Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції
УРОК 1
Тема. Числові функції. Зростаючі і спадні, парні і непарні функції
Мета уроку: Узагальнення і систематизація знань учнів про числові функції (область визначення і область значення функцій, зростаючі і спадні функції, парні і непарні функції).
І. Мотивація навчання
Процеси реального світу тісно пов’язані між. собою. Серед різноманіття явищ вчені виділили такі, у яких взаємозв’язок величин настільки тісний, що, знаючи значення однієї з них, можна визначити значення другої величини.
Наприклад, знаючи сторону квадрата,
Залежність змінної у від змінної х, при якій кожному значенню? відповідає єдине значення у, називається функцією.
З поняттям функції ви познайомилися в курсі алгебри. Поняття функції є важливим поняттям курсу алгебри і початків аналізу, отже, ми повинні згадати і узагальнити відомості про функції. Крім того, досліджуючи властивості функцій, ми маємо можливості грунтовніше пізнати реальний світ.
II. Систематизація і узагальнення основних відомостей про числові функції
Числовою функцією з областю визначення D називається залежність, при якій кожному числу
Змінна х називається незалежною змінною або аргументом функції, а змінна у – залежною змінною або функцією.
Функцію позначають латинськими буквами f, g, h… (або f(x), g(x), h(x)) або рівностями у = f(x), у = g(x), у = h(x)… Якщо задане конкретне значення незалежної змінної х = х0, то у0 = f(x0) називається значенням функції f в точці х0.
Область визначення функції позначається D(f) (від анг. define – визначити). Множина, яка складається із всіх чисел f(x) таких, що х належить області визначення функціїf, називається областю значень функції і позначається E(f) (від анг. exist – існувати).
Розглянемо приклад. Результати вимірювання температури тіла хворого в залежності від часу подано в таблиці:
Час доби х (год) | 9 | 12 | 15 | 18 | 21 | 24 |
Температура тіла y=f(x) (С°) | 39 | 38,5 | 38,3 | 37,3 | 37,1 | 37 |
Залежність у-= f(x) є функцією, х – незалежна змінна, у – залежна змінна.
F(9) = 39, f(12) = 38.5,…, f(24) = 37.
D(f) = {9;12;15; 18; 21; 24}.
E(f) = {39; 38,5; 38,3; 37,3; 37,1; 37}.
Функцію можна задати за допомогою таблиці, графіка, формули.
Найчастіше функцію задають формулою, яка дає можливість одержати значення залежної змінної у, підставивши конкретне значення аргументу х.
Наприклад. Якщо кожному значенню х із множини дійсних чисел поставити у відповідність квадрат цього числа, то-функцію можна записати у вигляді формули:
У = х2 або f(x)= x2.
Областю визначення функції у = f(x), яка задана формулою, називається множина тих значень, які може приймати х, тобто формула має зміст (усі дії, вказані формулою, можна виконати). При знаходженні області визначення слід пам’ятати:
1) Якщо функція є многочленом у = аn хn + ?n-1 xn-1 +… + ?1x + a0, то D(y) = (-
; +) = R.
2) Якщо функція має вигляд у = 
, де f(x) і g(x) – многочлени, то слід вважати g(x)
0 (знаменник дробу не дорівнює 0).
3) Якщо функція має вигляд у = 
, то слід вважати f(x) > 0 (арифметичний квадратний корінь існує тільки з невід’ємних чисел).
Графіком функції у = f(x) називається множина всіх точок площини з координатами (x;f(x)) , де перша координата “пробігає” всю область визначення функції у = f(x), а друга координата – це відповідні значення функції в точці х.
1. Знайдіть значення функції:
A) f(x) = 
у точках 1; -1; 5;
Б) f(x) = 
у точках 3; 12; 52.
Відповідь: а) f(1) = 2, f(-1) = 0; f(5) = 1,2;
Б) f(3) = 0; f(12) = 3; f(52) = 7
2. Функцію задано формулою у = x2 на області визначення D = {-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3}. Задайте її за допомогою:
А) таблиці; б) графіка.
Відповідь:
A) | X | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Y | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
Б) рис. 1
3. Знайдіть область визначення функції:
А) у = х2 + х3; б) 
; в) 
; д) 
; є) 
.
Відповідь:
A) D(y) = R; б) D(y) = (-; 3) 
(3; +); в) D(y) = (-;-2) (-2;0) (0;+); г) D(y) = (-; -3) (-3; 3) (3; +); д) D(y) = (-;l) (l;4) (4;+); є) D(y) = [-6;+).
4. Знайдіть область значень функції: а) у =
; б) у = 
-1.
