Головна ⇒ 📌Математика ⇒ Задачі підвищеної складності

Задачі підвищеної складності

Цілі вирази

1178. Рівність (І + В + А + Н)4 = ІВАН с правильного. Знайдіть число ІВАН, якщо різним буквам відповідають різні цифри.

1179. На скільки відсотків збільшиться площа прямокутника, якщо його довжину збільшити на 15 %, а ширину – на 20 %?

1180. Що більше:

чи

1181. Доведіть, що число 2017 ∙ 2019 + 1 є квадратом деякого натурального числа. Якого саме?

1182. Доведіть, що значення виразу 8n3 – 8n при будь-якому натуральному значенні n кратне числу 24.

1183. Подайте

вираз 2m2 + 2n2 у вигляді суми двох квадратів.

1184. Який многочлен треба записати замість зірочки, щоб одержати тотожність:

1) (x + 1) ∙ * = х2 – 4х – 5;

2) (х2 – x + 1) ∙ * = х3 + 2х2 – 2х + 3?

1185. Розкладіть на множники:

1) а2b2 – 2ab2 + b2 + а4 – 2а2 + 1;

2) 1 – 3t + 3t2 – t3;

3) x6 – 3×4 + 6×2 – 4;

4) 2(m + 3n) + (m – n)(m + n) – 8;

5) а3 + а2 – b3 – b2;

6) 8х3 + 4×2 – 2.

1186. Чи може сума квадратів п’яти послідовних натуральних чисел бути квадратом натурального числа?

1187. Спростіть вираз:

(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1)(264 + 1).

1188. Число b є середнім арифметичним чисел а і с. Доведіть, що а2 + ас + с2є середнім

арифметичним чисел а2 + аb + b2 і b2 + bс + с2.

1189. Задача Лагранжа. Доведіть тотожність

(x2 + у2 + z2)(m2 + n2 + р2) – (xm + yn + zp)2 = (хn – уm)2 + (хр – zm)2 + (ур – zn)2.

1190. Доведіть, що число abcabc є кратним числам 7, 11 і 13.

1191. Доведіть, що значення виразу 555777 + 777555 є кратним числу 37.

1192. Яке трицифрове число є і квадратом двоцифрового числа і кубом одноцифрового числа?

1193. Доведіть, що значення виразу 1916 + 7346 – 5933 ділиться на 10.

1194. Доведіть, що значения виразу 3n + 2 – 2n+2 + 3n – 2n при будь-якому натуральному значенні n є кратним числу 10.

1195. Подайте вираз 2х(х2 + 3у2) у вигляді суми кубів двох многочленів.

1196. Доведіть тотожність:

1) (х – 2)(х – 1)х(х + 1) + 1 = (х2 – х – 1)2;

2) х(х + 1)(х + 2)(х + 3) + 1 = (х2 + 3х + 1)2.

1197. Використовуючи результат попередньої задачі, доведіть, що число 2017 ∙ 2018 ∙ 2019 ∙ 2020 + 1 є квадратом деякого натурального числа х. Знайдіть х.

1198. Доведіть, що різниця кубів двох послідовних натуральних парних чисел при діленні на 48 дає в остачі 8.

1199. Розкладіть на множники:

1) у6 + у + 1;

2) m4 + m2 + 1;

3) x4 + 5х2 + 9;

4) n4 + 4;

5) х4 + 2а2х2 – 4a2b2 – 4b4;

6) m3 – 2m – 1;

7) m3 – 5m – 2;

8) х4 – 2х3у – 6×2у2 – 4ху3 – у4.

1200. Порівняйте 515 і З23.

Функції

1201. Побудуйте графік функції:

1) у = 2|х| + х;

2) у = |х| – 4х;

3) у = |2х| + 2х – 1;

4) у = 3х – |4х| + 3.

1202. Точка A(а; b), де а ≠0, b ≠ 0, належить графіку функції у = х2. Чи наложить цьому графіку точка:

1) В( – a; b),

2) C(a; – b);

3) D(-a; – b)?

1203. Точка М(m; n), де m ≠ 0, n ≠ 0, належить графіку функції у = х3. Чи належить цьому графіку точка:

1) N(-m; n);

2) К(m; – m);

3) Р(-m; – n)?

