АНАЛІТИЧНІ СПОСОБИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ ІЗ ДВОМА ЗМІННИМИ

РОЗДІЛ 5 ЛІНІЙНІ РІВНЯННЯ ТА ЇХ СИСТЕМИ

&24. АНАЛІТИЧНІ СПОСОБИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ ІЗ ДВОМА ЗМІННИМИ

Ви вже знаєте, що систему лінійних рівнянь із двома змінними можна розв’язати графічно. Проте існують інші, більш точні способи розв’язування таких систем – аналітичні способи. У цьому параграфі ви дізнаєтесь про два з них.

До аналітичних способів розв’язування систем лінійних рівнянь із двома змінними відносять спосіб підстановки і спосіб додавання.

1. Спосіб підстановки

Задача 1. Розв’яжіть

систему рівнянь:

Розв’язання. У першому рівнянні виразимо у через х:

У = -2х + 12.

Отриманий вираз -2х + 12 підставимо замість у удруге рівняння системи:

Дістали, що друге рівняння системи містить лише одну змінну x. Розв’яжемо його:

5х + 4х – 24 = 21,

9х = 45,

Х = 5.

Отримане число 5 підставимо замість х у перше рівняння системи. Дістали рівняння з однією змінною у. Розв’яжемо його:

У = – 2 ∙ 5 + 12, у = 2.

Отже, пара чисел (5; 2) є розв’язком даної системи.

Коротко розв’язання цієї системи можна записати так:

5х

+ 4х – 24 = 21,

9х = 45,

Х = 5.

Відповідь: (5; 2).

Зверніть увагу:

Щоб розв’язати систему двох лілійних рівнянь із двома змінними способом підстановки, треба:

1) з’ясувати, у якому рівнянні системи та яку змінну зручніше виразити через іншу;

2) в обраному рівнянні виразити обрану “зручну” змінну через іншу;

3) підставити знайдений вираз в інше рівняння системи;

4) розв’язати отримане рівняння відносно “зручної” змінної;

5) підставити отриманий корінь у те рівняння системи, з якого виразили “зручну” змінну через іншу;

6) розв’язати отримане рівняння відносно іншої змінної;

7) записати пару чисел, яка є розв’язком системи.

2. Спосіб додавання

Задача 2. Розв’яжіть систему рівнянь:

Розв’язання. У рівняннях даної системи коефіцієнти біля змінної у є протилежними числами 3 і -3, тому, якщо додати 3у і -3у, то ці доданки взаємно знищаться. Саме на цьому грунтується суть способу додавання – два рівняння системи додають, щоб позбутися однієї змінної й отримати рівняння з однією змінною. Додамо обидва рівняння системи. Для цього суму лівих частин цих рівнянь прирівняємо до суми їх правих частин: х + 3у + 5х – 3у = 10 + (-4).

Розв’яжемо отримане рівняння:

6х = 6,

Х = 1.

Підставимо замість х число 1 в одне з рівнянь заданої системи, наприклад, у перше рівняння, та розв’яжемо його:

1 + 3у = 10,

3у = 9,

У = 3.

Отже, пара чисел (1; 3) є розв’язком даної системи.

Коротко розвязання цієї системи можна записати так:

Відповідь: (1; 3).

? Чи можна розв’язати способом додавання систему в задачі 1? Так. Для цього треба помножити на 2 перше рівняння системи. Тоді коефіцієнти біля у в обох її рівняннях стануть протилежними числами 2 і -2, а доданки 2у і -2у взаємно знищаться під час додавання рівнянь системи:

? Чи можна перетворити рівняння цієї системи так, щоб під час додавання її рівнянь взаємно ЗНИЩИЛИСЬ доданки зі змінною х? Так. Для цього треба перше рівняння системи помножити на 5, а друге – на (-2).

Зверніть увагу:

Щоб розв’язати систему двох лінійних рівнянь із двома змінними способом додавання, треба:

1) з’ясувати, для якої змінної її коефіцієнти в обох рівняннях зручно перетворити на протилежні числа;

2) для коефіцієнтів “зручної” змінної знайти додаткові множники, які дозволять перетворити ці коефіцієнти на протилежні числа;

3) відповідно помножити рівняння системи на ці додаткові множники;

4) додати отримані рівняння та розв’язати рівняння-суму як рівняння відносно другої змінної;

5) підставити знайдений корінь в одне з рівнянь системи;

6) розв’язати отримане рівняння як рівняння відносно “зручної” змінної;

7) записати пару чисел, яка є розв’язком системи.

