувати старанність, уважність, скрупульозність, самостійність; Тип уроку : удосконалення вмінь і навичок. Обладнання та наочність: Хід уроку І. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ ЕТАП ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ ІІ. ПЕРЕВІРКА ДОМАШНЬОГО ЗАВДАННЯ 1. […]...

  3. РОЗКЛАДАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ НА МНОЖНИКИ СПОСОБОМ ГРУПУВАННЯ Цілі: – навчальна: удосконалити вміння розкладати многочлени на множники способом групування; сформувати вміння застосовувати цей спосіб до розв’язання рівнянь та доведення тверджень; – розвивальна: формувати вміння орієнтуватися у видозміненій ситуації; розвивати творчі здібності, кмітливість учнів; – виховна: виховувати інтерес до вивчення математики, наполегливість у досягненні мети, спостережливість; Тип уроку : удосконалення та застосування знань і […]...

  4. Розкладання многочленів на множники способом винесення спільного множника за дужки Розділ 1. ЦІЛІ ВИРАЗИ & 10. Розкладання многочленів на множники способом Винесення спільного множника за дужки У 6 класі ми розкладали складені числа на прості множники, тобто подавали натуральні числа у вигляді добутку. Наприклад, 12 = 22 ∙ 3; 105 = 3 ∙5 ∙ 7 тощо. Подати у вигляді добутку можна і деякі многочлени. Це […]...

  5. ЗАСТОСУВАННЯ РІЗНИХ СПОСОБІВ РОЗКЛАДАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ НА МНОЖНИКИ Цілі: – навчальна: удосконалити вміння розкладати многочлени на множники, використовуючи різні способи; ознайомити учнів з основними видами задач, для розв’язування яких доцільно розкладати многочлени на множники; сформувати вміння розв’язувати задачі, які передбачають розкладання многочленів на множники; – розвивальна: формувати вміння вибирати і використовувати необхідну інформацію для розв’язування задач; сприяти вдосконаленню обчислювальних навичок; – виховна: виховувати […]...

  6. Застосування різних способів розкладання багаточленів на множники Урок № 54 Тема. Застосування різних способів розкладання багаточленів на множники Мета: відпрацювати навички застосування спеціальних прийомів та класичних методів розкладання багаточленів на множники; продовжувати знайомство учнів зі сферою застосування розкладання багаточленів на множники; узагальнити та систематизувати набуті з теми знання та уміння і навички. Тип уроку: комбінований. Хід уроку I. Організаційний момент Перевіряємо готовність […]...

  7. Розкладання на множники різниці квадратів двох виразів Розділ 1. ЦІЛІ ВИРАЗИ & 16. Розкладання на множники різниці квадратів двох виразів У тотожності (а – b)(а + b) = а2 – b2 поміняємо місцями ліву і праву частини. Матимемо: Цю тотожність називають формулою різниці квадратів двох виразів. Читають її так. Формулу різниці квадратів двох виразів застосовують для розкладання на множники двочлена а2 – […]...

  8. Розкладання многочленів на множники за допомогою формул квадрата суми і квадрата різниці Розділ 1. ЦІЛІ ВИРАЗИ & 14. Розкладання многочленів на множники За допомогою формул квадрата суми і квадрата різниці Формули квадрата суми і квадрата різниці можна використовувати також для розкладання на множники виразів вигляду а2 + 2аb + b2 і а2 – 2ab +b2. Для цього перепишемо ці формули, помінявши місцями їх ліву і праву частини. […]...

  9. ЗАСТОСУВАННЯ ФОРМУЛ СКОРОЧЕНОГО МНОЖЕННЯ ДО РОЗКЛАДАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ НА МНОЖНИКИ Цілі: – навчальна: сформувати вміння розкладати многочлени на множники, використовуючи формули скороченого множення; – розвивальна: формувати вміння орієнтуватися у видозміненій ситуації; розвивати творчі здібності, кмітливість учнів; – виховна: виховувати інтерес до вивчення математики, наполегливість у досягненні мети; Тип уроку : засвоєння нових знань, умінь, навичок. Обладнання та наочність: Хід уроку І. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ ЕТАП ______________________________________________________ ______________________________________________________ […]...

