ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ



РОЗДІЛ 3 МНОГОЧЛЕНИ

&9. ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ

Ви знаєте, як додавати й віднімати одночлени. Розглянемо властивості дій першого ступеня з многочленами.

Додати (відняти) многочлени – означає скласти вираз, що є сумою (різницею) даних многочленів, та спростити його, якщо це можливо.

Задача 1. Знайдіть суму многочленів 15у2 – х2у + 3 і 6х3y2 + 7х2у – 25у2 – 5.

Розв’язання. Складемо вираз, що є сумою даних многочленів. Оскільки обидва многочлени є доданками, то при розкритті дужок знаки їх членів залишаються без

змін:

(15у2 – х2у + 3) + (6x3y2 + 7х2у – 25у2 – 5) =

= 15у2 – х+ 3 + 6х3y2 + 7х2у – 25у2 – 5.

Зведемо подібні члени отриманого многочлена.

15у2- х2у + 3 + 6x3y2 + 7×2у -25у2 – 5 =

= -10 у2 + 6х2y – 2 + 6х3у2

Упорядкуємо даний многочлен за степенями його членів:

-10у2 + 6х2у – 2 + 6х3у2 =

=6х3y2 + 6х2у – 10у2 – 2.

? Чи завжди сума многочленів має зміст? Так, оскільки многочлени-доданки і многочлен-сума не містять дію ділення на вираз зі змінними.

Задача 2. Знайдіть різницю многочленів 15у2 – х2y + 3 і 6х3у2 + 7х2у – 25у2 – 5.

Розв’язання. Складемо вираз, що є різницею даних многочленів. Розкриваючи дужки, знаки членів

многочлена-від’ємника змінимо на протилежні:

(15у2 – х2у + 3) – (6х3y2 + 7х2у – 25у2- 5) =

= 15у2 – х2у + 3 – 6х3у2- 7х2у + 25 у2 + 5 =

Зведемо подібні члени отриманого многочлена.

15у2 – х2у + 3 – 6х3y2 – 7×2у + 25у2 + 5 =

= 40у2 – 8х2у + 8 – 6х3y2.

Упорядкуємо даний многочлен за степенями його членів:

= 40у2 – 8х2у + 8 – 6х3y2 =

= -6х3у2 – 8х2у + 40у2 + 8.

Зверніть увагу:

Під час додавання (віднімання) двох многочленів знаки членів другого компонента дії:

– залишаємо без змін, якщо виконуємо додавання;

– змінюємо на протилежні, якщо виконуємо віднімання.

Додавання многочленів підкоряється переставному і сполучному законам. Якщо позначити многочлени літерами А, В і С, то коротко можна записати так:

А + В = В + А, (А + В) + С = А + (В + С) для будь-яких А, В і С. Для віднімання многочленів ці закони не справджуються, так само, як і для віднімання одночленів.

Дізнайтеся більше

1. Щоб коротко записати число, v якого а сотень, й десятків і с одиниць, використовують запис: ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ

Його розгортають у суму розрядних доданків так:

ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ = 100а + 10b + с.

Скорочений запис числа використовують у розв’язуванні задач. Нерідко й умову задачі подають за допомогою такого запису числа. Розглянемо приклади.

Задача 3. Знайдіть усі трицифрові числа ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ, для яких виконується умова ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ

Розв’язання.

ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ = 100а + 10с + с,

ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ = 100с + 10а + а.

Тоді

ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ = 100а + 10с + с + 100с + 10а +а = 111а + 111с. За умовою, 111а + 111с = 555. Звідси а + с = 5. Оскільки а і с – цифри, то можливі такі випадки: а = 1, с = 4; а = 3, с = 2; а = 2, с = 3; а = 4, с = 1. Отже, шуканими числами є: 144, 322,233, 411.

Задача 4. Знайдіть двоцифрове число, яке більше за суму своїх цифр на 18, а за добуток цифр – на 14.

Розв’язання. Нехай ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ – шукане число, тоді ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ = 10а + с, а + с – сума цифр шуканого числа, ас – добуток його цифр. За умовою, 10а + с – (а + с) = 18, звідси 10а + с – а – с = 18, 9а = 18, а = 2. За умовою, 10а + с – ас= 14. Ураховуючи, що а = 2, дістанемо: 20 + с – 2с = 14, с = 6 Отже, 26 – шукане число.

