Головна ⇒ 📌Довідник з математики ⇒ Деякі способи розв’язування тригонометричних рівнянь

Деякі способи розв’язування тригонометричних рівнянь

Математика – Алгебра

Тригонометричні функції

1. Рівняння, що зводяться до квадратних
.
легко виразити через за допомогою основної тригонометричної тотожності :
.
Отже, ;
.
Нехай , .

class=""/>;

Деякі способи розвязування тригонометричних рівнянь

;

.
1)

;

, k Є Z.
2)

;

, k Є Z.
Відповідь:

, k Є Z;

, k Є Z.
2. Спосіб розкладання на множники

;

Відповідь:

N Є Z;

K Є Z.
Якщо під час

розв’язування одержуємо сукупність кількох серій розв’язків, доцільно перевірити, чи не можна їх описати загальною формулою. Для цього рекомендується використовувати тригонометричне коло:

Наприклад, позначивши на колі дві серії:

бачимo, що відповідь можна записати у вигляді

K Є Z.
3. Однорідні рівняння
У загальному випадку однорідне тригонометричне рівняння має вигляд:

, де

.
Значення x, при яких

, не є розв’язком рівняння. Дійсно, якщо

, рівняння набуде вигляду

, звідки

. Але

не можуть перетворитися на 0 одночасно.
Із цього випливає, що при діленні обох частин рівняння на

не може відбутися втрата коренів.
Отримуємо:

.
Введемо нову змінну

і дістанемо алгебраїчне рівняння:

.
Зверніть увагу: якщо

у лівій частині рівняння можна винести за дужки, то ділення на

веде до втрати коренів.
Приклади
1)

;

.
Нехай

;

.
а)

;

, n Є Z;
б)

;

, n Є Z.
Відповідь:

, n Є Z;

, n Є Z.
2)

;

Відповідь:

, n Є Z,

, n Є Z.
4. Спосіб введення допоміжного аргументу
Цей спосіб застосовується для розв’язання рівнянь виду asinx ++ bcosx = c.
Поділимо обидві частини рівняння на

. Дістанемо:

.
Очевидно:

.
Із цього випливає, що можна ввести до розгляду кут

.
Тоді

;

, і рівняння набуде вигляду:

або

.
Можна прийняти:

.
Тоді дістанемо

.
Рівняння виду

можна розв’язувати і в інший спосіб:

.
Використавши тотожність

, дістанемо однорідне рівняння.
5. Рівняння, що містять тригонометричні функції у знаменнику. Відбір коренів
Ці рівняння зводять до вигляду

, а потім розв’язують систему

Приклад

Відбір коренів зручно виконувати, скориставшись тригонометричним колом.
Позначимо на колі точки, що відповідають кутам виду

, n Є Z.
Потім відкинемо (виколемо) ті з них, які мають вигляд

, k Є Z (див. рисунок нижче).

Відповідь:

, n Є Z.
6. Випадок, коли треба знайти тільки певні розв’язки
Приклад. Скільки розв’язків рівняння

належать проміжку

;

Треба відповісти на запитання, скільки розв’язків належить проміжку

I cпосіб. Розглянемо нерівності:
1)

; 2)

;

.
n = 0; 1; 2; 3,

,
оскільки n Є Z. оскільки n Є Z.
Таким чином, проміжку

належать п’ять розв’язків рівняння.
ІІ спосіб. Можна скористатися тригонометричним колом, якщо позначити на ньому відповідні розв’язкам рівняння точки й відібрати ті, що містяться в першій чверті.