Задача 3. Розв’яжіть систему рівнянь:

Розв’язання. Дану систему можна розв’язати двома способами.

Спосіб 1 (підстановки).

18 + 4,5y – 4y = 17,

0,5у = -1,

Y = – 2-

Отже, (3; -2) – шуканий розв’язок системи. Спосіб 2 (додавання).

Отже, (3; -2) – шуканий розв’язок системи.

За допомогою систем двох лінійних рівнянь із двома змінними розв’язують задачі, що містять дві невідомі величини.

Задача 4. Із двох пунктів, відстань між якими дорівнює 310 км, виїхали назустріч один одному два автомобілі. Швидкість одного з них на 5 км/год більша за швидкість іншого. Знайдіть швидкості кожного автомобіля, якщо вони зустрілися через 2 год після початку руху.

Розв’язання. Нехай х км/год – швидкість першого автомобіля, у км/год – швидкість другого автомобіля.

Складемо короткий запис даних задачі (табл. 28).

Таблиця 28

Нехай швидкість першого автомобіля на 5 км/год більша за швидкість другого, тоді перше рівняння системи таке: х – у = 5 (або х – 5 = у, або х = у + 5).

Друге рівняння системи таке: 2x + 2у = 310.

Можемо записати систему рівнянь:

Нагадаємо, що для спрощення обчислень можна ділити обидві частини рівняння на одне й те саме число, відмінне від 0. Якщо, поділимо друге рівняння системи на 2, тоді отримаємо систему:

Розв’язавши цю систему рівнянь або способом підстановки, або способом додавання, отримаємо її розв’язок (80; 75). Отже, швидкість першого автомобіля – 80 км/год, а швидкість другого – 75 км/год.

? Чи можна розв’язати задачу 3 алгебраїчним методом, але не складаючи систему рівнянь? Так, якщо швидкість другого автомобіля позначити, як (х + 5) км/год.

Дізнайтеся більше

1. Софі Жермен (1776 – 1831) – визначна французька жінка – математик і філософ, ще з дитинства захоплювалась математичними творами, особливо історією математики. Оскільки в той час жінок не приймали до Політехнічної школи, вона брала участь у письмових іспитах під псевдонімом “мосьє Ле Блан” (реальна особа, учень Лагранжа). С. Жермен листувалася із Ж. Даламбером, Ж. Фур’є, К. Гауссом, А. Лежандром та ін. З Лагранжем та Лежандром їй вдалося зустрітись особисто, вони зацікавились талановитою ученицею, стали спрямовувати і заохочувати її навчання.

Жермен цікавилася теорією чисел, окремі формули якої названі тепер її ім’ям. За свідченням Лагранжа (1828), їй вдалося довести окремий випадок Великої теореми Ферма. За дослідження згинання пластинок у теорії пружності їй, першій із жінок, присуджено премію Паризької академії наук (1816), а саму роботу використано під час будівництва Ейфелевої вежі (1889).

2. Існує ще один спосіб розв’язування систем двох лінійних рівнянь із двома змінними – за допомогою трьох так званих визначників системи. Кожен визначник складають за певними правилами з коефіцієнтів біля змінних у рівняннях системи й обчислюють його значення, а потім знаходять розв’язок. У таблиці 29 наведено приклади застосування цього способу для системи в загальному вигляді та її конкретного випадку.

Таблиця 29

ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ

1. Які є аналітичні способи розв’язування систем двох лінійних рівнянь із двома змінними?

2. Як розв’язати систему двох лінійних рівнянь із двома змінними способом підстановки?

3. Як розв’язати систему двох лінійних рівнянь із двома змінними способом додавання?

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

1121. Виразіть змінну х через змінну у у рівнянні:

1) х – 2у – 3 = 0; 3) 2х – 4у + 5 = 0;

2) х + 3у + 9 = 0; 4) -3х + 6у – 9 = 0.

1122. Виразіть змінну у через змінну х у рівнянні:

1) 5х + у – 15 = 0; 3) 4х + 2у – 12 = 0;

2) 4х – у + 6 = 0; 4) -3х + 2у = 4.

1123. Яке рівняння дістанемо, якщо замість х підставити вираз 2у у рівняння:

1) х – 2у = 3; 3) 2х + у = 5;

2) 3х + 3у = 9; 4) 2х – 4у = 5?

