Головна ⇒ 📌Математика ⇒ ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ

ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ

РОЗДІЛ II ОДНОЧЛЕНИ

&6. ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ

Ви знаєте, що додавання і віднімання – це дії першого ступеня, множення і ділення – дії другого ступеня, а піднесення до степеня – дія третього ступеня. Зі степенями можна виконувати всі ці дії. Наприклад:

33 + 32 = 27 + 9 = 36,

33 – 32 = 27 – 9 = 18,

33 ∙ 32 = 27 ∙ 9 = 243,

33 : 32 = 27 : 9 = 3,

(33)2 = 272 = 729.

Проте безпосередні обчислення не завжди легко виконувати, наприклад, якщо основа і показник кожного зі степенів – великі числа. Якщо ж степені задано в буквеному вигляді, тоді безпосередні

обчислення взагалі незастосовні.

Тут дії зі степенями виконують на основі властивостей степенів. При цьому розрізняють два випадки: 1) рівні основи;

2) різні основи.

1. Дії першого ступеня зі степенями

Для степенів як з рівними, так і з різними основами виконуються переставний і сполучний закони додавання.

2. Дії другого ступеня зі степенями

Для степенів як з рівними, так і з різними основами виконуються переставний і сполучний закони множення, а також розподільний закон множення відносно додавання.

Інші властивості дій другого ступеня зі степенями дозволяють згортати в один степінь добуток

(або частку) двох степенів. Розглянемо спочатку степені з рівними основами.

Запам’ятайте!

Теорема 1 (основна властивість степенів).

Добуток двох степенів з рівними основами дорівнює степеню з тією ж основою і показником, що дорівнює сумі показників множників:

An ∙ am = an+m

Дано: аn, аm, де а – будь-яке число, n і m – натуральні числа.

Д о в е с т и: an ∙ am = аn+m.

Доведення. Спираючись на означення степеня, спочатку розгорнемо кожний степінь у добуток, а потім згорнемо отриманий результат у степінь:

ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ

Отже, аn ∙ am = аn+m.

? Чи можна застосувати основну властивість степенів до множення кількох степенів з однією основою? Так.

Наприклад:

Аn ∙ аn ∙ аk = (аn ∙ аm) ∙ аk = аn+m ∙ аk = аn+m+k.

Запам’ятайте!

Теорема 2 (властивість частки степенів із рівними основами).

Частка двох степенів з рівними основами, відмінними від нуля, дорівнює степеню з тією ж основою і показником, що дорівнює різниці показників діленого і дільника:

Аn : аm = аn-m (n>m).

Д а н о: аn, аm, де а ≠ 0, n і m – натуральні числа, n > m.

Д о в е с т и: аn : am = аn-m.

Доведення. Спираючись на означення степеня, спочатку розгорнемо кожний степінь у добуток:

ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ

Оскільки n > m і для a ≠ 0 ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ = 1,то в отриманому виразі можна виділити m множників ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ, що дорівнюють 1, і n – m множників, що дорівнюють а:

ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ

За означенням степеня:

ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ

Отже, аn : аm = аn-m.

? Чому в теоремі 2 на показники степенів накладено обмеження n > m? Тому що для n ≤ m у частці дістанемо степінь, показник якого не є натуральним числом.

Зверніть увагу:

Дії другого ступеня зі степенями, що мають рівні основи, зводяться до відповідних дій першого ступеня з їх показниками:

– множення степенів – до додавання їх показників;

– ділення степенів – до віднімання їх показників.

Запам’ятайте!

Теорема 3 (властивість добутку степенів із різними основами і рівними показниками).

Добуток n-их степенів чисел а і b дорівнює n-му степеню добутку аb:

Аn ∙ bn = (аb)n.

Д а н о: an, bn, а і b – будь-які числа, n – натуральне число.

Д о в е с т и: аn ∙ bn = (ab)n.

Д о в е д е н н я. Спираючись на означення степеня, спочатку розгорнемо колений степінь у добуток, перегрупуємо множники, а потім згорнемо отриманий результат у степінь:

ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ

Отже, аn ∙ bn = (ab)n.

Сформулюємо без доведення властивість степеня добутку двох чисел: n-й степінь добутку чисел а і b дорівнює добутку їх n-их степенів. Тобто для будь-яких чисел а i b:

(ab)n = an ∙ bn.

Розглянемо властивість ділення степенів.

Теорема 4 (властивість частки степенів із різними основами і рівними показниками).

Частка n-их степенів чисел а і b (b ≠ 0) дорівнює n-му степеню частки ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ:

ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ = (ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ)n

Д а н о: аn, bn, а – будь-яке число, b ≠ 0, n – натуральне число.

