Головна ⇒ 📌Математика ⇒ Об’єм прямокутного паралелепіпеда

Об’єм прямокутного паралелепіпеда

Розділ I НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА І ДІЇ З НИМИ

§ 3. МНОЖЕННЯ І ДІЛЕННЯ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

23. Об’єм прямокутного паралелепіпеда

Рис. 173

1 Діагональ паралелепіпеда – це відрізок, що сполучає його вершини, які не належать одній грані.

Фігури на рисунку 173, а, б складаються з рівної кількості однакових кубиків. Про такі фігури можна сказати, що їх об’єми рівні. Прямокутні паралелепіпеди, зображені на рисунку 173, в, г, складаються відповідно з 18 і 9 однакових кубиків. Тому можна сказати, що об’єм першого

з них у два рази більший за об’єм другого.

З такою величиною, як об’єм, ви часто стикаєтесь у повсякденному житті: об’єм паливного бака, об’єм басейна, об’єм класної кімнати, показники споживання газу або води на лічильниках тощо.

Досвід підказує вам, що однакові ємності мають рівні об’єми. Наприклад, однакові бочки мають рівні об’єми.

Якщо ємність поділити на кілька частин, то об’єм усієї ємності дорівнюватиме сумі об’ємів її частин. Наприклад, об’єм двокамерного холодильника дорівнює сумі об’ємів його камер.

Ці приклади ілюструють такі властивості об’єму фігури.

Рівні фігури мають рівні об’єми.

2) Об’єм фігури дорівнює сумі об’ємів фігур, з яких вона складається.

Як і у випадках з іншими величинами (довжина, площа), треба ввести одиницю виміру об’єму.

За одиницю виміру об’єму беруть куб, ребро якого дорівнює одиничному відрізку. Такий куб називають одиничним.

Об’єм куба зі стороною 1 мм називають кубічним міліметром. Пишуть: 1 мм3.

Об’єм куба зі стороною 1 см називають кубічним сантиметром. Пишуть: 1 см3.

Об’єм куба зі стороною 1 дм називають кубічним дециметром. Пишуть: 1 дм3.

При вимірюванні об’ємів рідин і газів 1 дм3 називають літром. Пишуть: 1 л. Отже, 1 л = 1 дм3.

Об’єм куба зі стороною 1 м називають кубічним метром. Пишуть: 1 м3.

Об’єм куба зі стороною 1 км називають кубічним кілометром. Пишуть: 1 км3.

Виміряти об’єм фігури – це означає підрахувати, скільки одиничних кубів у ній вміщується.

Якщо об’єм червоного кубика (рис. 174) взяти за одиницю, то об’єми фігур, наведених на рисунку 173, а-г, відповідно дорівнюють 5, 5, 18 і 9 кубічних одиниць.

Рис. 174

Рис. 175

Якщо довжина, ширина та висота прямокутного паралелепіпеда відповідно дорівнюють 5 см, 6 см, 4 см, то цей паралелепіпед можна розбити на 5 ∙ 6 ∙ 4 одиничних кубів (рис. 175). Тому його об’єм дорівнює 5∙6∙4 =120 (см3).

Міркуючи аналогічно, доходимо висновку, що коли довжина, ширина і висота прямокутного паралелепіпеда відповідно дорівнюють а, b і с одиничним відрізкам, то цей паралелепіпед можна розбити на а ∙ b ∙ с одиничних кубів. А тому його об’єм дорівнює abc кубічних одиниць.

Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку трьох його вимірів:

V = аbс,

Де V – об’єм паралелепіпеда, а, b і с – його виміри, виражені в одних і тих самих одиницях.

Оскільки у куба всі ребра рівні, то його об’єм обчислюють за формулою

V = a3,

Де V – об’єм куба, а – довжина його ребра. Саме тому третій степінь числа називають кубом числа.

Добуток довжини а і ширини b прямокутного паралелепіпеда дорівнює площі S його основи: S = ab (рис. 176). Позначимо висоту паралелепіпеда буквою h. Тоді об’єм V прямокутного паралелепіпеда дорівнює V = abh. Звідси

V = abh = (ab) h = Sh.

Отже, ми отримали ще одну формулу для обчислення об’єму паралелепіпеда:

V = Sh

Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку площі основи на висоту.

ПРИКЛАД Яка висота бака, що має форму прямокутного паралелепіпеда, якщо його об’єм становить 324 дм3, а площа денця – 54 дм2?

Розв’язання. Із формули V = Sh випливає, що h = V : S. Тоді шукану висоту h бака можна обчислити так: h = 324 : 54 = 6 (дм).

Відповідь: 6 дм.

Рис. 176

Розв’язуємо усно

1. Заповніть пропуски в ланцюжку обчислень:

2. Скільки потрібно використати кубиків з ребром 1 см, щоб скласти кубик з ребром 2 см?

3. Скільки сантиметрів дроту необхідно для виготовлення дротяного каркаса прямокутного паралелепіпеда, виміри якого дорівнюють 3 см, 5 см і 6 см?

4. Розставте замість зірочок знаки ” + ” і “-” так, щоб запис 20 * 30 * 10 * 80 * 70 = 50 став правильною рівністю.

Вправи

622.° 1) Скільки сантиметрів в одному дециметрі? квадратних сантиметрів в одному квадратному дециметрі? кубічних сантиметрів в одному кубічному дециметрі?

2) Скільки сантиметрів в одному метрі? квадратних сантиметрів в одному квадратному метрі? кубічних сантиметрів в одному кубічному метрі?

Рис. 177

623.° Фігури, зображені на рисунку 177, складено з кубиків, ребра яких дорівнюють 1 см. Знайдіть об’єм кожної фігури.