1204. Знайдіть точки перетину графіків функцій

Лілійні рівняння та їх системи

1205. Знайдіть усі цілі значення а, при яких корінь рівняння (а + 2)х = 8 є натуральним числом.

1206. Перша цифра чотирицифрового числа дорівнює 7. Якщо цю цифру переставити на останнє місце, то одержимо число, менше від початкового на 1746. Знайдіть початкове число.

1207. Не розв’язуючи рівняння 5(2017х + 2018) = 13 доведіть, що його корінь не є цілим числом.

1208. Розв’яжіть рівняння:

1) | х | + 1 |x – 2 | = 0;

2) |x – 3| + |6 – 2x| = 0.

1209. Скільки розв’язків залежно від числа а (кажуть: параметра а) має рівняння:

1) ах = 2;

2) ах = 0?

1210. Для кожного значення параметра а розв’яжіть рівняння відносно змінної х:

1) 2х – а = 15;

2) 7х – а = 2х + 4а – 9;

3) (а – 3)х = 7;

4) ах = а;

5) ах + 1 = х + а;

6) а(х – 2) = х(а + 3).

Р о з в ‘ я з а н н я. 4) Якщо а = 0, то маємо рівняння 0 ∙ х = 0, тоді х – будь-яке число. Якщо а ≠ 0, то, поділивши ліву і праву частини рівняння на а, одержимо х = 1.

В і д п о в і д ь: Якщо а = 0, то х – будь-яке число; якщо а ≠ 0, то х = 1.

1211. При якому значенні параметра а є рівносильними рівняння:

1) 7х + а = 5(х – а) і 7(х + а) = 4(10 – а);

2) (а + 7)х = 18 і | х | = -17

1212. Потяг проїжджає повз нерухомого пасажира за 7 с, а уздовж платформи завдовжки 378 м за 25 с. Знайдіть швидкість і довжину потяга.

1213. Потяг проїжджає по мосту, довжина якого 171 м, за 27 с, а повз пішохода, який рухається зі швидкістю 1 м/с на зустріч потягу, – за 9 с. Знайдіть швидкість і довжину потяга.

1214. Через першу трубу басейн заповнюється водою за половину того часу, що потрібний другій трубі для заповнення цього басейну. Через другу трубу окремо басейн заповнюється на 4 год довше, ніж через першу трубу. За який час заповнює басейн кожна труба окремо?

1215. Знайдіть кути рівнобедреного трикутника, якщо один з них складає 20 % від другого.

1216. Для ремонту двох кімнат придбали шпалери. На ремонт першої кімнати використали на 2 рулони більше, ніж половина придбаного, а на ремонт другої кімнати – від кількості рулонів, що була використана на ремонт першої кімнати. Скільки рулонів шпалер було придбало, якщо після ремонту обох кімнат залишився невикористаним один рулон?

1217. Сплав міді й цинку містить на 320 г більше міді, ніж цинку. Після того як від сплаву відокремили тієї маси міді й 60 % тієї маси цинку, що в ньому містилися, маса сплаву стала дорівнювати 100 г. Якою була початкова маса сплаву?

Р о з в ‘ я з а н н я. Подамо умову у вигляді таблиці:

Речовина	Маса, що була, г	Відокремили	Залишилося	Маса, що за лишилася, г
Мідь	Х + 320			(х + 320)
Цинк	Х	60 %	40 %	0,4х

Маємо рівняння: (х + 320) + 0,4ч = 100.

Звідки х = 100 (г) – цинку в початковій масі.

Тоді початкова маса сплаву х + 320 + х = 2х + 320 – 520 (г).

В і д п о в і д ь: 520 г.

1218. Василь може придбати без решти 7 рогаликів і 3 вертути або 3 рогалики і 4 вертути. Який відсоток складає ціна рогалика від ціпи вертути?

1219. Чи має розв’язки рівняння з двома змінними:

1)х2 + у4 = -1;

2)|у| + х2=0;

3) х2 – |y| = 5;

4) 5х2 + y8 + |x| = 0?

1220. У рівнянні ах + by = 43 коефіцієнти а і b – цілі числа. Чи може розв’язком цього рівняння бути пара чисел (5; 10)?

