Узагальнення поняття степеня
УРОК 40
Тема. Узагальнення поняття степеня
Мета уроку. Формування поняття степеня з раціональним показником, степінь з ірраціональним показником.
І. Перевірка домашнього завдання
1. Відповіді на запитання, що виникли в учнів при розв’язуванні домашнього завдання.
2. Колективне розв’язування нерівності 
< 4 – х.
Відповідь: 0 < х < 2.
II. Повторення і систематизація знань учнів про степінь з натуральним і цілим показником
Повторення і систематизацію знань учнів про степінь із натуральним
Питання до класу:
1. Що називається n-м степенем числа а, якщо n
N? якщо n = 1? n = 0?
2. Що таке степінь, основа степеня, показник степеня?
3. Що називається n-м степенем числа а, якщо nZ?
4. Сформулюйте основні властивості степенів.
Степені | |
З натуральним показником: А1 = а (а Аn = а – а – … – а n | З цілим показником А0 = 1, а? 0 А-n = |
Аm – аn = am + n Аm : аn = am – n (аm)n = аmn (аb)n = anbn
|
III. Формування поняття степеня з дробовим показником.
Введемо поняття степеня з дробовим показником. Вводячи це поняття, хотілося би, щоб степінь з раціональним показником мав ті самі властивості, що й степінь із цілим показником. Зокрема, n-й степінь числа 
повинен дорівнювати аm. Якщо ця властивість виконується, то 
– а це означає (за означенням кореня n-го степеня), що число повинно бути коренем n-го степеня із числа аn.
Степенем числа а > 0 з раціональним показником 
, де mZ, nN (n>1) називається число 
.
Отже, = .
Степінь числа 0 визначений тільки для додатних показників; за означенням (0r = 0 для будь-якого r > 0).
Виконання вправ
1. Подайте вирази у вигляді степеня з раціональним показником:
А) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
Відповідь: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
2. Подайте вирази у вигляді кореня із числа чи виразу:
А) 
; б) 5
; в) 6
; г) 3
.
Відповідь: а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
3. Обчисліть:
А) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
Відповідь: а) 3; б) 3; в) 4; г) 27.
IV. Вивчення властивостей степенів з раціональним показником
Для будь-яких раціональних чисел р і q і будь-яких додатних а і b справедливі рівності:
Аp – аq = ap +qn;
Аp : аq = ap – q ;
(аp)q = аpq ;
(аb)p = apbp;
.
Для доведення цих властивостей треба скористатися означенням степеня з раціональним показником і властивостями коренів. Доведемо першу рівність: нехай 
, 
, тоді
Останні рівності доводяться аналогічно.
Виконання вправ № 99 (2), 100 (2), 101 (2), 103 (3, 4).
V. Сприймання поняття про степінь з ірраціональним показником
Розглянемо степінь 
з ірраціональним показником . Ірраціональне число можна подати у вигляді нескінченного неперіодичного десяткового дробу.
Розглянемо послідовність наближень числа :
1 < < 2,
1,4 < < 1,5,
1,41 < < 1,42,
1,414 < < 1,415,
1,4142 < < 1,4143,
…
За допомогою калькулятора знайдемо наближені значення степенів числа 10 з недостачею і надлишком, тоді матимемо:
10 = 101 < < 102 = 100,
25,119 
101,4 < < 101,5 31,623,
25,704 101,41 < < 101,42 26,303,
25,942 101,414 < < 101,415 26,002 ,
25,953 101,4142 < < 101,4143 25,960 ,
Наведені значення з недостачею і надлишком наближаються до одного і того самого числа = 25,9…, яке і прийнято вважати степенем числа 10 з показником .
Таким чином, ми розширили поняття степеня на будь-які дійсні показники, зберігаючи при цьому властивості степенів.
VI. Підведення підсумків уроку
VII. Домашнє завдання
Розділ III § 3 (1-3). Запитання і завдання для повторення до розділу III № 56-66. Вправи №№ 99 (1), 100 (1), 103 (1, 2).