Д о в е с т и:

ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ = (ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ)n.

Д о в е д е н н я. Спираючись на означення степеня, розгорнемо в добуток степені, що є відповідно діленим і дільником:

ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ

Перегрупуємо компоненти отриманого виразу і застосуємо означення степеня:

ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ

Отже,

ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ = (ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ)n.

Сформулюємо без доведення властивість степеня чистки двох чисел: n-й степінь частки чисел а і b (b ≠ 0) дорівнює частці їх n-их степенів. Тобто для будь-якого числа а і b ≠ 0:

(ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ)n = ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ

ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ

Або (а : b)n = аn : bn.

3. Дії третього ступеня зі степенями

Ви знаєте, що до дій третього ступеня належить дія піднесення до степеня. Степені також можна підносити до степеня з натуральним показником. Розглянемо властивість такої дії.

Запам’ятайте!

Теорема 5 (властивість піднесення степеня до степеня).

Для степеня з показником m його n-й степінь дорівнює степеню з тією ж основою і показником mn:

(аm)n = аmn

Д а н о: аm, (аm)n, де m і n – натуральні числа.

Д о в е с т и: (аm)n = аmn.

Доведення. Скористаємось означенням та основною властивістю степеня. Тоді дістанемо:

ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ

Отже, (аm)n = аmn.

У виразі (аm)n показники m і n називатимемо відповідно внутрішнім і зовнішнім показниками.

Зверніть увагу:

Дія третього ступеня зі степенем зводиться до відповідної дії другого ступеня із внутрішнім і зовнішнім показниками:

Піднесення степеня до степеня – до множення двох показників.

Дізнайтеся більше

Михайло Пилипович Кравчук (1892-1942) – український математик, академік АН УРСР (з 1929), доктор фізико-математичних наук (з 1924), професор Київського Політехнічного інституту. Народився в селі Човницях на Волині в сім’ї землеміра.

М. П. Кравчук був учителем багатьох видатних людей минулого століття: Архипа Люльки – конструктора реактивних авіадвигунів, Сергія Корольова – конструктора космічних кораблів, академіка Володимира Челомея. Методи М. П. Кравчука були використані в США, Японії та інших країнах для моделювання кібернетичної техніки, а також для створення першого у світі комп’ютера М. П. Кравчук був співавтором першого тритомного словника української математичної термінології.

ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ

ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ

1. Які дії зі степенями можна виконувати?

2. Які закони справджуються для дій зі степенями першого ступеня; другого ступеня?

3. Яка основна властивість степенів? Доведіть її.

4. Сформулюйте і доведіть властивість частки степенів з рівними основами.

5. Яка властивість добутку степенів з різними основами і рівними показниками? Доведіть її.

6. Сформулюйте і доведіть властивість частки степенів з різними основами і рівними показниками.

7. Яка властивість піднесення степеня до степеня? Доведіть її.

РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ

242. Яка з формул є правильною:

1) bn ∙ bm = 2bn∙m;

2) bn ∙ bm = bn ∙ m;

3)bn ∙ bm = bn+m?

243. Назвіть показник степеня, якому дорівнює добуток степенів:

1)53 ∙ 52;

2) 66 ∙ 610;

3)7 ∙ 74;

4)82 ∙ 82.

244. Яка з формул є правильною:

1) сn : сm = сn∙m ;

2) сn : сm = сn:m;

3) сn : сm = сn-m?

245. Назвіть показник степеня, якому дорівнює частка степенів:

1) 53 : 52;

2) 610 : 66;

3) 74 : 7;

4) 82 : 82.

246. Назвіть основу степеня, якому дорівнює добуток степенів:

1) 43 ∙ 23;

2) 36 ∙ 126;

3)1610 ∙ 210;

4)82 ∙ 82

247. Чи є правильною рівність:

1)(12 + 4)3 = 123 + 43; 3) (12 ∙ 4)3 = 123 + 43;

2)(12 + 4)3 = 123 – 43; 4) (12 ∙ 4)3 = 123 ∙ 43?

248. Назвіть основу степеня, якому дорівнює частка степенів:

1)43 : 23; 2) 126 : 36; 3) 1610 : 210; 4) 82 : 82.

249.Чиє правильною рівність:

1) (12 – 4)3 = 123 – 43; 3) (12 : 4)3 = 123 – 43;

2) (12 – 4)3 = 123 : 43; 4) (12 : 4)3 = 123 : 43?

250. Яка з формул є правильною:

1) (dn)m = dn+m;

2) (dn)m= dn-m;

3) (dn)m= dn:m ;

4) (dn)m = dn∙m?