1221. Скільки розв’язків має рівняння:

1) (х + 1)2 + у2 =0;

2) х2 + у2 + (у – 2) = 0;

3) |х| + (у + 1)2 = 0;

4) х((х – 3)2 + (у + 4)2) = 0?

1222. Сергій придбав кілька зошитів по 2 грн і кілька ручок по 2 грн 50 коп., заплативши за всю покупку 30 грн. Скільки зошитів придбав Сергій?

1223. Побудуйте графік рівняння:

1) (х + 1)(х – 2у) = 0;

2) х2 – ху = 0;

3) (х2 – 4)(у2 + 4) = 0;

4) (|х| + 1)(|y| – 3) = 0;

5) |х| 4 х = у;

6) х = у|х|.

1224. Доведіть, що рівняння х2 – у2 = 26 не має розв’язків у цілих числах (тобто розв’язками рівняння не мажуть бути цілі числа).

1225. Чи перетинає графік рівняння у + х2 = 4 вісь х; вісь у? Якщо так, то вкажіть координати точок перетину.

1226. Знайдіть усі пари натуральних чисел, що задовольняють рівняння 11х + 8у = 104.

1227. Не виконуючи побудови, знайдіть координати точки перетину графіка рівняння (х – 3)(у + 5) = 0:

1) з віссю х;

2) з віссю у.

1228. Учень загадав два двоцифрових числа, кожне з яких починається цифрою 6, причому інші цифри кожного із чисел відмінні від числа 6. Якщо переставити місцями цифри в кожному із загаданих чисел, то значення їх добутку не зміниться. Які числа загадав учень?

1229. Олесь народився у XX столітті. У 2009 році йому було стільки років, якою є сума цифр його року народження. У якому році народився Олесь?

1230. При якому значенні а прямі 3х + 4у = 5 і 2х + 8у = а перетинаються в точці, що лежить на осі у?

1231. Доберіть, якщо це можливо, таке значення m, при якому система рівнянь має єдиний розв’язок; не має розв’язків; має безліч розв’язків:

1232. При якому значенні а система рівнянь має розв’язок?

1233. Розв’яжіть систему рівнянь:

1234. При множенні многочлена 4х3 – 2х2 + 3х – 8 на многочлен ах2 + bх + 1 одержали многочлен, який не містить ані х4, aні х3. Знайдіть коефіцієнти а і b та многочлен, який одержали в добутку.

1235. Розв’яжіть систему рівнянь:

Р о з в ‘ я з а н н я. 4) Перше рівняння системи перепишемо так: х2 + 2ху + у2 = 1, тобто (х + у)2 = 1. Звідки х + у = 1 або х + у = -1. Отже, розв’язування початкової системи рівнянь звелося до розв’язування двох систем:

Звідки х = 1;у = 0 та х = 0,5; у = -1,5.

В і д п о в і д ь: (1; 0); (0,5; -1,5).

1236. Розв’яжіть рівняння з двома змінними:

1) (х – 2)2 + (3х – у)2 = 0;

2) (2х – у)2 + х2 + 8х + 16 = 0;

3) (7х + у – З)2 + х2 + 2ху + у2 = 0;

4) |х – у + 5| + х2 – 4ху + 4у2 = 0;

5) х2 + у2 – 4х + 2у + 5 = 0;

6) х2 – 2ху + 2ух + 6у + 9 = 0.

1237. Число b на 10 % більше за число а і на 30 % більше за число є. Знайдіть числа a, b i c, якщо а на 8 більше за с.

1238. Через 4 роки відношення віку брата до віку сестри дорівнюватиме 7 : 5. Скільки років нині кожному з них, якщо 2 роки тому брат був удвічі старший за сестру?

1239. Загадали деяке двоцифове число. Якщо це число поділити на суму його цифр, одержимо неповну частку, що дорівнює 4, та 6 в остачі. Якщо ж від цього числа відняти потроєну суму його цифр, то одержимо 16. Яке число загадали?

1240. Кількість десятків деякого трицифрового числа удвічі більша за кількість одиниць. Сума цифр цього числа дорівнює 13. Якщо поміняти місцями цифри сотень і одиниць, то одержимо число, яке на 495 менше від даного. Знайдіть дане число.

