Головна ⇒ 📌Довідник з математики ⇒ Системи лінійних рівнянь з двома невідомими – Системи лінійних рівнянь

Системи лінійних рівнянь з двома невідомими – Системи лінійних рівнянь

Математика – Алгебра

Системи лінійних рівнянь

Системи лінійних рівнянь з двома невідомими

Якщо треба знайти спільні розв’язки кількох рівнянь, то кажуть, що ці рівняння утворюють Систему рівнянь.
Розв’язок системи рівнянь з двома невідомими – пара значень невідомих, яка є розв’язком кожного з рівнянь системи.
Розв’язати систему рівнянь означає знайти всі її розв’язки або довести, що їх немає.

Графічний спосіб розв’язування систем лінійних рівнянь

Щоб розв’язати систему рівнянь графічно,

треба побудувати в одній системі координат графіки рівнянь системи й знайти їхні спільні точки. Координати цих точок і є розв’язками системи рівнянь.
Виходячи з того, що графіком лінійного рівняння є пряма, робимо висновок, що система двох лінійних рівнянь з двома невідомими може мати один розв’язок, не мати розв’язків, мати безліч розв’язків.
Приклади
Розв’яжіть графічно системи лінійних рівнянь.
1)

Системи лінійних рівнянь з двома невідомими Системи лінійних рівнянь

Визначимо точки для побудови графіків кожного з рівнянь системи:

y = 3 – x

Для рівняння y = 2x – 3
X	0	3	X	0	1
Y	3	0	Y	-3	-1

Побудуємо

графіки й знайдемо точку їх перетину (рисунок нижче).
Відповідь:

.
2)

y = 2x – 1

Для рівняння y = 2x – 3
X	0	1	X	0	1
Y	-1	1	Y	-3	-1

Побудуємо графіки (рисунок на с. 45).

Відповідь: розв’язків немає.
3)
Прямі будуть збігатися.
Відповідь: система має безліч розв’язків, котрі описуються рівнянням .

Спосіб підстановки

При розв’язуванні систем лінійних рівнянь способом підстановки треба:
1) виразити з якого-небудь рівняння системи одне невідоме через інше;
2) підставити одержаний вираз в інше рівняння системи замість цього невідомого;
3) розв’язати одержане рівняння з одним невідомим;
4) знайти відповідне значення іншого невідомого.
Приклади
1)

Відповідь: .
2)

Відповідь: .

Спосіб додавання

При розв’язуванні системи рівнянь способом додавання треба:
1) помножити обидві частини рівнянь системи на такі числа, щоб коефіцієнти при одному з невідомих стали протилежними (або рівними) числами;
2) почленно додати (або відняти) відповідно ліві й праві частини рівнянь;
3) розв’язати одержане рівняння з одним невідомим;
4) знайти відповідне значення іншого невідомого.
Приклади
1)

Відповідь: .
2)

Відповідь: .
3)

Відповідь: .
4)
Додамо та віднімемо почленно рівняння системи:

Відповідь: .