Поняття про обернену функцію



УРОК 17

Тема. Поняття про обернену функцію

Мета уроку: формування понять: оборотна функція, обернена функція. Вивчення алгоритму знаходження форму­ли функції, оберненої до даної, властивості графіків взаємно-обернених функцій.

І. Аналіз контрольної роботи

II. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу

На уроках математики ви неодноразово розв’язували задачу: обчислити значення функції у = f(x) при заданому значенні х0 аргументу. Іноді потрібно розв’язати і обернену задачу: обчис­лити значення аргументу х, при якому функція

у = f(x) набуває даного значення у0.

При розв’язуванні оберненої задачі виникають питання: Скільки таких значень існує? При яких умовах задача має єди­ний розв’язок?

Розглянемо приклади.

Приклад 1. Нехай задано функцію у = 2х + 1. Щоб знайти зна­чення аргументу х, при яких функція дорівнює у0, треба розв’я­зати рівняння у0 = 2х + 1.

Розв’язавши його 2х = у0 – 1; Поняття про обернену функцію, маємо, що для будь-якого у0 рівняння у0 = 2х + 1 має і притому тільки один корінь.

Приклад 2. Для функції у = х2 рівняння у0 = х2 при у0 > 0 має два корені: х1 = –Поняття про обернену функцію; х2 = Поняття про обернену функцію.

Функція,

яка набуває кожного свого значення в єдиній точці області визначення, називається оборотною. Таким чином, фун­кція у = 2х + 1 – оборотна, а функція у = х2 (визначена на всій числовій осі) не є оборотною.

Залежність із прикладу 1: Поняття про обернену функцію виражає х як деяку функцію від у (аргумент цієї функції позначений літерою у, а значення функції – літерою х). Перейшовши до звичних позна­чень (аргумент – х, функція – у), матимемо функцію: Поняття про обернену функцію, яка називається оберненою до функції у = 2х + 1.

Побудуємо графіки функцій у = 2х + 1 і Поняття про обернену функцію в одній системі координат (рис. 102), графіки цих функцій розташовані симетрично від­носно бісектриси першого і третього координатних кутів.

Поняття про обернену функцію

Виконання вправи.

З’ясуйте, чи оборотна функція Поняття про обернену функцію в області її визначення. Якщо дана функція оборотна, то задайте обернену до неї функцію і побудуйте графіки даної і оберненої функцій.

Розв’язання.

Оскільки функція Поняття про обернену функцію набуває кожного свого значення в єдиній точці області визначення (х Поняття про обернену функцію (-Поняття про обернену функцію; 1) Поняття про обернену функцію (1; +Поняття про обернену функцію)), то дана функція оборотна.

Розв’яжемо рівняння Поняття про обернену функцію відносно х: у(х – 1) = 1, х – 1 = Поняття про обернену функцію , х = Поняття про обернену функцію + 1.

Замінивши х на у, й у на х має­мо у = Поняття про обернену функцію +1 – обернену функцію х до функції Поняття про обернену функцію.

Побудуємо графіки функцій Поняття про обернену функцію та у = Поняття про обернену функцію +1 в одній системі координат (рис. 103).

Поняття про обернену функцію

Підведемо підсумки:

1) Якщо функція у = f(x) задана формулою, то для знаходжен­ня оберненої функції потрібно розв’язати рівняння f(x) = у відносно х, а потім поміняти місцями х і у. Якщо рівняння f(x) = у має більше ніж один корінь, то функції, оберненої до функції у = f(x) не існує.

2) Графіки даної функції і оберненої до даної симетричні віднос­но прямої у = х.

Дійсно, при симетрії відносно прямої у = х вісь абсцис переходить у вісь орди­нат, а вісь ординат переходить у вісь аб­сцис, будь-яка точка (а; b) координатної площини при симетрії відносно прямої у = х переходить у точку (b; а) (рис. 104). Якщо точка (а; b) належить графіку даної функції, то точка (b; а) належить графіку оберненої функції, а ці дві точ­ки симетричні відносно прямої у = х.

Поняття про обернену функцію

3) Якщо функція у = f(x) зростає (спадає) на деякому проміжку, то вона оборотна. Обернена функція до даної, визначена області значень функції у = f(x), також є зростаючою (спадною).

Приклад 3. Функція у = х2 не є оборотною в області визначення. Проте функція у = х2, де х Поняття про обернену функцію [0; +Поняття про обернену функцію) зростає на цьому проміжку, тому має обернену. Оберненою функцією є функція у = Поняття про обернену функцію. Графіки цих функ­цій зображено на рис. 105.

Поняття про обернену функцію

Виконання вправ____________

1. Які із поданих функцій є оборотними в області визначення:

А) у = 5х + 4; б) у = х3 + 1; в) у = х2 – 1; г) Поняття про обернену функцію; д) у = sin х; є) у = Поняття про обернену функцію ?

Відповідь: а); б); г); є).

2. Знайдіть функцію, обернену до даної:

А) у = х – 3; б) у = Поняття про обернену функцію; в) у = Поняття про обернену функцію; г) у = x2, де х Поняття про обернену функцію (-Поняття про обернену функцію; 0].

Відповідь: а) у = х + 3; б) у = Поняття про обернену функцію; в) у = х2 – 1, де х Поняття про обернену функцію [0; +Поняття про обернену функцію); г) у = –Поняття про обернену функцію.

3. На одному і тому же рисунку побудуйте графік даної функції і функції, оберненої до даної:

А) у = х2 – 1, х > 0;

Б) у = (х – 1)2, х > 1;

В) у = sin х, х Поняття про обернену функціюПоняття про обернену функцію;

Г) у = cos х, х Поняття про обернену функцію [0; ?].

Відповідь: а) рис. 106; б) рис. 107; в) рис. 108; г) рис. 109.

Поняття про обернену функцію

Поняття про обернену функцію

Поняття про обернену функцію

Поняття про обернену функцію

4. Скільки коренів має рівняння (розв’язати графічно):

А) х3 + х = 2; б) sin х = 1, х Поняття про обернену функціюПоняття про обернену функцію; в) sin х = 1?

Відповідь: а) один; б) один; в) безліч.

III. Підсумок уроку

Познайомилися з поняттями оборотної та оберненої функції, властивостями графіків даної функції та оберненої, властиво­стями монотонності даної функції та оберненої до даної.

IV. Домашнє завдання

Розділ II § 1 (Поняття про обернену функцію). Запитання і зав­дання для повторення стор. 135 № 1-5.


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (No Ratings Yet)
Loading...


Біологічно активні речовини.
Ви зараз читаєте: Поняття про обернену функцію