251. Назвіть показник степеня, якому дорівнює степінь степеня:

1) (53)2; 2) (66)10; 3)(71)4; 4)(82)2.

252. Запишіть у вигляді степеня з основою 2:

1) 28 ∙ 23;

2) 25 ∙ 26 ∙ 210;

3) 2 ∙ 213 ∙ 216;

4) 22 ∙ 24 ∙ 26 ∙ 28 ∙ 210.

253. Запишіть у вигляді степеня з основою 8:

1) 85∙ 8;

2) 816 ∙ 89 ∙ 820;

3) 83 ∙ 83 ∙ 84.

254. Запишіть у вигляді степеня добуток:

1) 107 ∙ 105;

2) 0,3 ∙ 0,32;

3) (-4,5)33 ∙ (-4,5)44 ∙ (-4,5)55;

4) -4 ∙ (- 4)9;

5) а ∙ a54 ∙ а36 ∙ а ∙ а8;

6) (-n)4 ∙ (-n)4 ∙ (-n)4;

7)2,14 ∙ 2,13 ∙ 2ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ;

8) (-xy)5 ∙ (-xy)8 ∙ (-хy)32;

9) ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ ∙ (ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ)2 ∙ (ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ)3b≠0;

10. (ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ)2 ∙ (ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ)102 ∙ (ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ)202 (b≠0).

255. Запишіть у вигляді степеня добуток:

1) 54 ∙ 53 ∙ 56 ;

2) 0,01 ∙ 0,019;

3) с2 ∙ с8;

4) (-p)3 ∙ (-p)27.

5) m4 ∙ m7 ∙ m12;

6) а ∙ а67 ∙ а3 ∙ а ∙ а;

7) (-x)2∙ (-x)15∙ (-х)23;

8) ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ ∙ (ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ)6 ∙ (ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ)4c≠0;

256. Запишіть у вигляді добутку степенів:

1)5m+n;

2) 10n+p;

3) 0,8n+m+1.

257. Подайте степінь а64 у вигляді добутку двох степенів, один з яких:

1) а32; 2) а62; 3) а14; 4) а30.

258. Подайте степінь mn25 у вигляді добутку двох степенів, один з яких:

1) m2; 2) m5; 3) m15; 4) m24.

259. Запишіть у вигляді степеня з основою 11:

1)1114 : 114;

2) 1110 : 116 : 111;

3) 1126 : 1113 : 1111.

260. Запишіть у вигляді степеня з основою 8:

1) 85 : 8;

2) 816 : 89 : 82;

3) 8а : 83 : 84.

261. Обчисліть:

1) ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ;

2) (0,2)14: (ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ)10;

3) ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ.

262. Запишіть у вигляді степеня частку:

1) ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ;

2) ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ;

3) ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ (a≠0);

4) ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ (c≠0).

263. Запишіть у вигляді частки степенів:

1) 2n-m;

2) 9n-3;

3)10010-n.

264. Запишіть у вигляді степеня з основою 0,1:

1)0,19 ∙ 0,116: 0,16;

2)ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ;

3)ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ.

265. Запишіть у вигляді степеня з основою 5:

1) 56 ∙ 59 : 53;

2)ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ;

3) ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ.

266. Запишіть у вигляді степеня з основою 12:

1) 25 ∙ 65;

2) 37 ∙ 47;

3) 24 ∙ 24 ∙ 34.

267. Запишіть у вигляді степеня з основою 30:

1) 321 ∙ 1021;

2) 69 ∙ 59;

3)26 ∙ 36 ∙ 56.

268. Знайдіть *, якщо:

1) 245 = 25 ∙ (*)5;

2) 367 = 67 ∙ (*)7;

3) 362 = 22 ∙ (*)2 ∙ 92.

269. Знайдіть *, якщо:

1)10011 = 211 ∙ (*)11;

2) 1008 = 258 ∙ (*) 8;

3) 10034 = 234 ∙ (*)34 ∙ 534.

270. Запишіть у вигляді степеня з основою 2:

1) 128 : 68;

2) 67 : 37;

3) 164 : 84;

4) ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ.

271. Запишіть у вигляді степеня з основою 3:

1) 1510 : 510; 2)273 : 93; 3)425 : 145.

272. Обчисліть:

1) (-6 ∙ 0,3) 3 : (-6)3;

2) (4 ∙ 3)3 : 122;

3) ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ.

4) ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ.

273. Обчисліть:

1) (5 ∙ 8)4 : (8)4;

2) (2 ∙ 0,25)5 : 0,255;

3) ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ.

274. Запишіть у вигляді степеня:

1) (а3)2; 2) (а5)10; 3) (m4)6; 4) (сm)2.