624.° Обчисліть об’єм прямокутного паралелепіпеда, виміри якого дорівнюють 12 м, 15 м і 6 м.

625.° Знайдіть об’єм куба, ребро якого дорівнює 6 см.

626.° Чому дорівнює об’єм прямокутного паралелепіпеда з вимірами 10 дм, 8 дм і 4 дм?

627.° Виразіть:

1) у кубічних міліметрах: 7 см3; 38 см3; 12 см3 243 мм3; 42 см3 68 мм3; 54 см3 4 мм3; 1 дм3 20 мм3; 18 дм3 172 см3; 35 дм3 67 см3 96 мм3;

2) у кубічних дециметрах: 4 м3; 264 м3; 10 м3 857 дм3; 28 м3 2 дм3; 44 000 см3; 5 430 000 см3.

628.° Виразіть у кубічних сантиметрах: 8 дм3; 62 дм3; 378 000 мм3; 520 000 мм3; 78 дм3 325 см3; 56 дм314 см3; 8м34 дм3 6 см3.

629.° Ширина прямокутного паралелепіпеда дорівнює

15 дм, довжина на 3 дм більша за ширину, а висота у 3 рази менша від довжини. Знайдіть об’єм даного паралелепіпеда.

630.° Висота прямокутного паралелепіпеда дорівнює 20 см, що на 4 см менше від його довжини і в 5 разів більше за його ширину. Обчисліть об’єм даного паралелепіпеда.

631.° Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює 560 см3, довжина – 14 см, ширина – 8 см. Знайдіть висоту даного паралелепіпеда.

632.° Довжина прямокутного паралелепіпеда дорівнює

18 см, висота – 15 см, а об’єм – 3240 см3. Знайдіть ширину даного паралелепіпеда.

633.° Об’єм кімнати, яка має форму прямокутного паралелепіпеда, дорівнює 144 м3, а висота – 4 м. Знайдіть площу підлоги кімнати.

634.° Площа підлоги спортивного залу, який має форму прямокутного паралелепіпеда, дорівнює 192 м2, а його об’єм – 960 м3. Знайдіть висоту спортивного залу.

635°Знайдіть об’єм фігури, зображеної на рисунку 178 (розміри дано в сантиметрах).

Рис. 178

Рис. 179

636.° Знайдіть об’єм фігури, зображеної на рисунку 179 (розміри дано в сантиметрах).

637.° Ребро куба, виготовленого з цинку, дорівнює 4 см. Знайдіть масу куба, якщо маса 1 см3 цинку становить 7 г.

638.° Знайко сконструював машину, що за 8 год може викопати траншею, яка має форму прямокутного паралелепіпеда і довжина якої дорівнює 150 м, глибина – 80 см, а ширина – 60 см. Скільки кубометрів землі викопує ця машина за 1 год? Роботу скількох коротунів виконує ця машина, якщо за 8 год один коротун може викопати 240 дм3 землі?

639.°° Куб і прямокутний паралелепіпед мають рівні об’єми. Знайдіть площу поверхні куба, якщо довжина прямокутного паралелепіпеда дорівнює 12 см, що у 2 рази більше за ширину і в 4 рази більше за висоту паралелепіпеда.

640.°° Ребро одного куба в 4 рази більше за ребро другого. У скільки разів: 1) площа поверхні першого куба більша за площу поверхні другого; 2) об’єм першого куба більший за об’єм другого?

641.°°Як зміниться об’єм прямокутного паралелепіпеда, якщо:

1) довжину збільшити в 4 рази, ширину – у 2 рази, висоту – у 5 разів;

2) ширину зменшити в 4 рази, висоту – у 2 рази, а довжину збільшити в 16 разів?

642.°°Як зміниться об’єм прямокутного паралелепіпеда, якщо:

1) кожний вимір збільшити у 2 рази;

2) довжину зменшити в 3 рази, висоту – у 5 разів, а ширину збільшити в 15 разів?

643.°°У басейн, площа дна якого дорівнює 1 га, налили 1 000 000 л води. Чи можна в цьому басейні провести змагання з плавання?

644.°°У кубі, ребро якого дорівнює 3 см, зробили три наскрізних квадратних отвори зі стороною 1 см (рис. 180). Знайдіть об’єм частини, що залишилась.

645.° Розміри куска мила, що має форму прямокутного паралелепіпеда, дорівнюють 12 см, 6 см і 4 см. Щодня витрачають однакову масу мила. Через 14 днів усі розміри куска мила зменшились у 2 рази. На скільки днів вистачить куска мила, що залишився?

Рис. 180

Вправи для повторення

646. З одного міста одночасно в протилежних напрямах виїхали автобус і вантажівка. Через 4 год після початку руху відстань між ними становила 528 км. Швидкість руху автобуса 58 км/год. З якою швидкістю рухалась вантажівка?

647. Із двох населених пунктів, відстань між якими дорівнює 54 км, одночасно виїхали назустріч один одному два велосипедисти і зустрілися через 2 год після початку руху. Швидкість руху першого велосипедиста становила 12 км/год. З якою швидкістю рухався другий велосипедист?

648. Знайдіть значення виразу:

1) 7а + 7b, якщо а + b = 14;

2) m ∙ 17 + n ∙ 17, якщо m + n = 1000;

3) k ∙ 9 + 9l, якщо k + l = 12;

4) 4c – 4d, якщо c – d = 125;

5) x ∙ 23 – 23у, якщо x – у = 4;

6) 56p – r ∙ 56, якщо p – r = 11.

Задача від Мудрої Сови

649. У записі одного трицифрового числа використано тільки цифри 2 і 3, а в записі другого – тільки цифри 3 і 4. Чи може добуток цих чисел бути записаним тільки цифрами 2 і 4?