2. Система числення – це система запису чисел за допомогою певного набору знаків і правил їх утворення. У десятковій системі числення для запису чисел використовуються десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8, 9. У цій системі будь-яке ціле невід’ємне число можна подати за допомогою степенів числа 10(101 =10; 102= 100 і т. д.). Наприклад: 25 = 20 + 5 = 2 ∙ 10 + 5 = 2 – 101 + 5 = 2510. Індекс внизу вказує систему числення, у якій записане дане число. Це число також називають основою системи числення. Отже, у десяткової системи числення основа 10.

Двійкова система числення – це система, у якій для запису чисел використовуються дві цифри: 0 і 1. Основою двійкової системи числення є число 2. Для запису числа у двійковій системі його подають за допомогою степенів числа 2. Наприклад, 4 = 22 = 1 ∙ 22 + 0 ∙ 21 + 0 = 1002. Число 25 подають у вигляді такої суми чисел: 25 =16 + 8 + 1. Тобто 25 = 24 + 23 + 1 = 1 ∙ 24 + 1 ∙ 23 + 0 ∙ 22 + 0 ∙ 21 + 1. Звідси 25 = 110012.

ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ

1. Що означає – додати многочлени?

2. Як віднімають многочлени?

3. Які закони справджуються для дій першого ступеня з многочленами?

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

422. Чи правильно виконано додавання двочлена a + х і одночлена х:

1) (а + х) + х = а + 2х;

2) (а + х) + х = а + x2?

423. Чи правильно виконано віднімання одночлена х і двочлена а + х:

1)(а + х) – х = а + х – х = а;

2)х – (а + х) = х – а + х = – а + 2х;

3)х – (а + х) = х – а – х = – а?

424. Назвіть знаки другого компонента дії, якщо шукаємо суму:

1)х і х + у, 2)х і х – у; 3) 2 і х – 3.

425. Назвіть знаки другого компонента дії, якщо шукаємо різницю:

1)2х і 3у + 4х;

2)2х і 6y – 2х;

3)4 і у2 + 8у.

426. Чи правильно виконано дії з многочленами:

1) (1,8 + х) + (4х – 5) = 1,8 + х + 4х – 5 = 4,2 + 5х;

2) (2х2 + х) – (х2 + х – 4) = 2х2 + х – х2 – х + 4 = х2 + 4?

427. Знайдіть суму одночлена і двочлена:

1)m i m + m2;

2) k2 і k2 – 3;

3) mn i nm +m2;

4) 10 і 5d + 0,4.

428. Знайдіть суму многочленів:

1) x2 + 3x i x2 + 2,

2) у2 + 5у i x – 5y;

3) x + 4 i – x – 6;

4) x2 + 3x i x – x2;

5) 1,25x і 0,25x + 1,5×2;

6) x і – x + у;

7) 3с і 4d – 3c;

8) cd i 3 + 2cd – c2;

9)-5d i – d + (-d2) + 1;

10) -5z і z2 – 5z + 8;

11) k2 + ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВK + 1 і k2 – 0,5k;

12) 7k2 + 2k + 2 і -3k2 – k + 4.

429. Знайдіть суму многочленів:

1) х + у і – х + у;

2) m + 3n і – m – n;

3) х2 + у і х2 – у;

4) х2 + y і – х2 – у;

5) a + 3с і а2 – 2а + 3;

6) 3а – 7 і -3а + 7;

7) 4k2 – k і -4k2 + k;

8) 4х2 + 2х + ху і – х + 4ху.

430. Спростіть вираз:

1) (-3аb + 2a2b) + (6аb – 2а2b + 5b);

2) (0,5a + ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВB) + (ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВA + ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВB);

3) (1ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВA2 + 6,3b2) + (ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВA2 – 4b2) + (-a2 – 22).

Знайдіть степінь отриманого многочлена.

431. Спростіть вираз:

1) (2а2+ 3а + 4b) + (2а – 3а2 – b);

2) (7хy2 + х2у – 5Х2 + 3у2 + 2) + (3ху + 3ху2 – х2 – 3у2).

Знайдіть степінь отриманого многочлена.

432. ЯКИМИ даними треба доповнити таблицю 7?

Таблиця 7

Одночлен

Х2

Y

3ах

Многочлен

А + b + 3

-5 + х2

-y + 1

А – 3ах

Сума

Різниця

433. Знайдіть різницю многочленів:

1) n i n + n2; 5) 1,25х і 0,25х + 2,45х2;

2) k2 – 5 і 2k2 + 8; 6) х і – х + у;

3) 2n2 + n3 і n2 – 3m3; 7) -5d + d2 i – d + 2d2 + 1;

4) 10 – с і с2 – с; 8)-3z + 8 і -9z2 – 3z + 8.

