Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х
УРОК 18
Тема. Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х
Мета уроку: вивчення властивостей обернених тригонометричних функцій: у = arcsin х, у = arccos х.
І. Перевірка домашнього завдання
Математичний диктант.
Закінчіть математичні твердження:
1. Функція, яка набуває кожного свого значення в єдиній точці області визначення називається…
2. Оберненою до функцій у = х + 3 є функція…
3. Оберненою до функцій у = 
є функція…
4. Оберненою до функцій у = х2, х > 0 є функція…
5. Графіки даної
6. Якщо дана функція у = f(x) – зростаюча, то обернена до неї функція…
7. Область визначення функції у = f(x), для оберненої функції буде областю…
8. Область значень функції у == f(x) для оберненої функції буде областю…
Відповідь: 1. оборотною. 2. у = х – 3. 3. у = х2 + 1, х
[0; +
). 4. у =
. 5. відносно прямої у = х. 6. зростаюча. 7. значень. 8. визначення.
II. Сприймання і усвідомлення поняття arcsin? і властивостей функції у = arcsin х
Як ви знаєте, функція у = sin х зростає на проміжку 
і приймає
1 на проміжку має єдиний корінь, який називається арксинусом числа а і позначається arcsin a.Арксинусом числа а називається таке число із проміжку Синус якого дорівнює а.
Приклад 1. Знайдемо arcsin 
.
Arcsin = 
, бо sin = і .
Приклад 2. Знайдемо arcsin 
Arcsin = 
, бо sin 
= 
і .
Виконання вправ________________________
1. Обчисліть:
A) arcsin 0; б) arcsin 1; в) arcsin (-1); г) arcsin 
; д) arcsin 
; є) arcsin 
Відповідь: a) 0; б) 
; в) –; г) 
; д) –; e) – .
2. Які із поданих виразів мають смисл і чому:
A) arcsin 
; б) arcsin 1,5; в) arcsin?; г) arcsin 
; д) arcsin 
?
Відповідь: а); г); д).
3. Знайдіть:
А) arcsin 
; б) sin 
.
Відповідь: а) 
; б) 
.
Оскільки кожному значенню х [-1; 1] можна поставити у відповідність єдине значення arcsin x, то можна говорити, що існує функція у = arcsin х.
Графік функції у = arcsin х одержимо із графіка функції у = sin х, х перетворенням симетрії відносно прямої у = х (рис. 110). Розглянемо властивості функції у = arcsin х.
1. D(y) = [-1; 1].
2. Е(у) = .
3. Графік симетричний відносно початку координат (функція непарна) arcsin (-х) = – arcsin х.
4. Функція зростаюча. Якщо х1 > х2 то arcsin х1 > arcsin х2
5. у = 0, якщо х = 0.
6. уmах = y(1) = , ymіn = y(-1) = –.
Виконання вправ
1. Порівняйте числа:
A) arcsin 0,3 і arcsin 0,2;
Б) arcsin 0,3 і arcsin (-0,3);
В) arcsin 
і arcsin 
.
Відповідь: a) arcsin 0,3 > arcsin 0,2;
Б) arcsin 0,3 > arcsin (-0,3);
В) arcsin < arcsin .
2. Розташуйте в порядку зростання:
A) arcsin 0,4; arcsin 0,2; arcsin 0,8;
Б) arcsin (-0,1); arcsin (-0,2); arcsin (-0,3);
В) arcsin; arcsin (-0,3); arcsin 0,9.
Відповідь: a) arcsin 0,2; arcsin 0,4; arcsin 0,8;
Б) arcsin (-0,3); arcsin (-0,2); arcsin (-0,1);
В) arcsin (-0,3); arcsin ; arcsin 0,9.
3. Знайдіть область визначення функцій:
А) у = arcsin (х + 1);
Б) у = arcsin (х2 – 1);
В) у = arcsin 
;
Г) у = arcsin 5х.
Відповідь: а) х[-2; 0]; б) х[- 
; ]; в) х(-; 0] U [2; +); г) х[-0,2; 0,2].