275. Запишіть у вигляді степеня:

1)(35)10;

2)((-4)11)9;

3) ((-3,5)10)4;

4) ((-1)4)13;

ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ

276. Обчисліть:

1) ((-2)2)3;

2) ((-10)2)3;

3) ((-1 )6)3.

277. Знайдіть а6, якщо а3 дорівнює:

1) 10; 2) -2; 3) -0,3; 4) ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ.

278. Знайдіть n:

1) (235)36 = (235n)9; 3) (4,5)36 = (4,52)n;

2) (8)36 = (8n)6; 4) (5,09)36 = (5,09n)2.

279. Поставте знак <, >, = між виразами:

1) ((- 2)6)3 і ((- 2)5)2; 3) (- 1,7)5 і (02)2;

2) ((- 2)5)2 і ((- 2)2)5; 4) ((-1 )5)2і (-1)32.

280. Запишіть у вигляді степеня з основою 3:

1) (33)5 ∙ 32 : 312;

ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ

281. Запишіть у вигляді степеня з основою 8:

1)(810)8 : (87)10;

ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ

282. Запишіть у вигляді степеня з основою 0,5:

1)0,25 – 0,125;

2)0,5 ∙ ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ ∙ ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ;

3)0,00625 ∙ 2 ∙ 5.

283. Запишіть у вигляді степеня з основою -2:

1) -8 ∙ 4;

2) -2 ∙ 4 ∙ 16;

3) -32 ∙ 64.

284. Запишіть у вигляді степеня:

1) (-20)4 ∙ 203; 3) а1 ∙ а2 ∙ а3 ∙…∙ а8;

4) а2 ∙ а4∙…∙а10.

285. Подайте степінь а30 у вигляді частки двох степенів, якщо дільник дорівнює:

1)а8; 2) а5; 3)а16; 4 )а29.

286. Знайдіть х, якщо b ≠ 0, a ≠ 0 і:

1) а12b36 = а2b10 ∙ х; 3) а12b36 = a22b36 : х;

2) а12b36 = а4b6 – х; 4) a12b36 = a100b100 : х.

287. Знайдіть х, якщо b * 0, a * 0 і:

1) а12b36 = аb ∙ х; 3) a12b36 = х : ab;

2 )а12b36 = b30 ∙ х; 4) a12b36 = х : b30.

288. Знайдіть значення виразу а2 ∙ b2, якщо:

1) а = 27, b = –ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ; 2) а = -36, b = -1ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ.

289. Знайдіть добуток:

1)2,5 ∙ 103см і 2 ∙ 102м; 3) 5,4 ∙ 103кг і 1,5 ∙ 1010;

2) 8 ∙ 109м і 0,1 ∙ 103 км; 4) 122 ∙ 108 г і 0,5 ∙ 104.

290. Знайдіть частку:

1) 6 ∙ 103м і 3 ∙ 102 см; 3) 104 кг і 5 ∙ 107 г;

2) 106см і 0,1 ∙ 103 м; 4) 4,8 ∙ 106 г і 0,3 ∙ 104.

291. Знайдіть значення виразу (а ∙ b)3 : с3, якщо:

1) а = 7, b = -6,5, с =45,5;

2) а =ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ , b = 6ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ, с = 4,5.

292. Запишіть вираз у вигляді степеня:

1) (ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ)2 ∙ 0,25 ∙ 412; 4) 514 ∙ 0,018 ∙ 52 ∙ 0,018;

2) 8 ∙ 0,32 ∙ 85 ∙ 0,34; 5) (ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ)65 ∙ (2ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ)35;

3) (ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ)4 ∙ (1ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ)11; 6) (ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ)642 ∙ 4,2535;

293. Винесіть за дужки 3n:

1) 38n + 3n+6; 2) 3n-2 ∙ 32n; 3)33n+5 + 3n+1.

294. Винесіть за дужки 2n:

1)25n + 2n+1; 2)2n – 2n ∙ 22n; 3)25n+2 – 3 ∙ 2n+3.

295. Подайте степінь 512 у вигляді степеня з основою:

1) 56; 2) 52; 3) 53; 4)54

296. Подайте степінь 442 у вигляді степеня з основою:

1)47; 2) (-4)6; 3)16; 4)64.

297. Знайдіть m12, якщо m2 дорівнює:

1)10; 2)0,1; 3) ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ.

298. Знайдіть с6, якщо с3 дорівнює:

1) -10; 2) 0,1; 3) –ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ.