Знайдіть розв’язок одержаного рівняння.

1124. Яке рівняння дістанемо, якщо замість у підставити вираз 5х у рівняння:

1) 5х + у = 30; 3) 3х + 2у = 13;

2) 4х – у = 6; 4) 10x – 4у = 5?

Знайдіть розв’язок одержаного рівняння.

1125. Чи є протилежними числами коефіцієнти біля змінної х у системі:

1126. Чи є протилежними числами коефіцієнти біля змінної у у системі:

1127. Дано систему . Які додаткові множники дозволять перетворити на протилежні числа коефіцієнти біля змінної: 1)х; 2 )у7.

1128. Чи правильно додали два рівняння:

1129. Розв’яжіть систему двох лінійних рівнянь із двома змінними способом підстановки:

1130. Розв’яжіть систему двох лінійних рівнянь із двома змінними способом підстановки:

1131. Розв’яжіть систему двох лінійних рівнянь із двома змінними способом додавання:

1132. Розв’яжіть систему двох лінійних рівнянь із двома змінними способом додавання:

1133. Яким способом легше, на вашу думку, розв’язувати систему рівнянь:

Відповідь обгрунтуйте. Розв’яжіть систему рівнянь обраним способом.

1134. Складіть систему двох лінійних рівнянь із двома змінними, розв’язком якої є пара чисел (2; -1), і яку легше розв’язувати способом: 1) підстановки; 2) додавання.

1135. Складіть систему двох лінійних рівнянь із двома змінними, розв’язком якої є пара чисел (0; 3), і яку легше розв’язувати способом: 1) підстановки; 2) додавання.

1136. Сума двох чисел дорівнює 77, а їх різниця – 15. Знайдіть ці числа.

1137. Сума двох чисел дорівнює 80, а їх різниця -26. Знайдіть ці числа.

1138. Сума двох чисел дорівнює 36. Знайдіть ці числа, якщо одне з них на 10 більше за інше.

1139. Різниця двох чисел дорівнює 12. Знайдіть ці числа, якщо одне з них у 2 рази більше за інше.

1140. Сума двох чисел дорівнює 27. Якщо від подвоєного першого числа відняти друге число, то отримаємо 24. Знайдіть ці числа.

1141. Різниця двох чисел дорівнює 8. Якщо до першого числа додати подвоєне друге число, то отримаємо 44. Знайдіть ці числа.

1142. Розв’яжіть систему рівнянь:

1143. Розв’яжіть систему рівнянь:

1144. У двох кошиках – 75 яблук, причому в першому кошику на 7 яблук більше, ніж у другому. Скільки яблук у кожному кошику?

1145. На двох полицях – 40 книжок. Знайдіть кількість книжок на кожній полиці, якщо на другій полиці книжок у 3 рази менше, ніж на першій.

1146. Периметр прямокутника дорівнює 60 см. Знайдіть сторони прямокутника, якщо його довжина у 4 рази більша за ширину.

1147. Одна зі сторін прямокутника на 2 см більша за іншу. Знайдіть сторони прямокутника, якщо його периметр дорівнює 24 см.

1148. За 2 кг печива і 1,5 кг цукерок заплатили 57 грн. Скільки коштує 1 кг печива, якщо він дешевший від 1 кг цукерок на 10 грн?

1149. За 5 кг яблук і 3 кг груш заплатили 72 грн. Скільки коштує 1 кг груш, якщо він дорожчий за 1 кг яблук на 8 грн?

1150. За 2 год на автобусі й 6 год на поїзді туристи проїхали 600 км. Знайдіть швидкість поїзда, якщо на поїзді туристи проїжджали за годину на 20 км більше, ніж на автобусі.

1151. За 3 год на автомобілі і 2,5 год пішки туристи подолали 250 км. Відомо, що швидкість руху на автомобілі була у 20 разів більшою за швидкість руху пішки. Знайдіть швидкість, із якою туристи їхали на автомобілі.

1152. Два велосипедисти виїхали одночасно з двох міст, відстань між якими дорівнює 39 км, і зустрілися через 1,5 год. З якою швидкістю їхав кожний велосипедист, якщо перший проїхав до зустрічі на 3 км більше, ніж другий?

1153. Два автобуси виїхали одночасно з двох міст, відстань між якими дорівнює 325 км, і зустрілися через 2,5 год. З якою швидкістю їхав кожний автобус, якщо перший проїхав до зустрічі на 25 км більше, ніж другий?

