КОЛО І КРУГ

Круг – перша найпростіша і найдосконаліша фігура.

Прокл

РОЗДІЛ 4 КОЛО І КРУГ. ГЕОМЕТРИЧНІ ПОБУДОВИ

У цьому розділі ви розширите і поглибите свої знання про коло і круг, набуті в попередніх класах, дізнаєтеся про взаємне розміщення на площині прямої і кола, двох кіл; про властивості дотичної до кола, дотичних кіл; про кола вписані й описані навколо трикутника А ще зрозумієте, що таке геометричне місце точок, навчитеся виконувати основні геометричні побудови і розв’язувати

складніші задачі на побудову циркулем і лінійкою.

& 17. КОЛО І КРУГ

Коло – це фігура, що складається з усіх точок площини, рівновіддалених від даної точки. Цю точку називають центром кола.

Відрізок, що сполучає будь-яку точку кола з його центром, називають радіусом. Відрізок, що сполучає дві довільні точки кола, називають хордою кола.

Хорду, що проходить через центр кола, називають діаметром (мал. 209). Кожний Діаметр кола складається з двох радіусів, тому його довжина вдвічі більша за довжину радіуса. Якщо хорда не проходить через центр кола, її довжин а менша від довжини

діаметра. (Чому?)

Коло на папері зображають за допомогою циркуля.

Вважають, що з даного центра на площині можна описати тільки одне коло даного радіуса (мал. 210).

Пряма і коло можуть мати дві спільні точки (мал. 211, а), одну спільну точку (мат. 211,6) або не мати жодної (мал. 211, в).

Пряму, що має з колом дві спільні точки, називають січною.

Пряму, що має з колом тільки одну спільну точку, називають дотичною до кола. Їх спільну точку називають точкою дотику. (Йдеться про фігури однієї площини.) Точка дотику лежить на колі, тому дотична віддалена від центра кола на відстань, що дорівнює довжині радіуса. Оскільки всі інші точки дотичної лежать поза колом, відстані від них до центра кола більші від довжини радіуса. З цього випливає, таке твердження.

Мал. 209

Мал. 210

Дотична до кола перпендикулярна до ного радіуса, проведеного в точку дотику.

Мал.211

Щоб через дану на колі точку К провести дотичну до цього кола, треба провести радіус ОК, а потім – пряму KM, перпендикулярну до цього радіуса (мал. 212).

Якщо два різні кола мають дві стальні точки, то говорять, що дані кола перетинаються в цих точках. Точки перетину двох кіт лежать по різні боки від прямої, яка проходить через центри цих кіл. На малюнку 213 зображено кола з центрами О і O, що перетинаються в точках А і В.

Якщо два кола мають тільки одну спільну точку, говорять, що вони дотикаються в цій точці. Дотик двох кіл може бути зовнішнім (мал. 214) або внутрішнім (мал. 215). В обох випадках точка дотику і центри кіл лежать на одній прямій.

Два кола однієї площини, які мають спільний центр, називають концентричними колами (мал. 216).

Зазвичай кола креслять, користуючись циркулем. Але іноді зручніше це робити за допомогою спеціальних шаблонів з вирізаними кругами різних радіусів.

Коло ділить площину на дві частини (області). Об’єднання кола з його внутрішньою областю називають кругом. Межа круга – коло. Центром, радіусам, діаметром, хордою круга називають відповідно центр, радіус, діаметр, хорду кола, що є межею даного круга (мал. 217).

Мал. 212

Мал. 213

Мал. 214

Мал. 215

Мал. 216

Мал. 217

Форму кола має обруч, форму круга – дно відра, видимий диск Сонця тощо. Колесо на рейці – матеріальна модель кола, що дотикається до прямої. На схематичному зображенні підшипника (мал. 218) є кілька дотичних кіл.

Як вам відомо з попередніх класів, довжину С кола і площу S круга виражають через радіус r такими формулами:

С = 2 пr, S = пr2.

Строгі доведення цих формул розглядатимуться у старших класах.

Мал. 218

Для допитливих

Слово коло – давньоукраїнське. Воно мас один корінь із словами колода, колоти, колотити, сколоти. Околотами називали праукраїнців, які жили на землях сучасної України за скіфів і ще раніше. А ще слово коло в українській мові служить прийменником, як і навколо, довкола. Якщо до забитого в землю кілка (кола) прив’язували тварину, то вона ходила довкола, навколо.

Раніше круг також називали колом, наприклад, співали: “Ой зійди, зійди, ясен місяцю, як млиновеє коло”. Хоч і повний місяць, і камінь у млині мають форму круга, а не кола. Нерідко коло називали також колесом; дехто вважає, що перші колеса навчилися робити майстрові люди в наших краях.

У геометрії коло відіграє важливу роль. Існує навіть окрема частина геометрії – геометрія кіл, у якій досліджуються важливі й цікаві властивості геометричних фігур, пов’язаних із колом.

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Що таке коло; центр кола; радіус; діаметр; хорда?

2. Що таке круг? Чим відрізняється круг від кола?

3. Скільки спільних точок можуть мати: а) пряма і коло; б) два кола?