299. Запишіть у вигляді степеня:

1)((22)3)4; ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ

ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ

300. Спростіть вираз:

1) ((2а5)2 ∙ а3)6 ∙ 0,5а2 : (4а10)3 (а ≠ 0);

2) (6а4)2 ∙ с3 ∙ а6)2 : (27а4 ∙ (4с)3) (с ≠ 0, а ≠ 0);

ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ

301. Спростіть вираз:

1) (а16а4)3 : (а10а3)2(а ≠ 0); 3) (а16 : а4)3 ∙ (а10 : а3)2(а ≠ 0);

2) (а16 а4)3 – (а10а3)2; 4) (а16 : а4)3 : (а10 : а3)2(а ≠ 0).

302. Обчисліть:

1) -5 ∙ ((- 5)3)4 : 255 – (-10)2;

2) ((- 1)3)7 : 54 ∙ ((-50)2)2;

3) (ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ)4 ∙ (- ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ)2;

4) – 23 ∙ (- 5)2 ∙ (- 22) ∙ (- 5)3

303. Запишіть у вигляді степеня:

1) (а8)n : (аn)6(а ≠ 0);

2) (хm)n – (xn);

3) ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ ∙ (c5n+2)2 (c ≠ 0);

4) (a2+n)n ∙ an(1-n) : (-a)2n (a ≠ 0).

304. Розв’яжіть рівняння:

1) 67(х8 ∙ (-х)8)3 = 0; 2) ((16 + 4х)2)5 = 0.

305. Розв’яжіть рівняння:

1) 53 ∙ (х3- (-х)3)6 = 0; 2) ((1,2 – 3х)4)6 = 0.

306. Порівняйте значення виразів:

1)((-4)3)5 і ((-4)5)7; 2) -98 і (-3)3; 3) 530 і 360; 4) 108 і 912.

307. Визначте знак виразу:

1) ((-а)3 ∙ (-а)5)7, якщо а < 0;

2) (-х)3 ∙ (-x ∙ у3)15, якщо х < 0, у > 0.

308. Якою цифрою закінчується число:

1) 545; 2) 1023; 3)610; 4) 111222?

309. Винесіть за дужки аn:

1) 2аn + а4n + 2; 2)а2nс + аn + 10 + аn.

310. Знайдіть знаменник дробу ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИПісля скорочення.

311. Розв’яжіть рівняння:

1) (ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ)4 ∙ 5,24 – х = 2; 3) 812 – х2 = 344 – 174 ∙ 24;

2) х : 73 = (ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ)3 ∙ (-0,25)3; 4)-12х = 67 – (ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ)5 ∙ 0,755.

312. Розв’яжіть рівняння:

1) 5х = (-1,6)4 : (0,84 : 0,54); 3) 48 = (367 : 97) ∙ х2;

2) 0,56 : (ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ)5 = 32х; 4) 0,125 ∙ ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИХ = (2ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ)3: 173.

313. Знайдіть значення виразу

((а1)100) – 1) ∙ ((а2)50) – 1) ∙ ((а4)26) – 1) ∙ ((а5)20) – 1) ∙ ((а10)10) – 1) ∙ ((а20)50) – 1) ∙ ((а25)4) – 1) ∙ ((а50)2) -1) ∙ ((а100)1) – 1), якщо:

1)а = -1; 2)а = 1; 3)а = 0.

314. Доведіть, що число З2016 закінчується цифрою 7.

315. Якою цифрою закінчується число:

1) 209209; 2)20138; 3) 2722; 4) 445?

316. Порівняйте значення виразів:

1) 368 і 48 ∙ 37; 3) 1520 i 99 ∙ 521; 5)2812 і 918;

2) 616 ∙ 217 і 414 ∙ 316; 4) 49 ∙ 612 і 811 ∙ 38; 6) 1124 i 536.

317. Обчисліть

ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ

ЗАСТОСУЙТЕ НА ПРАКТИЦІ

318. Відстань від Землі до Сонця 150 ∙ 106 км. За який час світло подолає цю відстань, якщо швидкість світла у вакуумі дорівнює 3 ∙ 108 м/с?

319. Апогей – це найбільш можлива відстань від Землі до Місяця. Вона становить близько 4 ∙ 105 км. За який час космічний апарат, що рухається зі швидкістю 2 ∙ 108 м/год, подолає цю відстань?

ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ

320. Знайдіть значення виразу:

1) (ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ – ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ – ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ : 2ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ) ∙ 1ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ : (3,2 + 0,8(5,5 – 3ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ);

2) 43,75 : 11ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ + 12ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ ∙ 3ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ – 23,4 : 1,8.

321. Знайдіть різницю виразу а – с і числа р, якщо:

1) а = 93,06, с = 21,65, р = 103,06;

2) а = 340,5, с = 20,05, p = 214,5.