  10. РОЗКЛАДАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ НА МНОЖНИКИ СПОСОБОМ ВИНЕСЕННЯ СПІЛЬНОГО МНОЖНИКА ЗА ДУЖКИ Цілі: – навчальна: удосконалити вміння учнів виконувати розкладання многочленів на множники способом винесення спільного множника за дужки; – розвивальна: формувати вміння міркувати за аналогією; розвивати увагу, логічне мислення, пам’ять; сприяти удосконаленню обчислювальних навичок; – виховна: виховувати впевненість у власних силах, спостережливість; формувати вміння самоорганізовуватися; Тип уроку : удосконалення вмінь і навичок. Обладнання та наочність: Хід […]...

  11. РОЗКЛАДАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ НА МНОЖНИКИ РОЗДІЛ 3 МНОГОЧЛЕНИ &14. РОЗКЛАДАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ НА МНОЖНИКИ Ви вже знаєте, як розгорнути в многочлен добуток многочленів. Нерідко виникає потреба виконати обернену дію – згорнути многочлен у добуток кількох множників. Таку дію називають розкладанням многочлена на множники. Запам’ятайте! Розкласти многочлен на МНОЖНИКИ – означає перетворити його в добуток кількох виразів. Для розкладання многочлена на множники […]...

  12. Розкладання многочленів на множники способом групування Розділ 1. ЦІЛІ ВИРАЗИ & 13. Квадрат суми і квадрат різниці Піднесемо до квадрата двочлен а + b: (а + b)2 = (а + b)(а + b) = а2 + аb + bа + b2 = а2 + 2ab + b2. Отже, Одержану тотожність називають формулою квадрата суми. Ця тотожність дає змогу підносити до квадрата […]...

  13. Розкладання многочленів на множники Математика – Алгебра Многочлен Розкладання многочленів на множники Розкласти многочлен на множники означає подати його як добуток кількох многочленів. Винесення спільного множника за дужки Спосіб розкладання многочлена на множники на основі розподільної властивості множення називається винесенням спільного множника за дужки. Приклад . НСД . Це означає, що за дужки можна винести числовий множник 2. В […]...

  14. Застосування різних способів розкладання многочлена на множники Немає коренів. Немає коренів. 726. 1) х3 – х = 0; х(х2 – 1) = 0; х(х – 1)(х + 1) = 0; х = 0 або х – 1 = 0; х = 1 або х + 1 = 0; х = -1. 2) х4 + х2 = 0; х2(х2 + 1) = 0; […]...

  15. Використання формул скороченого множення для розкладання багаточленів на множники Урок № 49 Тема. Використання формул скороченого множення для розкладання багаточленів на множники Мета: виробити в учнів уміння розкладати різницю квадратів та суму й різницю кубів на множники із використанням відповідних формул скороченого множення. Тип уроку: застосування знань, умінь та навичок. Хід уроку I. Організаційний момент Учитель спонукає учнів до само – та взаємоперевірки готовності […]...

  16. Використання формул скороченого множення для розкладання багаточленів на множники. Формули скороченого множення Урок № 50 Тема. Використання формул скороченого множення для розкладання багаточленів на множники. Формули скороченого множення Мета: відпрацювати навички класифікації виразів та застосування формул скороченого множення для розкладання багаточленів та цілих виразів на множники та розв’язування вправ, що передбачають виконання цих Дій; повторити способи дій у разі використання формул скороченого множення для перетворення цілих виразів […]...

  17. Квадратний тричлен та його корені. Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники Урок № 57 Тема. Квадратний тричлен та його корені. Розкладання квадратного тричлена на лінійні множники Мета: домогтися закріплення учнями означення квадратного тричлена та його коренів, а також формули розкладання квадратного тричлена на лінійні множники; вдосконалити вміння відтворювати вивчені означення і формули та використовувати їх для розв’язування завдань на знаходження коренів квадратного тричлена та розкладання квадратного […]...