4. Сформулюйте означення дотичної до кола. Яку властивість має дотична до кола?

5. Які кола називають дотичними? Що таке точка дотику?

6. Як можуть дотикатися два кола?

7. Які кола називають концентричними?

Виконаємо разом

1. Доведіть, що точки дотику кола до сторін кута рівновіддалені від його вершини.

– Нехай коло з центром О дотикається до сторін кута А в точках В і С (мал. 219). Доведемо, що АВ = АС.

Радіуси OD і ОС, проведені в точки дотику, перпендикулярні до відповідних дотичних і рівні. Тому прямокутні трикутники АВО і АСО рівні за гіпотенузою і катетом.

Отже, АВ = АС.

2. Доведіть, що діаметр кола, проведений через середину хорди, відмінної від діаметра, перпендикулярний до хорди.

Нехай АВ – хорда кола, яка не проходить через центр О кола, а КР – діаметр кола, ЯКИЙ проходить через середину М хорди АВ (мал. 220). Трикутник ОАВ рівнобедрений, бо ОА = ОВ. А медіана ОМ рівнобедреного трикутника, проведена до його основи, є також висотою трикутника. Тому ОМ ⏊ АВ, а отже, і КР ⏊ АВ.

3. Знайдіть площу кільця, обмеженого двома концентричними колами радіусів r і r1 (мал. 221) .

Площа S кільця дорівнює різниці площ кругів радіусів r і r1:

S = пr2 – пr2 = п (r2 – r21).

Мал. 219

Мал. 220

ЗАДАЧІ І ВПРАВИ

Виконайте усно

497. Скільки різних кіл можна провести через: а) одну точку; б) дві точки; в) три точки?

498. Скільки спільних точок можуть мати: а) коло і пряма; б) два кола;

В) коло і трикутник; г) коло і площина?

499. Дано коло з центром О. Скільки спільних точок має коло з: а) прямою ОА; б) променем ОМ?

500. Скільки різних дотичних до даного кола можна провести через дану точку, що лежить: а) на колі; б) поза колом; в) усередині кола?

501. Скільки пар дотичних кіл є на малюнку 218? А скільки пар концентричних кіл?

Мал. 221

502. Накресліть коло. Проведіть його радіус, діаметр, хорду.

503. Доведіть, що діаметр – найбільша з хорд даного кола.

504. Дано коло і відрізок, меншин від діаметра. Проведіть хорду, довжина якої дорівнює довжині даного відрізка.

505. Знайдіть відстань між центрами кіл радіусів 5 м і 7 м, які дотикаються:

А) зовнішнім способом; б) внутрішнім способом.

506. Чи мають спільні точки два кола, радіуси яких дорівнюють 3 см і 4 см, якщо відстань між їх центрами дорівнює 5 см?

507. АВ і CD – рівні хорди кола з центром О. Доведіть, що ∆АВО = ∆CDO.

508. Кола з центрами О і О1 перетинаються в точках А і В. Доведіть, що:

1) ∆ОАО1 = ∆ОВО1; 2) ∆ОАВ і О1АВ – рівнобедрені.

509. Кола з центрами О і О1 перетинаються в точках А і В, причому кожне з них проходить через центр іншого. Знайдіть ∠AOB і ∠OAO1.

510. Кожне з трьох кіл проходить через центри двох інших. Доведіть, що їх центри – вершини рівностороннього трикутника.

511. Доведіть, що рівні хорди кола рівновіддалені від центра.

512. Як побудувати дотичну до даного кола:

А) паралельну даній прямій;

Б) перпендикулярну до даної прямої?

513. Садівник описує коло для клумби за допомогою кілочків і мотузки (мал. 222).

Чому описана таким способом фігура – коло? Чи вийде коло, якщо мотузка намотуватиметься на кілочок?

Мал. 222

514. Знайдіть радіуси двох дотичних кіл, якщо вони відносяться як 1 : 3, а відстань між центрами кіл дорівнює 16 см. Розгляньте два випадки.

515. З точки А до кола з центром О проведено дотичні АВ і АС. Доведіть, що АО – бісектриса кута ВАС.

516. З точки А до кола з центром О проведено дві дотичні, кут між якими дорівнює 60°. Знайдіть радіус кола, якщо ОА = 10 см.

517. З точки А до кола проведено дві дотичні. Знайдіть кут між ними, якщо відстань від точки А до точки дотику дорівнює радіусу кола.

518. Коло дотикається до сторін кута А в точках В і С так, що АВ = ВС. Знайдіть міру кута А.

519. Три рівні кола з центрами O1, О2, О3 попарно дотикаються одне до одного в точках К, Р і Т. Доведіть, що:

1 )О1О2 = О2О3 = О2О1; 2) КР = РТ = ТК.

520. З центра кола провели три промені, які розбили дане коло на три дуги, довжина кожної з яких дорівнює 3 см. Знайдіть кути між цими променями і радіус кола.

521. Доведіть, що площа кільця, обмеженого двома концентричними колами радіусів r і r1 дорівнює середньому арифметичному довжин цих кіл, помноженому на різницю радіусів, тобто S = lm (мал. 223).