322. прямокутнику зі сторонами 10 дм і 20 дм кожну сторону збільшили на 50 %. Якого периметра прямокутник одержали.

323. У трикутнику зі сторонами 10 см, 8 см і 6 см кожну сторону зменшили на 20 %. На скільки сантиметрів зменшився периметр трикутника?


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (1 votes, average: 5.00 out of 5)
Loading...


Related posts:

  1. Властивості степеня з натуральним показником Розділ 1. ЦІЛІ ВИРАЗИ & 4. Властивості степеня з натуральним показником Розглянемо властивості степеня з натуральним показником. Вираз а3а2 є добутком двох степенів з однаковими основами. Застосувавши означення степеня, цей добуток можна переписати так: А3а2 = (ааа) ∙ (аа) = ааааа = а5. Отже, а3а2 = а5, тобто a5 = а2 + 3. У той […]...

  2. Степінь з натуральним показником Математика – Алгебра Одночлени Степінь з натуральним показником Степенем Числа a з натуральним показником n, більшим за 1, називається добуток n множників, кожний із яких дорівнює a. Тобто де a – основа степеня; n – показник степеня. Степенем числа a з показником 1 є са­­ме число a. Знак степеня з натуральним показником 1. Якщо основа […]...

  3. Властивості степеня з цілим показником – СТЕПЕНІ, КОРЕНІ, ЛОГАРИФМИ Формули й таблиці МАТЕМАТИКА СТЕПЕНІ, КОРЕНІ, ЛОГАРИФМИ Степінь числа з натуральним показником n – добуток Позначуване аn; число а називається основою, а натуральне число n > 1 – показником степеня. Степінь числа з натуральним показником n називають n-м степенем числа а. Другий степінь числа називають квадратом цього числа. Степінь числа з нульовим показником – вираз […]...

  4. Властивості степеня з натуральним показником (продовження). Степінь степеня Урок № 23 Тема. Властивості степеня з натуральним показником (продовження). Степінь степеня Мета: свідоме засвоїти зміст властивостей піднесення степеня до степеня, виробляти вміння виконувати перетворення виразів із застосуванням раніше набутих знань про властивості степеня в комплексі з названою властивістю; систематизувати знання учнів про властивості степеня. Тип уроку: засвоєння знань, умінь та навичок. Хід уроку I. […]...

  5. ТИПИ СТЕПІНЬ ЧИСЛА РОЗДІЛ 4 СТЕПІНЬ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА З НАТУРАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ. ПЛОЩІ ТА ОБ’ЄМИ ФІГУР У розділі дізнаєтесь: Що таке степінь числа і як він пов’язаний із дією множення; Про дію піднесення до степеня та її властивості; Що таке квадрат і куб числа; Який порядок виконання дій у виразах, що містять степені; Що таке многокутник та які його […]...

  6. Властивості степеня з натуральним показником. Добуток степенів з однаковою основою Урок № 21 Тема. Властивості степеня з натуральним показником. Добуток степенів з однаковою основою Мета: домогтися свідомого розуміння учнями властивості добутку степенів з однією основою та сформувати вміння перетворювати числові та буквені вирази з використанням цієї властивості. Тип уроку: засвоєння знань, умінь та навичок. Хід уроку I. Перевірка домашнього завдання (Зібрати зошити) II. Актуалізація, опорних […]...

  7. Степінь натурального числа з натуральним показником Розділ 1 НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА І ДІЇ З НИМИ. ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ І ВЕЛИЧИНИ § 7. Степінь натурального числа з натуральним показником Уже відомо, що суму, в якій всі доданки рівні між собою, можна записати коротше – у вигляді добутку. Наприклад, У математиці є спеціальний спосіб і для запису добутку, в якому всі множники рівні між собою. […]...

  8. Степінь числа Розділ I НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА І ДІЇ З НИМИ § 3. МНОЖЕННЯ І ДІЛЕННЯ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ 20. Степінь числа Як ви знаєте, за допомогою добутку зручно записувати суму кількох рівних доданків. Наприклад, 7+7+7 + 7 = 7∙4. У математиці придумали спосіб коротко записувати добуток, у якому всі множники рівні. Наприклад, 7 ∙ 7 ∙ 7 ∙ […]...

  9. СТЕПІНЬ З НАТУРАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ РОЗДІЛ II ОДНОЧЛЕНИ &5. СТЕПІНЬ З НАТУРАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ Подивіться на малюнки 3 і 4. Ви бачите квадрат зі стороною а (мал. 3) і куб з ребром а (мал. 4). Ви знаєте, як знайти площу квадрата й об’єм куба та як записати результат за допомогою відповідних виразів: а2 і а3. Узагалі, добуток n рівних множників, кожний […]...

