Деякі способи розв’язування тригонометричних рівнянь
Математика – Алгебра
Тригонометричні функції
Деякі способи розв’язування тригонометричних рівнянь
1. Рівняння, що зводяться до квадратних
.
легко виразити через 
за допомогою основної тригонометричної тотожності 
:
.
Отже, 
;
.
Нехай 
, 
.
; 
.1)
; 
, k Є Z.2)
; 
, k Є Z.Відповідь:
, k Є Z;
, k Є Z.2. Спосіб розкладання на множники
;
;
;
Відповідь:
N Є Z;
K Є Z.Якщо під час
Наприклад, позначивши на колі дві серії:
бачимo, що відповідь можна записати у вигляді
K Є Z.3. Однорідні рівняння
У загальному випадку однорідне тригонометричне рівняння має вигляд:
, де
.Значення x, при яких
, не є розв’язком рівняння. Дійсно, якщо 
, рівняння набуде вигляду 
, звідки 
. Але 
і 
не можуть перетворитися на 0 одночасно.Із цього випливає, що при діленні обох частин рівняння на
не може відбутися втрата коренів.Отримуємо:
.Введемо нову змінну
і дістанемо алгебраїчне рівняння: 
.Зверніть увагу: якщо
у лівій частині рівняння можна винести за дужки, то ділення на 
веде до втрати коренів.Приклади
1)
;
;
;
.Нехай
.
;
; 
.а)
; 
, n Є Z;б)
; 
, n Є Z.Відповідь:
, n Є Z;
, n Є Z.2)
;
;
;
Відповідь:
, n Є Z, 
, n Є Z.4. Спосіб введення допоміжного аргументу
Цей спосіб застосовується для розв’язання рівнянь виду asinx ++ bcosx = c.
Поділимо обидві частини рівняння на
. Дістанемо:
.Очевидно:
, 
.Із цього випливає, що можна ввести до розгляду кут
.Тоді
; 
, і рівняння набуде вигляду:
або
.Можна прийняти:
, 
.Тоді дістанемо
.Рівняння виду
можна розв’язувати і в інший спосіб:
.Використавши тотожність
, дістанемо однорідне рівняння.5. Рівняння, що містять тригонометричні функції у знаменнику. Відбір коренів
Ці рівняння зводять до вигляду
, а потім розв’язують систему 
Приклад
Відбір коренів зручно виконувати, скориставшись тригонометричним колом.
Позначимо на колі точки, що відповідають кутам виду
, n Є Z.Потім відкинемо (виколемо) ті з них, які мають вигляд
, k Є Z (див. рисунок нижче).
Відповідь:
, n Є Z.6. Випадок, коли треба знайти тільки певні розв’язки
Приклад. Скільки розв’язків рівняння
належать проміжку 
?
;
;
;
;
;
Треба відповісти на запитання, скільки розв’язків належить проміжку
I cпосіб. Розглянемо нерівності:
1)
; 2) 
;
; 
;
. 
.n = 0; 1; 2; 3,
,оскільки n Є Z. оскільки n Є Z.
Таким чином, проміжку
належать п’ять розв’язків рівняння.ІІ спосіб. Можна скористатися тригонометричним колом, якщо позначити на ньому відповідні розв’язкам рівняння точки й відібрати ті, що містяться в першій чверті.