Головна ⇒ 📌Математика ⇒ РІВНОБЕДРЕНИЙ ТРИКУТНИК

РІВНОБЕДРЕНИЙ ТРИКУТНИК

РОЗДІЛ 3 ТРИКУТНИКИ

& 13. РІВНОБЕДРЕНИЙ ТРИКУТНИК

Трикутник називають рівнобедреним, якщо в нього дві сторони рівні. Рівні сторони рівнобедреного трикутника навивають бічними сторонами, а третю його сторону – основою.

Трикутник, який не є рівнобедреним, називають різностороннім. Трикутник, у якого всі сторони рівні, називають рівностороннім. Рівносторонній трикутник є окремим видом рівнобедреного трикутника (мал. 166).

Рівнобедрений трикутник

Різносторонній

трикутник

Рівносторонній трикутник

Мал. 166

Теорема 12 У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні.

Доведення. Нехай ABC – рівнобедреник трикутник з основою ВС (мал. 167). Проведемо бісектрису AL, яка розіб’є його на трикутники ABL і ACL. Оскільки АВ = АС, AL – спільна сторона, ∠BAL = ∠CAL, то за двома сторонами і кутом між ними ∆АВL = ∆АСL. Із рівності цих трикутників випливає, що ∠B = ∠C, тобто кути при основі трикутника ABC – рівні.

Мал. 167

Теорема 13 У рівнобедреному трикутнику бісектриса, проведена до основи, є медіаною і висотою.

Доведення.

Нехай ABC – рівнобедрений трикутник з основою ВС (мал. 167). Проведемо бісектрису AL яка розіб’є його на трикутники ABL і ACL. Оскільки AB = АС, AL – спільна сторона, ∠BAL = ∠CAL, то за двома сторонами і кутом між ними ∆ABL = ∆ACL. Iз рівності цих трикутників випливає, що:

А) BL = CL, тобто AL – медіана трикутника ABC;

Б) ∠ALB = ∠ALC = 90°, тобто AL – висота трикутника ABC.

Для того щоб з усіх трикутників можна було відшукати рівнобедрені, використовують ознаки рівнобедреного трикутника, наведені в теоремах 14-17.

Теорема 14 якщо в трикутнику два кути рівні, то він – рівнобедрений.

Доведення. Нехай у трикутника ABC ∠В = ∠C (див. мал. 168). Доведемо, що АВ = АС. Проведемо бісектрису AL. Вона розбиває даний трикутник на два: ∆ABL і ∆АСL. У них АВ = ∠C і ∠BAL = ∠CAL, тому ∠ALB = ∠ALС. За стороною AL і прилеглими до неї кутами ∆BAL = A∆CAL. Отже, АВ =АС.

Із теорем 12 і 14 випливає такий наслідок.

Hаcлідoк У трикутнику проти рівних сторін лежать рівні кути, а проти рівних кутів – рівні сторони.

Теорема 16 Якщо медіана трикутника є його висотою, то цей трикутник – рівнобедрений.

Доведення. Нехай у ∆АВС відрізок AL – медіана і висота (див. мал. 168). Доведемо, що цей трикутник – рівнобедрений.

Розглянемо ∆ABL і ∆АСІ.

Якщо AL – медіана, то BL = CL. Якщо AL – висота, то ∠ALB = ∠ALC = = 90°. AL – спільна сторона цих трикутників. Тоді ∆AВL = ∆ACL за двома сторонами і кутом між ними.

Із рівності цих трикутників випливає, що АВ = АС. Отже, ∆АВС – рівнобедрений.

Maл. 168

Maл. 169

Теорема 16 Якщо бісектриса трикутника є ного висотою, то цен трикутник – рівнобедрений.

Доведіть цю теорему самостійно.

Теорема 17 Якщо медіана трикутника є його бісектрисою, то цей трикутник – рівнобедрений.

Доведення. Нехай ВМ – медіана і бісектриса трикутника АВС (мал.169), тобто AM = МС і ∠1 = ∠2.

Доведемо, що AABC – рівнобедрений.

