Тотожні вирази, тотожність. Тотожне перетворення виразу. Доведення тотожностей
Розділ 1. ЦІЛІ ВИРАЗИ
& 2. Тотожні вирази, тотожність. Тотожне перетворення виразу. Доведення тотожностей
Знайдемо значення виразів 2(х – 1) і 2х – 2 для деяких даних значень змінної х. Результати запишемо в таблицю:
Х | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
2(х – 1) | -10 | -8 | -6 | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 | 6 |
2х – 2 | -10 | -8 | -6 | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 | 6 |
Можна
Наприклад, тотожними є вирази 2х + 3х і 5х, бо при кожному значенні змінної х ці вирази набувають однакових значень (це випливає з розподільної властивості множення відносно додавання, оскільки 2х + 3х = 5х).
Розглянемо
3х + 2у =3 ∙ 1 + 2 ∙ 1 =5; 5ху = 5 ∙ 1 ∙ 1 = 5.
Проте можна вказати такі значення х і у, для яких значення цих виразів не будуть між собою рівними. Наприклад, якщо х = 2; у = 0, то
3х + 2у = 3 ∙ 2 + 2 ∙ 0 = 6, 5ху = 5 ∙ 20 = 0.
Отже, існують такі значення змінних, при яких відповідні значення виразів 3х + 2у і 5ху не дорівнюють одне одному. Тому вирази 3х + 2у і 5ху не є тотожно рівними.
Виходячи з вищевикладеного, тотожностями, зокрема, є рівності: 2(х – 1) = 2х – 2 та 2х + 3х = 5х.
Тотожністю є кожна рівність, якою записано відомі властивості дій над числами. Наприклад,
А + b = b + а; (а + b) + с = а + (b + с); а(b + с) = ab + ас;
Ab = bа; (аb)с = a(bc); a(b – с) = ab – ас.
Тотожностями є і такі рівності:
А + 0 = а; а ∙ 0 = 0; а ∙ (-b) = – ab;
А + (-а) = 0; а ∙ 1 = а; – а ∙ (-b) = аb.
Тотожностями також прийнято вважати правильні числові рівності, наприклад:
1 + 2 + 3 = 6; 52 + 122 = 132; 12 ∙ (7 – 6) = 3 ∙ 4.
Якщо у виразі 5х + 2х – 9 звести подібні доданки, одержимо, що 5х + 2х – 9 = 7х – 9. У такому випадку кажуть, що вираз 5х + 2х – 9 замінили тотожним йому виразом 7х – 9.
Тотожні перетворення виразів зі змінними виконують, застосовуючи властивості дій над числами. Зокрема, тотожними перетвореннями с розкриття дужок, зведення подібних доданків тощо.
Тотожні перетворення доводиться виконувати під час спрощення виразу, тобто заміни деякого виразу на тотожно рівний йому вираз, який має коротший запис.
Приклад 1. Спростити вираз:
1) -0,3m ∙ 5n;
2) 2(3х – 4) + 3(-4х + 7);
3) 2 + 5а – (а – 2b) + (3b – а).
Розв’язання.
1) -0,3 m ∙ 5n = -0,3 ∙ 5mn = -1,5mn;
2) 2(3х 4) + 3( -4 + 7) = 6X – 8 – 12х + 21 = 6x + 13;
3) 2 + 5а – (а – 2b) + (3b – а) = 2 + 5а – А + 2B + 3B – А = 3а + 5b + 2.
Щоб довести, що рівність є тотожністю (інакше кажучи, щоб довести тотожність), використовують тотожні перетворення виразів.
Довести тотожність можна одним з таких способів:
Виконати тотожні перетворення її лівої частини, тим самим звівши до вигляду правої частини; Виконати тотожні перетворення її правої частини, тим самим звівши до вигляду лівої частини; Виконати тотожні перетворення обох її частин, тим самим звівши обидві чистини до однакових виразів.