  18. Розкладання багаточленів на множники винесенням спільного множника за дужки Урок № 38 Тема. Розкладання багаточленів на множники винесенням спільного множника за дужки Мета: відпрацювати навички розкладання багаточленів на множники винесенням спільного множника за дужки; удосконалити вміння застосовувати винесення спільного множника за дужки. Тип уроку: застосування знань, умінь та навичок. Хід уроку I. Перевірка домашнього завдання Математичний диктант Варіант 1 [2] 1. Який степінь множника […]...

  19. Розкладання многочленів на множники 702. Перетворити його в добуток кількох виразів. 703. 1) ні; 2) ні; 3) так. 704. 1) ні; 2) так; 3) ні. 705. 1) ні; 2) ні; 3) так. 706. 1) ні; 2) ні; 3) так. 707. ні; 2) так; 3) ні. 708. ні; 2) ні; 3) так. Жодна з рівностей не є тотожністю. 1) ні, […]...

  20. Розкладання багаточленів на множники способом групування Урок № 40 Тема. Розкладання багаточленів на множники способом групування Мета: вдосконалити вміння та відпрацювати навички розкладання багаточленів на множники способом групування та використання цього перетворення многочленів для розв’язування різноманітних завдань. Тип уроку: застосування знань, умінь та навичок. Хід уроку І. Перевірка домашнього завдання @ Оскільки № 1 та 2 домашнього завдання були вправами на […]...

  21. РОЗКЛАДАННЯ ЧИСЕЛ НА МНОЖНИКИ. НАЙБІЛЬШИЙ СПІЛЬНИЙ ДІЛЬНИК Розділ 1 ПОДІЛЬНІСТЬ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ § 4. РОЗКЛАДАННЯ ЧИСЕЛ НА МНОЖНИКИ. НАЙБІЛЬШИЙ СПІЛЬНИЙ ДІЛЬНИК Ви знаете, що кожне натуральне число, більше за 1, має кілька дільників, тому його можна подати як добуток своїх дільників. Наприклад: 5=1-5;6=1-6 або 6 = 2 ∙ 3; 18 = 1 ∙ 18, 18 = 2 ∙ 9 або 18 = […]...

  22. Розкладання чисел на прості множники Розділ 1 Подільність натуральних чисел §5. Розкладання чисел на прості множники Кожне складене число можна подати у вигляді добутку хоча б двох множників, відмінних від одиниці. Наприклад, 330 = 10 ∙ 33. Якщо серед таких множників є складені числа, то їх також можна подати у вигляді добутку двох множників. Наприклад, 330 = 10 ∙ 33 […]...

  23. ДОДАВАННЯ ТА ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ Цілі: – навчальна: сформувати поняття суми і різниці многочленів; сформувати вміння виконувати додавання та віднімання многочленів; – розвивальна: формувати вміння застосовувати набуті знання у видозміненій ситуації; розвивати абстрактне мислення;_ – виховна: виховувати творче ставлення до справи, принциповість, толерантність; Тип уроку : засвоєння нових знань, умінь, навичок. Обладнання та наочність: Хід уроку І. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ ЕТАП ______________________________________________________ […]...

  24. Розкладання числа на прості множники Математика – Алгебра Подільність натуральних чисел Розкладання числа на прості множники Розкласти число на прості множники означає записати його у вигляді добутку простих чисел. Наприклад, . Кожне складене число можна розкласти на прості множники єдиним способом (якщо не враховувати порядок множників). Розкладання зручно робити за такою схемою. Наприклад, візьмемо число 2100. Запишемо число 2100 і […]...

  25. Степінь натурального числа. Розкладання натурального числа на прості множники Урок № 4 Тема. Степінь натурального числа. Розкладання натурального числа на прості множники Мета: повторити знання учнів про степінь натурального числа з натуральним показником, здобутих у 5 класі, і сформувати вміння використовувати алгоритм розкладання складених чисел на прості множники. Тип уроку: засвоєння нових знань. Хід уроку I. Перевірка домашнього завдання @ Оскільки програмою передбачений дуже […]...