На промені ВМ відкладемо відрізок МІГ, який дорівнює відрізку ВМ. Розглянемо трикутники AMК і СМВ. Ці трикутники рівні за двома сторонами і кутом між ними, бо AM = CM за умовою, МК = MB за побудовою, ∠3 = ∠4як вертикальні. Із рівності цих трикутників слідує, що АК = СВ і ∠5 = ∠2. А оскільки ∠2 = ∠1, то ∠5 = ∠1. Значить, ∆КАВ – рівнобедрений, тобто АК = АВ. Але за доведеним АК = СВ. Тоді АВ = СВ. Отже, ∆АВО – рівнобедрений.

Для допитливих

Як співвідносяться між собою трикутники і рівнобедрені трикутники? Рівнобедрені трикутники становлять тільки частину всіх трикутників. Говорять, що поняття трикутники ширше, ніж поняття рівнобедрені трикутники. Такі співвідношення прийнято зображати наочно діаграмами Ейлера (мал. 170).

Трикутники, які не є рівнобедреними, називають різносторонніми трикутниками. Отже, загальне поняття трикутники можна розбити на два класи: рівнобедрені трикутники і різносторонні трикутники (мал. 171). Рівносторонні трикутники – окремий вид рівнобедрених трикутників.

Мал. 170

Мал. 171

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Який трикутник називають рівнобедреним?

2. Як називають сторони рівнобедреного трикутника?

3. Сформулюйте і доведіть властивості рівнобедреного трикутника,

4. Сформулюйте і доведіть ознаки рівнобедреного трикутника.

5. Який трикутник називають рівностороннім?

6. Як співвідносяться поняття трикутники і рівнобедрені трикутники?

Виконаємо разом

1. Дві сторони рівнобедреного трикутника мають довжини 2 см і 6 см. Знайдіть довжину третьої його сторони.

– Основа даного трикутника не може дорівнювати 6 см, бо 2 см + 2 см < 6 см. Отже, йдеться про трикутник з основою 2 см і бічними сторонами по 6 см.

2. Покажіть на діаграмі співвідношення між поняттями: трикутники, рівнобедрені трикутники і рівносторонні трикутники.

Рівносторонній трикутник є водночас і рівнобедреним трикутником. Отже, співвідношення між названими видами трикутників можна зобразити схемою, як на малюнку 172.

Мал. 172

ЗАДАЧІ І ВПРАВИ

Виконайте усно

380. Доведіть, що кут при основі рівнобедреного трикутника не може бути прямим.

381. Кут при вершиш рівнобедреного трикутника дорівнює 120°. Знайдіть кут при основі.

382. Знайдіть кути рівнобедреного трикутника, якщо кут при його вершині дорівнює куту при основі.

383. Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює 70°. Знайдіть кут при вершині.

381. Сторони рівнобедреного трикутника дорівнюють 5 см і 10 см. Яка з них – основа?

385. Знайдіть периметр рівнобедреного трикутника, якщо його основа дорівнює 10 см, а бічна сторона – 20 см.

386. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 15 см, а бічна сторона – 26 см. Знайдіть периметр трикутника.

387. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 12 см, а бічна сторона – 5 см. Знайдіть основу.

388. Знайдіть кути рівнобедреного трикутника, якщо: а) кут при вершині трикутника дорівнює 80°; б) кут при основі трикутника дорівнює 30°.

389. Знайдіть: а) периметр рівнобедреного трикутника з основою а і бічною стороною b; б) основу рівнобедреного трикутника, якщо його периметр дорівнює 2р, а бічна сторона – b; в) бічну сторону рівнобедреного трикутника, якщо його периметр дорівнює 2р, а основа – а.

390. Знайдіть кути рівнобедреного трикутника, якщо:

А) один із них на 30° більший за інший;

Б) один із них удвічі більший за інший.

Розгляньте два випадки.

391. Доведіть, що якщо який-небудь кут рівнобедреного трикутника дорівнює 60°, то цей трикутник рівносторонній.

392. Доведіть, що в рівносторонньому трикутнику всі кути рівні.

393. Кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 80°. Знайдіть кут між:

А) основою і бісектрисою, проведеною до бічної сторони;

Б) бічною стороною і бісектрисою, проведеною до неї;

В) основою і висотою, проведеною до бічної сторони.

394. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 50 см. Знайдіть його сторони, якщо вони пропорційні числам:

А) 1, 2 і 2;

Б) 3, 3 і 4.

395. Кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 30°. Знайдіть кут між висотами, проведеними до бічних сторін.

396. О – точка перетину бісектрис AL і СР рівнобедреного трикутника ABC (АВ = ВС). Доведіть, що ∆АОС – рівнобедреник. Знайдіть ∠AOC, якщо ∠В = 40°.

397. M – точка перетину. медіан AF і СК рівнобедреного трикутника ABC (АВ = ВС). Доведіть” що АР = СК і AM = МС.

398. У трикутнику ABC АВ = ВС, ∠В = 36°, АК – бісектриса. Доведіть, що ВК = КА = АС.

399. У трикутнику ABC медіана BD е його висотою. Знайдіть довжину BD, якщо периметри трикутників ABD і ABC дорівнюють відповідно 40 см і 50 см.

400. Доведіть, що в кожному рівнобедреному трикутнику бісектриси, проведені до бічних сторін” рівні.

401. Рівні відрізки АВ і CD перетинаються в точці М так, що AМ = MD. Доведіть, що ∆АВС = ∆DCB.

402. Знайдіть сторони рівнобедреного трикутника, якщо одна з них менша від периметра на 30 см, а друга – на 40 см.

403. Доведіть, що сума двох нерівних кутів рівнобедреного трикутника перевищує 90°.

404. Знайдіть кути рівнобедреного трикутника, якщо:

А) сума двох із них дорівнює 60°;

Б) сума двох із них дорівнює 150°;

В) один із його зовнішніх кутів дорівнює 15°;

Г) один із його зовнішніх кутів дорівнює 115°.

405. Сформулюйте і доведіть ознаки рівності рівнобедрених трикутників: я) за основою і прилеглим кутом;

Б) за основою і протилежним кутом;

В) за бічною стороною і кутом при основі.

406. Пряма, перпендикулярна до бісектриси кута В, перетинає його сторони в точках А і С. Визначте вид трикутника ABC та знайдіть його кути, якщо: a) ∠В = 80°; б) ∠B = 60°.

407. На стороні ВС трикутника ABC взято точку М так, що ∠ВАМ = 60°, ∠АМС = 120°. Знайдіть периметр трикутника ABM, якщо AM = а. Доведіть, що AM ⏊ BL, де BL – бісектриса трикутника ABC.

408. Доведіть, що в рівносторонньому трикутнику:

А) усі медіани рівні;

Б) усі висоти рівні;

В) усі бісектриси рівні.

409. Покажіть, що рівносторонній трикутник можна розрізані на 4 рівні рівносторонні трикутники”

410. Як можна розрізати рівносторонній трикутник натри рівні рівнобедрені трикутники?

411. Як розташовані вершини всіх рівнобедрених трикутників, що мають спільну основу (мал. 173)?

412. Приклавши один до одного два рівнобедрені трикутники, кожен з яких має кут 100°, утворили чотирикутник. Визначте кути чотирикутника.

Мал. 173

Практичне завдання

413. Виріжте з паперу гострокутний, прямокутний і тупокутний рівнобедрені трикутники. Перегинаючи їх по бісектрисі кута при вершині, повторіть доведення теорем 12 та 13.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

414. Знайдіть міру кута, якщо його бісектриса зі стороною утворює кут 48°.

415. Знайдіть міри двох суміжних кутів, якщо вони відносяться як: а) 1 : 2; б) 2 : 3.

416. Знайдіть периметр прямокутника, якщо одна з його сторін дорівнює 5 см, а площа – 20 см2.

417. Середнє арифметичне всіх сторін трикутника дорівнює 10 дм. Чому дорівнює його периметр?

418. Перемалюйте в зошит фігуру, що на малюнку 174, і проведіть пряму так, щоб вона розрізала зафарбовану фігуру на дві частини з рівними площами.