Приклад 2. Довести тотожність:
1) 2х – (х + 5) – 11 = х – 16;
2) 206 – 4а = 5(2а – 3b) – 7(2а – 5b);
3) 2(3x – 8) + 4(5x – 7) = 13(2x – 5) + 21.
Р о з в’ я з а н н я.
1) Перетворимо ліву частину даної рівності:
2х – (х + 5) – 11 = 2х – Х – 5 – 11 = х – 16.
Тотожними перетвореннями вираз у лівій частині рівності звели до вигляду правої частини і тим самим довели, що дана рівність є тотожністю.
2) Перетворимо праву частину даної рівності:
5(2а – 3b) – 7(2а – 5b) = 10а – 15B – 14а + 35B = 20b – 4а.
Тотожними перетвореннями праву частину рівності звели до вигляду лівої частини і тим самим довели, що дана рівність є тотожністю.
3) У цьому випадку зручно спростити як ліву, так і праву частини рівності та порівняти результати:
2(3х – 8) + 4(5х – 7) = 6х – 16 + 20х – 28 = 26х – 44;
13(2х – 5) + 21 = 26х – 65 + 21 = 26х – 44.
Тотожними перетвореннями ліву і праву частини рівності звели до одного й того самого вигляду: 26х – 44. Тому дана рівність є тотожністю.
Які вирази називають тотожними? Наведіть приклад тотожних виразів. Яку рівність називають тотожністю? Наведіть приклад тотожності. Що називають тотожним перетворенням виразу? Як довести тотожність?
(Усно) Чи є вирази тотожно рівними:
1) 2а + а і 3а;
2) 7х + 6 і 6 + 7х;
3) x + x + x і x3;
4) 2(х – 2) і 2х – 4;
5) m – n і n – m;
6) 2а ∙ р і 2р ∙ а?
Чи є тотожно рівними вирази:
1) 7х – 2х і 5х;
2) 5а – 4 і 4 – 5а;
3) 4m + n і n + 4m;
4) а + а і а2;
5) 3(а – 4) і 3а – 12;
6) 5m ∙ n і 5m + n?
(Усно) Чи є тотожністю рівність:
1) 2а + 106 = 12аb;
2) 7р – 1 = -1 + 7р;
3) 3(х – у) = 3х – 5у?
Розкрийте дужки:
1) 2(а – 1);
2) 7(3b + 2);
3) -(b – 3);
4) -(-5 + 4у).
Розкрийте дужки:
1) -(а – 4);
2) 3(х + 1);
3) 5(1 – 4m);
4) -(-2р + 7).
Зведіть подібні доданки:
1) 2х – х;
2) -3m + 5m;
3) -2у – 3у;
4) р – 7р.
Назвіть кілька виразів, тотожних виразу 2а + 3а. Спростіть вираз, використовуючи переставну і сполучну властивості множення:
1) -2,5х ∙ 4;
2) 4р ∙ (-1,5);
3) 0,2х ∙ ( 0,3р);
4)- х ∙ <-7у).
Спростіть вираз:
1) -2р ∙ 3,5;
2) 7а ∙ (-1,2);
3) 0,2х ∙ (-3у);
4) – 1 m ∙ (-3n).
(Усно) Спростіть вираз:
1) 2х – 9 + 5х;
2) 7а – 3b + 2а + 3b;
3) -2х ∙ 3;
4) 4а ∙ (-2b).
Зведіть подібні доданки:
1) 56 – 8а + 4b – а;
2) 17 – 2р + 3р + 19;
3) 1,8а + 1,9b + 2,8а – 2,9b;
4) 5 – 7с + 1,9р + 6,9с – 1,7р.
Розкрийте дужки і зведіть подібні доданки:
1) 4(5х – 7) + 3х + 13;
2) 2(7 – 9а) – (4 – 18а);
3) 3(2р – 7) – 2(р – 3);
4) -(3m – 5) + 2(3m – 7).
Розкрийте дужки і зведіть подібні доданки:
1) 3(8а – 4) + 6а;
2) 7р – 2(3р – 1);
3) 2(3x – 8) – 5(2x + 7);
4) 3(5m – 7) – (15m – 2).