1241. Якщо перше з двох даних чисел збільшити на 10 %, а друге – на 15 %, то їх сума збільшиться на 13 %. Якщо перше 3 даних чисел зменшити на 5 %, а друге – на 10 %, то сума чисел зменшиться на 8 %. Знайдіть дані числа.

1242. Для проведення ремонту придбали пісок і цемент. Першого дня використали від маси придбаного піску і від маси придбаного цементу, що разом склало 205 кг. Другого дня використали чверть тієї маси піску, яка залишилася, що на 37 кг більше за масу п’ятої частини цементу, яка залишилася після першого дня. Скільки піску і скільки цементу було придбано для ремонту?

1243. Одна сторона трикутника утричі більша за другу. Периметр трикутника на 22 см більший за їх півсуму і на 27 см більший за їх піврізницю. Знайдіть сторони трикутника.

1244. Якщо довжину прямокутника збільшити на 3 см, а ширину на 2 см, то його площа збільшиться на 37 см2. Якщо ж кожну сторону прямокутника зменшити на 1 см, то його площа зменшиться на 12 см2. Знайдіть периметр даного прямокутника.

1245. Зливок складається з двох металів, маси яких відносяться як 3 : 4. Інший зливок містить ті самі метали, але у відношенні 1 : 2. По скільки кілограмів від кожного зливку треба взяти, щоб одержати зливок масою 10 кг, у якому маси тих самих металів відносяться як 2 : 3?

1246. Дорога від села до міста спочатку пролягає горизонтально, а потім угору. Турист проїхав на велосипеді горизонтальну її частину зі швидкістю 10 км/год, а вгору йшов пішки зі швидкістю 3 км/год і прибув до міста через 1 год 40 хв після виїзду із села. У зворотному напрямку шлях униз турист проїхав зі швидкістю 15 км/год, а горизонтальну ділянку – зі швидкістю 12 км/год і прибув до села через 58 хв після виїзду з міста. Знайдіть відстань між містом і селом.

1247. В одному резервуарі 490 л води, а в іншому 560 л. Якщо долити перший резервуар до країв водою з другого, то другий резервуар виявиться заповненим тільки наполовину. Якщо другий резервуар до країв долити водою з першого, то перший буде заповнений водою тільки на третину. Визначте ємність кожного з резервуарів.

1248. Автобус і маршрутне таксі, які за розкладом вирушають назустріч один одному о 8 год з пунктів А і В, зазвичай зустрічаються о 8 год 12 хв. Але одного разу маршрутне таксі вирушило в рейс о 8 год 8 хв і зустрілося з автобусом о 8 год 17 хв. Знайдіть швидкість автобуса і швидкість маршрутного таксі, якщо відстань між А і В дорівнює 24 км.

1249. З пункту М до пункту N о 7 год і о 7 год 30 хв виїхали два автобуси з однією і тією самою швидкістю. О 7 год 10 хв з пункту N до пункту М виїхав велосипедист. Він зустрів перший автобус о 7 год 40 хв, а другий – о 8 год 01 хв. Знайдіть швидкості велосипедиста та кожного з автобусів, якщо відстань між пунктами М і N дорівнює 37 км.

1250. З міста в село, відстань між якими 24 км, вирушив турист. Через 1 год 20 хв услід за гоїм виїхав велосипедист, який через півгодини наздогнав туриста. Після прибуття в село велосипедист, не зупиняючись, повернув назад і зустрівся з туристом через півтори годили після першої зустрічі. Знайдіть швидкість туриста і швидкість велосипедиста.

1251. З міста А в місто В о 9 год виїхали два автобуси. У той самий час з міста В в місто А виїхав велосипедист. Один автобус трапився на його шляху о 10 год 20 хв, а другий – об 11 год. Знайдіть швидкості велосипедиста та кожного з автобусів, якщо швидкість одного автобуса становить від швидкості другого, а відстань між містами – 120 км.

1252. По колу, довжина якого 500 м, рухаються дві точки. Вони зустрічаються через кожні 10 с, якщо рухаються у протилежних напрямках, і через кожні 50 с, якщо в одному. Знайдіть швидкість кожної з точок.