434. Знайдіть різницю многочленів:

1) 0,9a + 0,8b i 0,1a – 0,2b; 3)0,2m3 + m + ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ i 0,5 + m;

2)ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ + m i ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВM + ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ + n; 4) 100 + k2 + 1,4k і 1,2k2- 0,6k – 100.

435. Якими даними треба доповнити таблицю 8?

Таблиця 8

Многочлен

A + b

8x + x2

Y + 5

4a5 – 2

Многочлен

A – b

5 + x2 – 8x

-y + 5

A5 + 3a

Сума

Різниця

436. Знайдіть значення виразу:

1) (4x + 9) – (3х – 4) – 63, якщо х =-100;

2) (3х + 2) – (х – 7) + (-2х – 14) + 5, якщо х = 0,643;

3) (х4 + х3 + х2 +3х) -(х4 + х3 + х2 – 2х – 25) – 10, якщо х = 5.

437. Знайдіть значення виразу (2,5mn + 3,5m + n) – (2,5mn + 3,5m + 3n), якщо m = 3,705, n =-0,98

438. Запишіть многочлен 3а + а2 – 4 – а3 як суму двох многочленів, один з яких дорівнює:

1) а2 – 4; 2) 2а + а2.

439. Доведіть тотожність: (2х + у) – (3х – у) + (х – 2у) = 0.

440. Запишіть у вигляді многочлена різницю чисел, перше з яких має а тисяч, 7 сотень, b десятків і 4 одиниці, а друге – 2а тисяч, 9 сотень, 9 десятків і b одиниць.

441. Запишіть у вигляді многочлена суму чисел, перше з яких має х тисяч, у сотень і 2 десятків, а друге – z тисяч, у сотень, 5 десятків і 8 одиниць.

442. Знайдіть суму многочленів:

1) 4,8а2 + 5,6b2, 3,7а2 – 3b2, -3,5а2 – 2, -4,34 – 0,1b2 і -5а2 + 3,1b2 + 2;

2)- ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ а2 + 8,5b2 + 6, -4a2- 2 ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВB2, ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВА2 + 4 – ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВB2, –ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВA2 + 3 – b2 i – а2 + 7,2b2;

3) a2bc2 + a2cb2 – abc2, – bac2 + acb, – c2a2b + a2b2c і – abc + 100;

4) x8n + x6n, -(x2)2n ∙ (хn)4 + (-х)2n.

443. Знайдіть суму многочленів:

1) 0,24a2 + b2 + 4, 0,36а2 + 2,3b2 – 0,5, -0,3а + 0,41b + 0,4а2i 0,5 + 0,2b2;

2)ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВA2 + –ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВB2 + 5, ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВА2 + b2 – 2,7 і -2а2 – ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВB2 – ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ;

3) 3х2y2 – х2 + 3ух2 + у2х, -5,4х2y + у2 – 6у2х + у2х2 і -4y2х2 + 5у2х + х2 + 2,4x2y.

444. Якими даними треба доповнити таблицю 9?

Таблиця 9

Многочлен

2х2- у2 – 6

У3 – 4у4 + 5

4a2+ a – 2

Многочлен

Х3 + х – 5

Сума

5×2 + 3y2 – 3

Х4 + х3+ х2 + 4х

Різниця

-y2 + y4 – 3

A2 – a + 3

445. Нехай А = ух2 + 2у2х – 2,4ух – 2, В = 3ху2 – 5,2ху + 15 + у,

С = 17 – 5ху2 + ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВХу. Спростіть вираз: 1)A + В + С; 2)А – В + С.

446. Доведіть тотожність: а2 + 2b2 + (3а2 + с – b2) – (c +2а2) = 2a2 + b2.

447. Доведіть, що сума многочленів ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ аm – ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВА, -0,5аm + ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ + 2a і -1,25а – 6 не залежить від значень змінних, що входять до них.

448. Доведіть, що сума многочленів ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВMn2 + 1ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ m2n + 3, ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ mn2 + 2,5m2n і і mn2 – 4m2n + 4 не залежить від значень змінних, що входять до них.