Відповідь: а) Е(у) = [2; +); б) Е(у) = [1; +).
5. Для функцій, графіки яких зображено на рис. 2, вкажіть D(y) і Е(у).
Відповідь:
А) D(у) = [-1;1]; Е(у) = [0;1];
Б) D(y) = [-1;1]; E(y) = [-2;2];
В) D(y) = (-1;1); E(у) = R;
Г) D(y) = R; Е(у) = (-1;1).
6. Які із ліній, зображених на рисунку 3, є графіком функції? Чому?
Відповідь: а); в).
III. Систематизація і узагальнення знань учнів про спадні, зростаючі, парні та непарні функції.
Функція у = f(x) називається зростаючою (рис. 4), якщо більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції, тобто для будь-яких значень х1 і х2 з області визначення функції таких, що х1 < х2, виконується нерівність f(x1) < f(x2) і навпаки: із того, що f(x1) < f(x2) виконується нерівність х1 < х2.
Функція у = f(x) називається спадною (рис. 5), якщо більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції, тобто для будь-яких значень х1 і х2 з області визначення функції таких, що х1 < х2, виконується нерівність f(x1) > f(x2) і навпаки: якщо у = f(x) – спадна, то із того, що f(x1) > f(x2), виконується нерівність х1 < х2.
Виконання вправ
1. Користуючись графіками функцій, зображених на рисунку 6, укажіть проміжки зростання і спадання функцій.
Відповідь:
А) на кожному з проміжків [-1;0], [1;2] функція зростає, на кожному з проміжків [-2;-1], [0;1] функція спадає;
Б) на кожному з проміжків [-3;-2], [1;2] функція спадає; на проміжку [-2;1] функція зростає;
В) на проміжку (-;-1] функція спадає, на проміжку [-1; 1] функція постійна, на проміжку [1;+) функція зростає.
2. Функція у = f(x) зростаюча. Порівняйте: а) f(10) і f(-10); б) 
і 
.
Відповідь: а) f(10) > f(-10); б) < .
3. Функція у = f(x) – спадна на R. Порівняйте: а) f(10) і f(-10); б) і .
Відповідь: а) f(10) < f(-10); б) > .
4. Знайдіть проміжки зростання і спадання функції:
А) у = x – 3; б) у = – x + 3; в) у = x2 + 1; г) у = – х2 + 1.
Відповідь:
А) зростає на R;
Б) спадає на R;
В) зростає на проміжку [0;+) і спадає на проміжку (-;0];
Г) зростає на проміжку (-;0] і спадає на проміжку [0;+).
Функція у = f(x) називається парною, якщо для будь-якого значення х із D(y) значення – х також належить D(y) і виконується рівність f(-x) = f(x).
Графік парної функції симетричний відносно осі ОУ (рис. 7).
Приклад 1. Чи парна функція f(x) = ?4 + ?2 ?
Оскільки D(f) = R і f(-x) = (-х)4 + (-x)2 = х4 + х2 = f(x) , функція парна.
Приклад 2. Чи парна функція f(x) = х2 + х?
Оскільки D(f) = R, але f(-x) = (-х)2 + (-х) = х2 – х 
F(x), то функція не є парною.
Функція у = f(x) називається непарною, якщо для будь-якого значення х із D(y) значення – х 
D(y) і виконується рівність f(-x) = – f(х).
Графік непарної функції симетричний відносно початку координат (рис. 8).
Приклад 3. Чи непарна функція f(х) = x3 – x5?
Оскільки D(f) = R і f(-х) = (-х)3 – (-х) = – х3 + х5 = -(х3 – х5) = – f(х), функція непарна.
Приклад 4. Чи непарна функція f(х) = х3 – х2 ?
Оскільки D(f) = R і f(-x) = (-х)3 – (-х)2 = – х3 – х2 = -(х3 + х2)F(x) = – х3 + х2, функція не є непарною.
1. Які із функцій, графіки яких показано на рисунку 9, є парними, а які непарними?
Рис. 9
Відповідь: непарні – а), в); парні – б) д).
2. Які із поданих функцій а) у = х3 + 2х7; б) у = 
; в) у = 
; г) у = 3×2 + х6; д) у = х +1; є) у = +1 є парними, а які – непарними?
Відповідь: парні – в), г); е); непарні – а).
IV. Підведення підсумків уроку
V. Домашнє завдання
Розділ І § 1(1). Запитання і завдання для повторення розділу І № 1-12. Вправи № 1 (2; 5; 7), № 2 (3; 5).
(1 votes, average: 5.00 out of 5)
Loading...