  26. МНОЖЕННЯ МНОГОЧЛЕНІВ РОЗДІЛ 3 МНОГОЧЛЕНИ &10. МНОЖЕННЯ МНОГОЧЛЕНІВ Ви знаєте, як додавати й віднімати многочлени. Розглянемо властивості дій другого ступеня з многочленами. 1. Множення одночлена на многочлен Запам’ятайте! Помножити одночлен на многочлен – означає скласти вираз, що є сумою добутків даного одночлена і кожного члена многочлена, та спростити його, якщо це можливо. Задача 1. Знайдіть добуток одночлена […]...

  27. МНОЖЕННЯ МНОГОЧЛЕНІВ Цілі: – навчальна: удосконалити вміння виконувати множення многочленів, розв’язувати задачі, які передбачають множення многочленів; – розвивальна: формувати вміння бачити закономірності; сприяти удосконаленню обчислювальних навичок; – виховна: виховувати об’єктивність та чесність під час оцінювання власних знань, уважність, працьовитість; Тип уроку : удосконалення вмінь і навичок. Обладнання та наочність: Хід уроку І. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ ЕТАП ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ […]...

  28. Розв’язування тригонометричних рівнянь способом розкладання на множники УРОК 24 Тема. Розв’язування тригонометричних рівнянь способом розкладання на множники Мета уроку: фрмування умінь учнів розв’язувати тригономет­ричні рівняння способом розкладання на множники. І. Перевірка домашнього завдання Перший учень пояснює розв’язування вправи № 2 (23), другий учень – вправи № 2 (30), третій – вправи № 2 (37). II. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу Багато тригонометричних […]...

  29. Множення многочлена на многочлен Розділ 1. ЦІЛІ ВИРАЗИ & 11. Множення многочлена на многочлен Помножимо многочлен a + b на многочлен х + у. Позначимо многочлен х + у буквою m. Маємо: (а + b)(х + у) = (а + b)m = am + bm. У виразі am + bm підставимо замість m многочлен х + у і знову […]...

  30. ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ РОЗДІЛ 3 МНОГОЧЛЕНИ &9. ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ Ви знаєте, як додавати й віднімати одночлени. Розглянемо властивості дій першого ступеня з многочленами. Додати (відняти) многочлени – означає скласти вираз, що є сумою (різницею) даних многочленів, та спростити його, якщо це можливо. Задача 1. Знайдіть суму многочленів 15у2 – х2у + 3 і 6х3y2 + 7х2у […]...

  31. Розкладання многочлена на множники. Метод групування 480. 1) Якщо a = 0,5; b = 2,25, то 2a3 – 3a2 – 2ab + 3b = (2a3 – 3a2) – (2ab – 3b) = a2(2a – 3) – b(2a – 3) = (2a – 3)(a2 – b) = (2 • 0,5 – 3) • (0,52 – 2,25) = (1 – 3) • (0,25 […]...

  32. Множення одночлена на многочлен Розділ 1. ЦІЛІ ВИРАЗИ & 9. Множення одночлена на многочлен Помножимо одночлен 5х на многочлен 3х – 7, використовуючи розподільну властивість множення: Отже, добутком одночлена 5х і многочлена 3х – 7 с многочлен 15х2 – 35х, який одержали, помноживши одночлен на кожний член многочлена і додавши знайдені результати. Маємо правило множення одночлена на многочлен: Добуток […]...

  33. МНОГОЧЛЕН. ПОДІБНІ ЧЛЕНИ МНОГОЧЛЕНІВ ТА ЇХ ЗВЕДЕННЯ Дата – навчальна: сформувати поняття многочлена, подібних членів многочлена; сформувати вміння зводити подібні члени многочлена; – розвивальна: розвивати творчі здібності, кмітливість учнів; формувати вміння орієнтуватися у видозміненій ситуації; _ – виховна: виховувати зацікавленість у пізнанні нового, спостережливість, працьовитість; Тип уроку : засвоєння нових знань, умінь, навичок. Обладнання та наочність: Хід уроку І. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ ЕТАП ______________________________________________________ […]...

