Головна ⇒ 📌Математика ⇒ РОЗПОДІЛЬНИЙ ЗАКОН

РОЗПОДІЛЬНИЙ ЗАКОН

РОЗДІЛ 3 ДІЇ ДРУГОГО СТУПЕНЯ З НАТУРАЛЬНИМИ ЧИСЛАМИ

§ 12. РОЗПОДІЛЬНИЙ ЗАКОН

Вирази, що містять дії додавання та множення, можна групувати по-різному. Розглянемо приклад.

Задача 1. У кожному відділенні свого ранця Андрій знайшов по 10-копійковій і 5-копійковій монетці. Яку суму грошей знайшов Андрій, якщо у ранці 3 відділення?

Розв’язання. Розв’язати задачу можна двома способами. Для цього треба скласти або вираз (10 + 5) ∙ 3, або вираз 10 ∙ 3 + 5 ∙ 3. (Поясніть, як саме міркували, щоб скласти ці вирази за умовою задачі.) Обчисливши значення

будь-якого із цих виразів, дістанемо, що Андрій знайшов у ранці 45 к.

Розв’язуючи задачу, ми побачили, що значення отриманих виразів рівні:

(10 + 5) ∙ 3 = 10 ∙ 3 + 5 ∙ 3.

Виходить, що при множенні суми на число можна помножити на це число кожний доданок, а потім результати додати. Така властивість справджується для будь-яких чисел. Її називають розподільним законом множення відносно додавання.

Розподільний закон множення відносно додавання. Добуток суми і числа дорівнює сумі добутків кожного доданка і цього числа.

(а + b) ∙ с = а∙ с + b ∙ с

? Чому дорівнює добуток різниці двох чисел і третього числа? Різниці

добутків зменшуваного і даного числа та від’ємника і даного числа:

(а – b) ∙ с = а ∙ с – b ∙ с.

Розподільний закон множення також використовують для спрощення буквених виразів.

Задача 2. Спростіть вираз 3 ∙ (12 + m).

Розв’язання.

Застосувавши розподільний закон, перетворимо добуток у суму:

3 ∙ (12 + m) = 3 ∙ 12 + 3 ∙ m = 36 + 3m.

Розв’язуючи задачу, ми перетворили вираз із дужками 3 ∙ (12 + m) у вираз без дужок 3 ∙ 12 + 3 ∙ m. Таке перетворення добутку в суму (або в різницю) називають розкриттям дужок. Обернена до нього дія називається винесенням множника за дужки.

3адача 3 . Винесіть множник за дужки:

1) 5с-25d;

2) 5а + 3а;

3) 2n + 5nm.

Розв’язання.

1) У виразі 5с – 25d спільним є числовий множник 5. Застосувавши розподільний закон, винесемо його за дужки:

5с – 25d = 5с – 5 ∙ 5d = 5(c – 5d).

2) У виразі 5а + За спільними є буквений множник а. Винесемо його за дужки:

5а + 3а = а ∙ (5 + 3) = а ∙ 8 = 8а.

3) У виразі 2n + 5nm спільним є буквений множник n. Винесемо його за дужки:

2n + 5nm = n (2 + 5m).

Ви знаєте, як у стовпчик помножити багатоцифрове число на одноцифрове. Проте існує ще один спосіб розв’язування такого завдання, який спирається на розподільний закон множення. Наприклад,

425 ∙ 8 = (400 + 20 + 5) ∙ 8 = 400 ∙ 8 + 20 ∙ 8 + 5 ∙ 8 = 3200 + 160 + 40 = 3400.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

438. Обчисліть усно, застосовуючи розподільний закон:

1) 7 ∙ 23 + 3 ∙ 23; 3)17 ∙ 28 – 7 ∙ 28;

2) 12 ∙ 14+12 ∙ 16; 4)21 ∙25 – 21 ∙ 20.

439. Обчисліть усно, застосовуючи розподільний закон:

1)21∙4; 2)56∙2; 3)48∙3; 4)25∙4.

440. Спростіть вираз:

1)11а+10а; 3)6n+15; 5) 25р – 10р+ 15р;

2) 14с-12с; 4)12m + m; 6)8k+10k-k.

441. Спростіть вираз:

1) 5b + 9b; 2)17d-4d; 3)n + 12 n; 4)3k-k+7k.

442. Розкрийте дужки:

1)5 ∙ (а+11); 4) (n-m) ∙ 15р;

2)c ∙ (7-12d); 5)3∙ (5p + k + 6t);

3)6 ∙ (2n + m); 6) (2p-4k + 6t) ∙ 2а.

443. Розкрийте дужки:

1)5 ∙ (x + 11); 3) (4с + d) ∙ 8y;

2)2∙ (12n-m); 4) 6 ∙ (p + 3k – 9t).