1154. За 3 год за течією річки і 2 год проти течії теплохід проходить 280 км, а за 1 год за течією і півгодини проти течії – 85 км. Знайдіть власну швидкість теплохода і швидкість течії річки.

1155. 3а 2 год за течією річки і 1 год проти течії човен пропливає 50 км, а за 1 год за течією і півгодини проти течії – 25 км. Знайдіть власну швидкість човна і швидкість течії річки.

1156. Один робітник працював за станком 3 год, а інший – 4 год. За цей час вони виготовили 88 деталей. Скільки деталей виготовив кожний робітник, якщо за 1 год роботи вони разом виготовляли 26 деталей?

1157. Один майстер витратив на пошиття костюмів 6 год, а інший – 5 год. За цей час вони пошили 17 костюмів. Скільки костюмів пошив кожен майстер, якщо за 1 год вони разом шили 3 костюми?

1158. Удвох ящиках було 150 яблук. Після того, як половину яблук із першого ящика переклали до другого, у ньому залишилося яблук у 4 рази менше, ніж стало в другому ящику. Скільки яблук було в кожному ящику спочатку?

1159. На двох полицях – 96 книжок. Якщо п’яту частину книжок із другої полиці перекласти на першу, то на другій книжок стане в 5 разів менше, ніж на першій. Скільки книжок на кожній полиці?

1160. Якщо до першого числа додати другого, то отримаємо 27, а якщо до першого числа додати другого, то отримаємо 12. Знайдіть ці числа.

1161. Якщо до першого числа додати другого, то отримаємо 8, а якщо до – першого числа додати – другого, то отримаємо 11. Знайдіть ці числа.

1162. У двох кімнатах – 76 осіб. Коли з першої кімнати вийшло 30 осіб, а з другої – 40 осіб, то людей у кімнатах залишилося порівну. По скільки осіб було в кожній кімнаті спочатку?

1163. Кількість книжок на першій полиці вдвічі менша, ніж на другій. Якщо з першої полиці взяти 9 книжок, а на другу – поставити 12, то на першій полиці книжок стане в 7 разів менше, ніж на другій. Скільки книжок було на кожній полиці?

1164. На двох полицях разом – 30 книжок. Якщо переставити 2 книжки з першої полиці на другу, то книжок на полицях стане порівну. Скільки книжок було на кожній полиці спочатку?

1165. З оповідання А. П. Чехова “Репетитор”. Купець купив 138 аршин чорної та синьої тканини на 540 грн. Скільки аршинів кожної тканини він купив, якщо синя тканина коштує по 5 грн за аршин, а чорна – по 3 грн за аршин?

1166. Коли Сергійко першого разу підрахував у класі носи дівчаток і вуха хлопчиків, то їх виявилося 41. Коли він вдруге підрахував вуха дівчаток і носи хлопчиків, то їх виявилося 43. Скільки в класі хлопчиків? Скільки дівчаток?

1167. Подайте число 200 у вигляді: 1) суми двох чисел так, щоб 25% одного із них дорівнювали 37,5% іншого; 2) різниці двох чисел так, щоб 30% зменшуваного дорівнювали 70% від’ємника.

1168. Знайдіть, на скільки потрібно зменшити число 100, щоб при діленні отриманого числа як на 5, так і на 7, отримували остачу 1. Відомо, що перша частка на 2 більша за другу.

1169. Розв’яжіть систему рівнянь:

1170. Знайдіть х + у + z із системи рівнянь:

1171. Знайдіть рівняння прямої, що проходить через точки А і В:

1)А (0; 1),В(1; 4); 2)А(3; 0), В(3; 1).

1172. За яких значень х і у виконується рівність:

2 – (х + 2у) = 7х – 5у + 4 = -1(3х – у – 4)?

1173. За якого значення а система

1) має один розв’язок; 2) не має розв’язків?

1174. За якого значення с система не має розв’язків?

1175. За яких значень а і b розв’язком системи рівнянь буде пара чисел:

1) (-1; 2); 2) (0; 4)?

1176. Розв’яжіть систему рівнянь із двома змінними х і у:

1177. Для системи рівнянь визначте, за якого значення a сума х + у набуває найменшого значення.