  34. СУМА Й РІЗНИЦЯ КУБІВ Цілі: – навчальна: удосконалити вміння застосовувати формули суми й різниці кубів до розв’язування задач; – розвивальна: формувати вміння міркувати за аналогією; сприяти удосконаленню обчислювальних навичок; – виховна: виховувати позитивне ставлення до навчання, віру у власні сили, цілеспрямованість; Тип уроку : удосконалення вмінь і навичок. Обладнання та наочність: Хід уроку І. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ ЕТАП ______________________________________________________ ______________________________________________________ ______________________________________________________ […]...

  35. Множення двох многочленів Урок № 35 Тема. Множення двох многочленів Мета: сформувати в учнів знання алгоритму множення двох багаточленів як наслідку з алгоритму множення одночлена на багаточлен; виробити вміння перетворювати добуток двох багаточленів у багаточлен стандартного вигляду за названим алгоритмом. Тип уроку: засвоєння знань. Хід уроку I. Перевірка домашнього завдання @ Обов’язково перевіряємо № 2, бо в ньому […]...

  36. Множення різниці двох виразів на їх суму Розділ 1. ЦІЛІ ВИРАЗИ & 15. Множення різниці двох виразів на їх суму Помножимо різницю а – b на суму а + b: (а – b)(а + b) = а2 + ab – bа – b2 = а2 – b2. Отже, Одержали ще одну формулу скороченого множення. Її читають так. Розглянемо приклади застосування цієї формули. […]...

  37. СТАНДАРТНИЙ ВИГЛЯД МНОГОЧЛЕНА. СТЕПІНЬ МНОГОЧЛЕНА Цілі: – навчальна: сформувати поняття стандартного вигляду многочлена, степеня многочлена; сформувати вміння записувати многочлен у стандартному вигляді, знаходити степінь многочлена; – розвивальна: формувати вміння бачити закономірності; сприяти вдосконаленню обчислювальних навичок; – виховна: виховувати наполегливість у досягненні мети, почуття відповідальності; Тип уроку : засвоєння нових знань, умінь, навичок. Обладнання та наочність: Хід уроку І. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ ЕТАП […]...

  38. ВЛАСТИВОСТІ СТЕПЕНЯ З НАТУРАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ Цілі: – навчальна: удосконалити вміння застосовувати властивості степенів до розв’язування задач; – розвивальна: формувати вміння міркувати за аналогією; розвивати увагу, логічне мислення, пам’ять; – виховна: виховувати об’єктивність та чесність під час оцінювання власних знань, старанність, наполегливість у досягненні мети; Тип уроку : удосконалення вмінь і навичок. Обладнання та наочність: Хід уроку І. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ ЕТАП ______________________________________________________ […]...

  39. МНОЖЕННЯ ОДНОЧЛЕНА НА МНОГОЧЛЕН Цілі: – навчальна: домогтися засвоєння правила множення одночлена на многочлен; сформувати вміння виконувати множення одночлена на многочлен; – розвивальна: формувати вміння аналізувати ситуацію; розвивати увагу, логічне мислення, пам’ять; – виховна: виховувати творчу активність, упевненість у власних силах, спостережливість; Тип уроку : засвоєння нових знань, умінь, навичок. Обладнання та наочність: Хід уроку І. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ ЕТАП ______________________________________________________ […]...

  40. ПОВТОРЕННЯ. ПЕРЕТВОРЕННЯ ВИРАЗІВ Цілі: – навчальна: узагальнити та систематизувати знання учнів про види та способи перетворення виразів; – розвивальна: формувати вміння аналізувати й узагальнювати інформацію, бачити закономірності; розвивати увагу, логічне мислення, пам’ять;_ – виховна: виховувати відповідальність за результати своєї роботи, наполегливість у досягненні мети, віру у власні сили; Тип уроку : узагальнення та систематизація знань. Обладнання та наочність: […]...

Ви зараз читаєте: Застосування кількох способів розкладання многочленів на множники
«
»