Спростіть вираз і знайдіть його значення:
1) 0,6x + 0,4(x – 20), якщо x = 2,4;
2) 1,3(2а – 1) – 16,4, якщо а = 10;
3) 1,2(m – 5) – 1,8(10 – m), якщо m = -3,7;
4) 2x – 3(x + у) + 4у, якщо x = -1, у = 1.
Спростіть вираз і знайдіть його значення:
1) 0,7x + 0,3(x – 4), якщо x = -0,7;
2) 1,7(у – 11) – 16,3, якщо у = 20;
3) 0,6(2а – 14) – 0,4(5а – 1), якщо а = -1;
4) 5(m – n) – 4m + 7n, якщо m = 1,8; n = -0,9.
Доведіть тотожність:
1) -(2x – у)=у – 2х;
2) 2(x – 1) – 2x = -2;
3) 2(x – 3) + 3(x + 2) = 5x;
4) с – 2 = 5(с + 2) – 4(с + 3).
Доведіть тотожність:
1) -(m – 3n) = 3n – m;
2) 7(2 – р) + 7р = 14;
3) 5а = 3(а – 4) + 2(а + 6);
4) 4(m – 3) + 3(m + 3) = 7m – 3.
Довжина однієї зі сторін трикутника а см, а довжина кожної з двох інших сторін на 2 см більша за неї. Запишіть у вигляді виразу периметр трикутника і спростіть цей вираз. Ширина прямокутника дорівнює х см, а довжина на 3 см більша за ширину. Запишіть у вигляді виразу периметр прямокутника і спростіть цей вираз. Розкрийте дужки і спростіть вираз:
1) х – (х – (2х – 3));
2) 5m – ((n – m) + 3n);
3) 4р – (3р – (2р – (р + 1)));
4) 5x – (2x – ((у – x) – 2у));
5) (6а – b) – (4 a – 33b);
6) – (2,7 m – 1,5n) + (2n – 0,48m).
Розкрийте дужки і спростіть вираз:
1) а – (а – (3а – 1));
2) 12m – ((а – m) + 12а);
3) 5y – (6у – (7у – (8у – 1)));
6) (2,1a – 2,8b) – (1a – 1b).
Доведіть тотожність:
1) 10x – (-(5x + 20)) = 5(3x + 4);
2) -(- 3р) – (-(8 – 5р)) = 2(4 – р);
3) 3(а – b – с) + 5(а – b) + 3с = 8(а – b).
Доведіть тотожність:
1) 12а – ( (8а – 16)) = -4(4 – 5а);
2) 4(х + у – <) + 5(х – t) – 4y – 9(х – t).
Доведіть, що значення виразу
1,8(m – 2) + 1,4(2 – m) + 0,2(1,7 – 2m) не залежить від значення змінної.
Доведіть, що при будь-якому значенні змінної значення виразу
А – (а – (5а + 2)) – 5(а – 8)
Є одним і тим самим числом.
Доведіть, що сума трьох послідовних парних чисел ділиться на 6. Доведіть, що якщо n – натуральне число, то значення виразу -2(2,5n – 7) + 2 (3n – 6) є парним числом.
Вправи для повторення
Сплав масою 1,6 кг містить 15 % міді. Скільки кг міді міститься у цьому сплаві? Скільки відсотків складає число 20 від свого:
1) квадрата;
2) куба?
Турист 2 год ішов пішки і 3 год їхав на велосипеді. Усього турист подолав 56 км. Знайдіть, з якою швидкістю турист їхав на велосипеді, якщо вона на 12 км/год більша за швидкість, з якою він ішов пішки.
Цікаві задачі для учнів неледачих
У чемпіонаті міста з футболу беруть участь 11 команд. Кожна команда грає з іншими по одному матчу. Доведіть, що в будь-який момент змагань знайдеться команда, яка проведе до цього моменту парну кількість матчів або не провела ще жодного.
(1 votes, average: 5.00 out of 5)
Loading...