449. Запишіть многочлен -3а3 – 1 + 3а як суму двох многочленів, один з яких дорівнює:

1) 0,4а2+ 1,6а3;

2) а2+ 6;

3) – а3 + 8.

450. Знайдіть значення виразу:

1) 1,4ху2 + 5ху + 0,25 – (ху -1,8ху2 + 0,75) – (3,2y2х – 3ху), якщо ху =-1;

2) 4у2 – у – 5х2 + 8 – (3у2 – 1,25у + 10 – 6х2) – 0,25у, якщо х2 + у2 = 2.

451. Знайдіть значення виразу:

1) 3×2 + 4х + 1 + (-х + 5) – (2х2 – 6х), якщо х = 3;

2) 7у2+(3у2 + у – 4) – ((2у)2 – 3у +1) – 3у, якщо у = -2.

452. Знайдіть значення виразу:

1) x – (-2)3 + xn ∙ x – (-x + x1+n) – 8, якщо x = 0,607;

2) 9х2 + (х2 – х3) + (x3 – x4) +…+ (x9 – x10) – (4 – х10), якщо x = 0,5.

453. Доведіть, що різниця многочленів х2 + 4х + 2 і х2 – 12х – 2 є – кратною числу 4 для будь-якого значення х.

454. Доведіть, що різниця многочленів 46а – 3 і а – 12 є кратною числу 9 для будь-якого значення а.

455. Доведіть, що:

1) сума трьох послідовних натуральних чисел ділиться на 3;

2) сума п’яти послідовних натуральних чисел ділиться на 5;

3) сума трьох послідовних парних натуральних чисел ділиться на 6.

456. Доведіть, що сума п’яти послідовних парних натуральних чисел ділиться на 10.

457. Позначимо ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ – число, у якого а – кількість сотень, b – кількість десятків, с – кількість одиниць. Запишіть у вигляді многочлена вираз:

1) ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ

458. Позначимо ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ – число, у якого а – кількість десятків, b – одиниць. Запишіть у вигляді многочлена вираз:

ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ

459. Доведіть, що різниця двоцифрового числа і числа, яке записане тими самими цифрами, але у зворотному порядку, ділиться на 9.

460. Доведіть, що сума двоцифрового числа і числа, яке записане тими самими цифрами, але у зворотному порядку, ділиться на 11.

461. Доведіть, що сума многочленів 5х4 + 0,3х3 + 2х + 6, -2х3+ 7х2 – 2х і 1,7х3 + 10 за будь-якого значення х набуває додатного значення.

462. Позначимо ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ – число, у якого a – кількість сотень, b – кількість десятків, с – кількість одиниць. Знайдіть усі трицифрові числа ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ, для яких виконується умова ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ

463. Сума трицифрового числа і числа, яке записане тими самими цифрами, але у зворотному порядку, менша від числа 505 на кількість десятків даного числа, помноженого на 81. Знайдіть yсі такі числа.

464. У чотирицифрового числа перша цифра (кількість тисяч) – 7. Якщо в даному числі цю цифру переставити на останнє місце, то отримаємо число, менше відданого на 864. Знайдіть це число.

465. Знайдіть трицифрове число ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ якщо воно дорівнює сумі чисел ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ

ЗАСТОСУЙТЕ НА ПРАКТИЦІ

466. Ви поклали в банк А х грн під 20 % річних, а в банк В – у грн під 30 % річних. Який прибуток ви отримаєте через два роки?

467. У вас є три відра, кожне з яких уміщує цілу кількість літрів.

Якщо вилити повне перше відро води у друге, то вона займе ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ його об’єму, а якщо вилити у третє, то ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ його об’єму. Сума об’ємів трьох відер менша від 30 літрів. Знайдіть об’єми відер.

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

468. Знайдіть довжину ліній Харківського метрополітену, що становить 62 ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ % від довжини ліній Київського метрополітену, яка дорівнює 60 км.

469. Станція Арсенальна Київського метрополітену – найглибша у світі. Знайдіть її глибину, якщо вона становить 25 % від 420 м.

470. Морська вода містить 2 % солі. Скільки кілограмів солі треба додати до 20 кг морської води, щоб вміст солі в ній складав 4 %?

471. Морська вода містить 2 % солі. Скільки кілограмів прісної води треба додати до 20 кг морської води, щоб вміст солі в ній складав 1 %?


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (No Ratings Yet)
Loading...


Приклад аналізу.
Ви зараз читаєте: ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