  10. ВЛАСТИВОСТІ СТЕПЕНЯ З НАТУРАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ Цілі: – навчальна: удосконалити вміння застосовувати властивості степенів до розв’язування задач; – розвивальна: формувати вміння міркувати за аналогією; розвивати увагу, логічне мислення, пам’ять; – виховна: виховувати об’єктивність та чесність під час оцінювання власних знань, старанність, наполегливість у досягненні мети; Тип уроку : удосконалення вмінь і навичок. Обладнання та наочність: Хід уроку І. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ ЕТАП ______________________________________________________ […]...

  11. Степінь з натуральним показником. Одночлени Урок № 29 Тема. Степінь з натуральним показником. Одночлени Мета: узагальнити та систематизувати знання та вміння учнів, набуті в ході вивчення названої теми, підготовити учнів до тематичного оцінювання. Обладнання: таблиця “Степінь. Властивість степеня”. Тип уроку: узагальнення та систематизація знань та вмінь. Хід уроку I. Перевірка домашнього завдання @ Цей етап уроку є ще аналізом самостійної […]...

  12. Квадрат і куб від’ємного числа Урок № 8 4 Тема. Квадрат і куб від’ємного числа Мета: повторити поняття квадрата та куба числа (степінь з натуральним показником) та з’ясувати властивості квадрата і куба від’ємного числа; продовжити роботу на удосконалення умінь виконувати додавання та множення раціональних чисел із використанням їх властивостей. Тип уроку: застосування знань, вмінь, навичок. Хід уроку I. Перевірка домашнього […]...

  13. Властивості степеня (продовження). Частка степенів з однаковою основою Урок № 22 Тема. Властивості степеня (продовження). Частка Степенів з однаковою основою Мета: домогтися свідомого розуміння учнями властивостей степеня з натуральним показником (частка степенів) та виробити вміння застосовувати ці властивості для спрощення виразів разом з іншими властивостями степеня, вивченими раніше. Тип уроку: засвоєння знань, умінь та навичок. Хід уроку I. Перевірка домашнього завдання. Актуалізація опорних […]...

  14. Узагальнення поняття степеня УРОК 40 Тема. Узагальнення поняття степеня Мета уроку. Формування поняття степеня з раціональним показником, степінь з ірраціональним показником. І. Перевірка домашнього завдання 1. Відповіді на запитання, що виникли в учнів при розв’язуванні домашнього завдання. 2. Колективне розв’язування нерівності < 4 – х. Відповідь: 0 < х < 2. II. Повторення і систематизація знань учнів про […]...

  15. ОДНОЧЛЕН. ДІЇ З ОДНОЧЛЕНАМИ РОЗДІЛ II ОДНОЧЛЕНИ &7. ОДНОЧЛЕН. ДІЇ З ОДНОЧЛЕНАМИ Ви вже знаєте, що таке числовий вираз і вираз зі змінними, які вирази називають сумою, різницею, добутком, часткою, натуральним степенем чисел (чи змінних), які вирази відносяться до цілих виразів. Запам’ятайте! Цілий вираз, що є добутком чисел, змінних та їх натуральних степенів, називається одночленом. Наприклад, кожен із добутків […]...

  16. Означення степеня з цілим від’ємним показником Урок № 24 Тема. Означення степеня з цілим від’ємним показником Мета: домогтися засвоєння учнями змісту означення степеня з цілим від’ємним показником (для цілої та дробової основи степеня); сформувати вміння відтворювати означення степеня та застосовувати його для перетворення степеня з цілим від’ємним показником у дріб, та навпаки, сформувати вміння розв’язувати вправи на обчислення значень числових виразів […]...

  17. Многочлен. Подібні члени многочлена та їх зведення. Стандартний вигляд многочлена. Степінь многочлена Розділ 1. ЦІЛІ ВИРАЗИ & 7. Многочлен. Подібні члени многочлена та їх зведення. Стандартний вигляд многочлена. Степінь многочлена Вираз 7х2у3 – 5ху7 + 9х5 – 8 є сумою одночленів 7х2у3, -5ху7, 9×5 і -8. Цей вираз називають многочленом. Одночлени, з яких складається многочлен, називають членами многочлена. Наприклад, многочлен 7х2y – 5ху7 + 9х5 – 8 […]...

