Головна ⇒ 📌Плани-конспекти уроків по математиці ⇒ Періодичність тригонометричних функцій

Періодичність тригонометричних функцій

УРОК 8

Тема. Періодичність тригонометричних функцій

Мета уроку: Введення поняття періодичної функції; знаходження найменших додатних періодів тригонометричних функцій; формування умінь знаходити періоди функцій

У = sin (kx + b), у = cos (kx + b),

У = tg (kx + b), у = ctg (kx + b).

І. Перевірка домашнього завдання

1. Побудуйте на одиничному колі точку Р?, на яку відображаються початкова точка Р0 (1; 0) при повороті на? рад навколо центра, якщо:

І в.

ІІ в.

. (3

бали)

. (3 бали)

2. Знайдіть

, , , . (4 бали)

2. Знайдіть

, , , . (4 бали)

3. Визначте знак добутку

Sin 1 ? cos 2 ? tg 3. (5 бали)

3. Визначте знак добутку

Сos 1 ? sin 2 ? ctg 3. (5 бали)

Відповідь:

І в.: 1. Рис. 55. 2. , , ,

class=""/>. 3. Плюс.

ІІ в.: 1. Рис. 56. 2. , , , .3.мінус.

II. Формування поняття періодичної функції, періодe функції

У природі часто зустрічаються явища, які повторюються періодично. Наприклад, Земля при обертанні навколо Сонця періодично повертається У своє початкове положення через рік, два роки, три роки і т. д., тому говорять, що період обертання Земля навколо Сонця дорівнює одному року. Періодичний характер мають рухи маховика і колінчатого вала. Властивість періодичності мають звукові, електромагнітні явища, робота серця людина і т. д. Закономірності періодичних явищ описуються періодичними функціями, до вивчення яких ми і приступаємо.

Функція у = f(x) називається періодичною з періодом Т 0, якщо для будь-якого х із області визначення числа х + Т і х – Т також належать області визначення і виконується рівність f(x + Т) = f(x – Т) = f(x).

Так як одній і тій самій точці Р? одиночного кола відповідає нескінченна множина дійсних чисел? + 2?k, де k Z, то

Sin(? + 2nk) = sin?

Cos(? + 2nk) = cos?

Звідси випливає, що 2nk – періоди функції синус і косинус (k 0).

Доведемо, що число 2? є найменшим додатним періодом функції у = cos х. Нехай? > 0 – період косинуса, тобто для будь-якого х виконується нерівність cos (х + ?) = cos x. Взявши х = 0, одержимо cos Т = 1. Звідси? = 2nk, k ?. Через те що? > 0, ? може дорівнювати 2?, 4?, 6?… і тому період не може бути меншим 2?.

Можна довести, що найменший період функції у = sin x теж дорівнює 2?. Нехай? – довільний період синуса. Тоді sin(x + ?) = sin x для будь-якого х. Взявши х = , одержимо sin = sin = 1, але sin = 1, якщо Т + = + 2?n, n ?, тому? = 2?n. Найменше додатне число виду 2?n, n? є число 2?.

Доведемо, що найменшим додатним періодом функції у = tg х є число?. Нехай Т – додатний період тангенса, тобто tg(x+ Т) = tg х. Взявши х = 0, маємо tg Т = tg 0 = 0. Звідси Т = ?n, n ?. Через те що найменше ціле додатне n = 1, ? – найменший період функції у = tg х. Найменшим додатним періодом котангенса теж є число?. Отже, tg (? + ?n) = tg?, ctg (? + ?n) = ctg?.

Як правило, слова “найменший додатний період” опускають. Прийнято говорити, що період тангенса і котангенса дорівнює?, а період косинуса і синуса дорівнює 2?.

Справедливе твердження.

Якщо функція у = f(x) періодична і має період Т, то функція у = Af(kx + b), де А, k, b – постійні (k 0), також періодична, причому її період дорівнює .

Доведемо це твердження.

Спочатку доведемо, що T0 = є періодом функції у = Af(kx + b):

Af(k(x + T0) + b) = Af= Af(kx ± T + b) = Af(kx + b ± T) = Af(kx + b).

Нехай T0 – період функції у == Af(kx + b), тобто

Af(k(x + T0) + b)= Af(kx + b),

Af(kx +b+ kT0) = Af(kx +b).

Позначивши kx + b = x1, маємо Af(x + kT0) = Af(x1).

Через те що найменшим періодом функції f(x) є Т, то ¦k¦T0 = ?, звідси Т0 = .

III. Усвідомлення поняття періодичної функції

1. Обчисліть: a) sin 1470°; б) tg 1860°; в) cos 1140°; г) ctg 1125°.

Відповідь: а) ; б) ; в) ; г) 1.

2. Знайдіть значення: a) sin ; б) cos ; в) tg ; г) ctg.

Відповідь: а) ; б) ; в) ; г) 1.

3. Знайдіть найменший додатний період функцій:

А) у = Sin2х; б) у = 3cos 4x; в) y = 5tg; г) y=0,6ctg.

Відповідь: а) ?; б) ; в) ; г) 4?.

4. Знайдіть значення sin?, якщо:

A) sin (? + 2?) = 0,3;

Б) sin (4? – ?) = 0,2;

В) sin (? + 6?) = 0,5;

Г) sin (? – 2?) = 0,1.

Відповідь: а) 0,3; б) -0,2; в) 0,5; г) 0,1.

IV. Підсумок уроку

V. Домашнє завдання

Розділ І § 5. Запитання і завдання для повторення до розділу І № 47-49. Вправа № 24 (1-3). Повторіть геометричні перетворення графіків функцій (таблиця 1 підручника).