ЗАСТОСУЙТЕ НА ПРАКТИЦІ

1178. На турбазі є намети і будиночки. Всього їх 25. У кожному будиночку можна розмістити 4 людини, в кожному наметі – 2 людини. Скільки наметів і скільки будиночків на турбазі, якщо на ній відпочиває всього 70 осіб?

1179. Син молодший від батька на 24 роки. Через 5 років батько буде старшим за сина в 4 рази. Скільки років батькові? Скільки років синові?

1180. Учитель приготував аркуші із зошитів для проведення контрольної роботи. Якщо вчитель дасть кожному учню 2 аркуші, то 12 аркушів будуть зайвими. Якщо вчитель вирішіть дати кожному учню 3 аркуші, то 16 аркушів не вистачить. Скільки учнів у класі? Скільки аркушів підготував учитель?

1181. Загальновідомою є така старовинна задача: “Дехто підійшов до клітки, у якій сидять фазани та кролики. Він порахував їх голови, їх виявилося 15. Потім він підрахував їх ноги, їх було 42. Скільки кроликів і скільки фазанів було в клітці?”. Розв’яжіть цю задачу. Складіть задачу, подібну до даної, та розв’яжіть її.

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

1182. Заробітна платня токаря становила 4000 грн. Спочатку її було збільшено на 10 %, а через рік – ще на 20 %. На скільки відсотків збільшилася заробітна платня токаря порівняно з початковою?

1183. На полиці стояли книжки. Спочатку взяли третину всіх книжок без двох, а потім решти. Після цього на полиці залишилось 9 книжок. Скільки книжок було на полиці спочатку?

1184. Розв’яжіть рівняння:

6 – (х + 3)2 + 5(х + 2) = 9(3 – х) – (х + 4)(х – 5).

1185. Знайдіть значення виразу:

1) 6 – 5 ∙ + 1 ∙ + ∙ ;

2) (10 – 8) : 1 + 4 ∙ (1,35 : 0,9 – 1,5 ∙ ) + 0,204 ∙ 25 – 7,1.

ПЕРЕВІРТЕ, ЯК ЗАСВОЇТИ МАТЕРІАЛ

КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ

1. Що таке рівняння?

2. Що називають коренем рівняння? Що означає – розв’язати рівняння?

3. Які рівняння називають рівносильними?

4. Сформулюйте властивості рівносильності рівнянь.

5. Яке рівняння називається лінійним?

6. Скільки коренів може мати лінійне рівняння?

7. Коли лінійне рівняння не є рівнянням першого степеня?

8. Що таке лінійне рівняння з двома змінними?

9. Що є розв’язком лінійного рівняння з двома змінними?

10. Скільки розв’язків може мати лінійне рівняння з двома змінними?

11. Що є графіком лінійного рівняння з двома змінними?

12. У якому випадку графіком рівняння з двома змінними є пряма; площина?

13. У якому випадку графік рівняння з двома змінними проходить через початок координат?

14. Що таке система двох лінійних рівнянь із двома змінними?

15. Що називають розв’язком системи двох лінійних рівнянь із двома змінними?

16. Що означає “розв’язати систему рівнянь”?

17. Як розв’язати систему двох лінійних рівнянь із двома змінними графічним способом?

18. Скільки розв’язків може мати система двох лінійних рівнянь із двома змінними?

19. Як розв’язати систему двох лінійних рівнянь із двома змінними способом підстановки?

20. Як розв’язати систему двох лінійних рівнянь із двома змінними способом додавання?

ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

Уважно прочитайте задачі та знайдіть серед запропонованих відповідей правильну. Для виконання тестового завдання потрібно 10-15 хв.

1. Розв’яжіть рівняння 2(х + 5) – 3(4 – х) = 3.

А. Б. -1. В. 1. Г.-5.

2. Яка пара чисел є розв’язком системи рівнянь

А. (2; 2). Б. (1; 3). В. (-1; 5). Г.(4; 0).

3. На прямій, що є графіком рівняння 6х + 2у – 5 = 0, позначено точку, абсциса якої дорівнює 2. Знайдіть ординату цієї точки.

А. -4,5. В. -3,5.

Б. 3,5. Г. 4,5.

4. За 1 год на автобусі та 4 год на поїзді туристи проїхали 380 км. Знайдіть швидкість поїзда, якщо вона на 20 км/год більша за швидкість автобуса.

А. 60 км/год. В. 120 км/год.

Б. 40 км/год. Г. 80 км/год.

5. Побудуйте графік рівняння 5 |х – 1| + 2у = х – 5.