Головна ⇒ 📌Плани-конспекти уроків по математиці ⇒ Узагальнення поняття степеня

Узагальнення поняття степеня

УРОК 40

Тема. Узагальнення поняття степеня

Мета уроку. Формування поняття степеня з раціональним показником, степінь з ірраціональним показником.

І. Перевірка домашнього завдання

1. Відповіді на запитання, що виникли в учнів при розв’язуванні домашнього завдання.

2. Колективне розв’язування нерівності < 4 – х.

Відповідь: 0 < х < 2.

II. Повторення і систематизація знань учнів про степінь з натуральним і цілим показником

Повторення і систематизацію знань учнів про степінь із натуральним

і цілим показником рекомендується провести шляхом бесіди з використанням таблиці 17.

Питання до класу:

1. Що називається n-м степенем числа а, якщо nN? якщо n = 1? n = 0?

2. Що таке степінь, основа степеня, показник степеня?

3. Що називається n-м степенем числа а, якщо nZ?

4. Сформулюйте основні властивості степенів.

Степені

З натуральним показником:

А1 = а (а R)

Аn = а – а – … – а nN, n > 2

З цілим показником

А0 = 1, а? 0

А-n = class=""/>, а? 0, n N

Аm – аn = am + n

Аm : аn = am – n

(аm)n = аmn

(аb)n = anbn

;

III. Формування поняття степеня з дробовим показником.

Введемо поняття степеня з дробовим показником. Вводячи це поняття, хотілося би, щоб степінь з раціональним показником мав ті самі властивості, що й степінь із цілим показником. Зокрема, n-й степінь числа повинен дорівнювати аm. Якщо ця властивість виконується, то – а це означає (за означенням кореня n-го степеня), що число повинно бути коренем n-го степеня із числа аn.

Степенем числа а > 0 з раціональним показником , де mZ, nN (n>1) називається число .

Отже, = .

Степінь числа 0 визначений тільки для додатних показників; за означенням (0r = 0 для будь-якого r > 0).

Виконання вправ

1. Подайте вирази у вигляді степеня з раціональним показником:

А) ; б) ; в) ; г) .

Відповідь: а) ; б) ; в) ; г) .

2. Подайте вирази у вигляді кореня із числа чи виразу:

А) ; б) 5; в) 6; г) 3.

Відповідь: а) ; б) ; в) ; г) .

3. Обчисліть:

А) ; б) ; в) ; г) .

Відповідь: а) 3; б) 3; в) 4; г) 27.

IV. Вивчення властивостей степенів з раціональним показником

Для будь-яких раціональних чисел р і q і будь-яких додатних а і b справедливі рівності:

Аp – аq = ap +qn;

Аp : аq = ap – q ;

(аp)q = аpq ;

(аb)p = apbp;

Для доведення цих властивостей треба скористатися означенням степеня з раціональним показником і властивостями коренів. Доведемо першу рівність: нехай , , тоді

Останні рівності доводяться аналогічно.

Виконання вправ № 99 (2), 100 (2), 101 (2), 103 (3, 4).

V. Сприймання поняття про степінь з ірраціональним показником

Розглянемо степінь з ірраціональним показником . Ірраціональне число можна подати у вигляді нескінченного неперіодичного десяткового дробу.

Розглянемо послідовність наближень числа :

1 < < 2,

1,4 < < 1,5,

1,41 < < 1,42,

1,414 < < 1,415,

1,4142 < < 1,4143,

…

За допомогою калькулятора знайдемо наближені значення степенів числа 10 з недостачею і надлишком, тоді матимемо:

10 = 101 < < 102 = 100,

25,119 101,4 < < 101,5 31,623,

25,704 101,41 < < 101,42 26,303,

25,942 101,414 < < 101,415 26,002 ,

25,953 101,4142 < < 101,4143 25,960 ,

Наведені значення з недостачею і надлишком наближаються до одного і того самого числа = 25,9…, яке і прийнято вважати степенем числа 10 з показником .

Таким чином, ми розширили поняття степеня на будь-які дійсні показники, зберігаючи при цьому властивості степенів.

VI. Підведення підсумків уроку

VII. Домашнє завдання

Розділ III § 3 (1-3). Запитання і завдання для повторення до розділу III № 56-66. Вправи №№ 99 (1), 100 (1), 103 (1, 2).