До появи дужок у математичних творах ставили риски над виразом, якого вони стосувались, або ж під ним. У 1550 р. італійський математик Р. Бомбеллі почав використовувати квадратні дужки, правда, писав замість дужок літеру L і перевернуту L. Круглі дужки з’явились у XVI ст. у працях німецького математика М. Штифеля, італійського математика М. Тартальї та інших. Назва “дужки” походить від німецького терміна”klammer”, який увів Л. Ейлер у 1770 році.

444. Винесіть спільний множник за дужки:

1)11а+11b; 3)6n + 15m; 5) 5р+ 10k+ 15t;

2)4c+12d; 4)12n+18m; 6) 8р + 10k + 6t.

445. Винесіть спільний множник за дужки:

1) 9а + 9b; 2)7с+14d?; 3)18n + 12m; 4)3р + 9k + 27t.

446 Чи правий був Сергійко, який стверджував, що може знайти, не виконуючи множення, на скільки 265 ∙ 28 менше, ніж 265 ∙ 38? Відповідь поясніть.

447. Обчисліть зручним способом:

1) 345 ∙ 73 + 23 ∙ 25 + 345 ∙ 27 + 77∙25;

2) 32 ∙ 65 – 65 ∙ 29 + 29 ∙ 62 – 62 ∙ 26 + 26 ∙ 59 – 59 ∙ 23 + 23∙56∙56∙20+ 20∙53∙53∙17 + 17∙50-50∙14.

448. Обчисліть зручним способом:

1) 162∙54+12∙18 + 88∙18+ 162∙46;

2) 15 ∙ 34-15∙14+10∙25-15 ∙ 10+10 ∙ 75.

449. Знайдіть значення виразу:

1) 5а + 56, якщо а + 6 = 28;

2) 2с – 6d, якщо с – 3d = 25;

3) x ∙11 + у ∙ 11, якщо х + у= 17;

4) 10m – 15n, якщо 2m – 3n = 20.

450. Що потрібно поставити замість зірочок, щоб отримати правильні рівності?

1)7 ∙ (5 + 8) = 7∙ * + * ∙ 8; 2) * ∙ (12-5) = *∙ 15.

451. Що потрібно поставити замість зірочок, щоб отримати правильні рівності?

1) (*-*)∙ 11 = 88 – 66m; 2) (15 + *) ∙4 = * + 4а.

452. Знайдіть помилку в розв’язанні:

1)5∙(а + 2) + 7∙ (а + 10) = 5a + 2 + 7a+ 10=12а +12;

2)4∙(6 + 3) + 2∙ (8- b) = 4b+ 12+ 16 + 2b = 6b + 28.

453. Спростіть вираз:

1) 4 ∙ (7 + а) + 5 ∙ (а + 6);

2) (5 + у) ∙ 7 + (6 – у) ∙ 4;

3) 4 ∙ (2с + d) + 8 ∙ (c + d);

4) (m + 5) ∙ 3 + 8 ∙ (3m + 2) + 5 ∙ (2m – 5).

454. Поясніть наступний цікавий спосіб множення чисел, менших за 20. Розглянемо, наприклад, знаходження добутку чисел 17 і 18.

1) 17+8=25; 2)25∙10 = 250; 3)7∙8 = 56; 4)250 + 56 = 306. Отже, 17 ∙ 18 = 306.

455. Знайдіть помилку в міркуваннях:

“Розглянемо правильну числову рівність:

35+10 – 45 = 42 + 12 – 54.

Застосуємо розподільний закон: 5 ∙ (7 + 2 – 9) = 6 ∙ (7 + 2 – 9).

Поділимо обидві частини цієї рівності на множник (7 + 2 – 9). Отримаємо: 5 = 6″.

ЗАСТОСУЙТЕ НА ПРАКТИЦІ

456. Годиннику з боєм знадобиться 30 с, щоб пробити шість годин. Скільки секунд годинник буде пробивати дванадцять годин?

457. Відомо, що дріжджові бактерії рoзмножуються з великою швидкістю, збільшуючи кількість удвічі за кожну хвилину. У пробірку помістили одну дріжджову бактерію, яка, розмножуючись, заповнила пробірку за 30 хв. За скільки хвилин заповнять пробірку дві дріжджові бактерії?

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

458. Розв’яжіть усно задачу. У 5-А класі навчаються 28 учнів, у 5-Б класі – на 6 учнів більше, ніж у 5-А, а в 5-В класі – на 4 учні менше, ніж у 5-А. Скільки учнів| навчаються в 5-х класах?

459. Обчисліть значення виразу 5а + 15 ∙ 2 + а + 2а, якщо:

1) а = 8; 2) а = 20.