Головна ⇒ 📌Довідник з математики ⇒ Дробові раціональні рівняння

Дробові раціональні рівняння

Математика – Алгебра

Квадратні корені

Дробове раціональне рівняння – це рівняння, в якого ліва або права частина або обидві – дробові вирази. Для його розв’язання доцільно діяти у такий спосіб:
1) перенести всі доданки в один бік;
2) звести їх до спільного знаменника;
3) до одержаного рівняння виду (де a і b – деякі цілі вирази) застосувати умову рівності дробу нулю;
4) знайти корені чисельника;
5) перевірити, чи не дорівнює знаменник нулю при цих значеннях

невідомого;
6) записати відповідь.
Приклад

Дріб дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли чисельник дорівнює нулю, а знаменник відмінний від нуля:

;

.
Якщо

, то

.
Якщо

src="/images/sprav-ukr1133_fmt2.jpeg" class=""/>, то

.
Відповідь:

.
До дробових раціональних рівнянь приводить велика кількість задач на рух та спільну роботу.
Приклади
Задача 1 (на рух). Теплохід пройшов течією річки 150 км і повернувся назад, витративши на весь шлях 5,5 години. Знайдіть швидкість течії річки, якщо швидкість теплохода в стоячій воді 55 км/год.
Розв’язання

	150
Проти течії			150

Нехай швидкість течії річки х км/год. Тоді за течією теплохід рухався зі швидкістю км/год і пройшов 150 км за год. Проти течії теплохід рухався зі швидкістю км/год і пройшов 150 км за год. За умовою задачі, на весь шлях він витратив 5,5 год.
Складемо й розв’яжемо рівняння:
,

,

,

,
,
; . Розв’язок –5 не задовольняє умову задачі: швидкість – число додатне.
Відповідь: швидкість течії 5 км/год.
Задача 2 (на сумісну роботу). Дві бригади, працюючи разом, виконали певне завдання за 4 дні. Скільки днів потрібно на виконання цієї роботи кожній бригаді окремо, якщо першій бригаді для цього потрібно на 6 днів менше, ніж другій?
Розв’язання. (Порівняйте розв’язання із задачею на сумісну роботу за 6-й клас.)
Нехай перша бригада може виконати це завдання за х днів. Тоді другій потрібно днів. Це означає, що за один день перша бригада виконає , а друга – частину всього завдання. За умовою задачі, разом вони можуть виконати все завдання за 4 дні, тобто в день дві бригади, працюючи разом, виконують всього завдання.
Складемо й розв’яжемо рівняння:
, ,

.
За теоремою Вієта: , . Корінь не задовольняє умову задачі, тому що час – число додатне.
; .
Відповідь: першій бригаді потрібно 6 днів, другій – 12 днів.