4. Знайдіть область значень функцій:
А) у = arcsin ; б) у = arcsin 
.
Відповідь: а) у
; б) у
.
5. Побудуйте графіки функцій:
А) у = arcsin (х – 1); б) y = + arcsin х ; в) у = arcsin | х |; г) у = | arcsin х |.
Відповідь: а) рис. 111; б) рис. 112; в) рис. 113; г)рис. 114.
III. Сприймання і усвідомлення поняття arccos a і властивостей функції у = arccos x
Функція у = cos x спадає на відрізку [0; ?] і приймає всі значення від -1 до 1, тому рівняння cos x = а, |а| < 1 на проміжку [0; ?] має єдиний корінь, який називається арккосинусом числа а і позначається arccos a.
Арккосинусом числа а називається таке число з проміжку [0; ?], косинус якого дорівнює а.
Приклад 1. Знайдіть arccos .
Arccos = , бо cos = i [0;?].
Приклад 2. Знайдіть arccos .
Arccos = 
, бо cos = – і [0;?].
Виконання вправ______________________________
1. Обчисліть:
A) arccos 
; б) arccos ; в) arccos 0; r) arccos (-1); д) arccos 1; є) arccos .
Відповідь: a) ; б) ; в) ; г) ?; д) 0; є) 
.
2. Які з поданих виразів мають смисл і чому:
A) arccos ; б) arccos 
; в) arccos 
; г) arccos 
; д) arccos 
; є) arccos ?
Відповідь: б); д); е).
3. Знайдіть:
A) arccos 
; б) arccos
; в) cos (arccos (-1)).
Відповідь: a) ; б) ; в)-1.
Аналогічно можна говорити про функцію у = arccos x. Графік функції у = arccos x одержимо із графіка функції у = cos x, x[0; ?] перетворенням симетрії відносно прямої у = х (рис. 115).
Розглянемо властивості функції у = arccos х.
1. D(y) = [-1; 1].
2. Е(y) = [0;?].
3. Графік не симетричний ні відносно початку координат, ні відносно осі OY. arccos (-х) = ? – arccos х.
4. Функція спадна. Якщо х1 > х2 то arccos х1 < arccos х2.
5. у = 0, якщо х = 1.
6. уmах = y(-1) = ?, ymіn = y(1) = 0.
Виконання вправ
1. Порівняйте числа:
A) arccos 0,1 і arccos 0,2; б) arccos 0,1 і arccos (-0,1); в) arccos (-0,2) і arccos (-0,3).
Відповідь: a) arccos 0,1 > arccos 0,2; б) arccos 0,1 < arccos (-0,1); в) arccos (-0,2) < arccos (-0,3).
2. Розташуйте числа в порядку зростання:
A) arccos 0,55; arccos 0,7; arccos 0,1;
Б) arccos (-0,3); arccos (-0,7); arccos (-0,9);
В) arccos ; arccos (-0,3); arccos (-0,7).
Відповідь: a) arccos 0,7; arccos 0,55; arccos 0,1; б) arccos (-0,3); arccos (-0,7); arccos (-0,9); в) arccos ; arccos (-0,3); arccos (-0,7).
3. Знайдіть область визначення функцій:
А) у = arccos (х – 1); б) у = arccos 2x; в) у = arccos (х2 + 1); г) у = arccos (|х| – 1).
Відповідь: а) х[0; 2]; б) х[-0,5; 0,5]; в) х{0}; г) х[-2; 2].
4. Знайдіть область значень функцій: а) у = arccos |х|; б) у = arccos (-|х|).
Відповідь: а) у; б) у
.
5. Побудуйте графіки функцій:
А) у = arccos(x – 1) – ; б) у = arccos | х | – ; в) у = ¦arccos х – ¦; г) у = ¦arccos | х | – ¦.
Відповідь: а) рис. 116; б) рис. 117; в) рис. 118; г) рис. 119.
IV. Підведення підсумку уроку
V. Домашнє завдання
Розділ II § 1 (2; 3). Запитання і завдання для повторення розділу II № 6; 7; 9; 10; 11; 12 (1, 2, 5, 6, 7, 8).