  18. ПОВТОРЕННЯ. СТЕПІНЬ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА З НАТУРАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ. ПЛОЩІ ТА ОБ’ЄМИ ФІГУР Цілі: – навчальна: повторити поняття степеня натурального числа з натуральним показником; узагальнити знання учнів про площі та об’єми фігур; відтворити вміння розв’язувати задачі на обчислення площі прямокутника і квадрата, об’єму прямокутного паралелепіпеда і куба; – розливальна: формувати вміння аналізувати й узагальнювати інформацію; – виховна: виховувати відповідальність, свідоме ставлення до навчання; Тип уроку: узагальнення та систематизація […]...

  19. Степінь з натуральним показником Урок № 20 Тема. Степінь з натуральним показником Мета: розширити знання учнів відомостями про властивості степенів раціональних чисел з парним та непарним показником; сформувати вміння застосовувати ці властивості під час розв’язування вправ. Тип уроку: застосування знань, умінь та навичок. Хід уроку І. Перевірка домашнього завдання @ № 1-2 – вправи на відтворення вмінь, набутих на […]...

  20. Кoрінь n-го степеня та його властивості Математика – Алгебра Степенева функція Кoрінь n-го степеня та його властивості Коренем N-го степеня з числаА називається таке число, n-й степінь якого дорівнює а. Якщо n – число непарне, то існує – і до того ж тільки один – корінь n-го степеня з довільного числа а. Цей корінь – число того ж знака, що число […]...

  21. ПІДНЕСЕННЯ ОДНОЧЛЕНІВ ДО СТЕПЕНЯ. МНОЖЕННЯ ОДНОЧЛЕНІВ Цілі: – навчальна: удосконалити вміння учнів виконувати піднесення одночленів до степеня та множення одночленів;_ – розвивальна: формувати вміння міркувати за аналогією; сприяти вдосконаленню обчислювальних навичок; ______ – виховна: виховувати упевненість у власних силах, позитивне ставлення до навчання, скрупульозність;______________ Тип уроку : удосконалення вмінь і навичок. Обладнання та наочність: Хід уроку І. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ ЕТАП ______________________________________________________ ______________________________________________________ […]...

  22. Одночлен. Стандартний вигляд одночлена Урок № 26 Тема. Одночлен. Стандартний вигляд одночлена Мета: домогтися свідомого розуміння змісту основних понять уроку (одночлен; одночлен стандартного вигляду, коефіцієнт одночлена стандартного вигляду; степінь одночлена); вдосконалювати вміння виконувати перетворення степенів. Тип уроку: засвоєння знань учнів. Хід уроку I. Перевірка домашнього завдання @ Щоб перевірити корекцію самостійної роботи, збираємо зошити на перевірку та за необхідності […]...

  23. Корінь n-го степеня. Арифметичний корінь n-го степеня і його властивості УРОК 33 Тема. Корінь n – го степеня. Арифметичний корінь n – го степеня і його властивості Мета уроку. Повторити відомості про квадратний корінь. Формування понять корінь n-го степеня і арифметичний корінь n-го степеня. Вивчення властивостей коренів n-го степеня. І. Аналіз контрольної роботи з теми “Тригонометричні рівняння і нерівності” II. Повторення відомостей про квадратний корінь […]...

  24. ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ ПОВТОРЕННЯ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ ВИРАЗИ І ТОТОЖНОСТІ Вирази Числові Буквені Запис, в якому використовують тільки числа, знаки арифметичних дій і дужки, називається числовим виразом. Запис, в якому використовують змінні, позначені буквами, числа, знаки арифметичних дій і дужки, називається виразом зі змінними. 24 : 4 + 5 або (12 – 2) ∙ 0,5 (2 + а) : […]...

  25. Одночлен. Стандартний вигляд одночлена Розділ 1. ЦІЛІ ВИРАЗИ & 5. Одночлен. Стандартний вигляд одночлена Розглянемо вирази 7; – ; а9; – b; 7b2m; 4а2 ∙ (-5)ас. Це – числа, змінні, їх степені і добутки. Такі вирази називають одночленами. Вирази а + b2; с3 – 5m; 0,9а2 : m не є одночленами, оскільки містять дії додавання, віднімання, ділення. Спростимо одночлен […]...

  26. Степінь Математика – Алгебра Подільність натуральних чисел Степінь Добуток n однакових множників, кожний із яких дорівнює а, називається n-м Степенем числа А і записується : , де n – натуральне число. Вираз називається степенем, число a – основою степеня, число n – показником сте­пеня. Приклади ; ....

  27. Многочлен та його стандартний вигляд Розв’яжіть задачі 372. 1) є многочленом; 2) є многочленом; 3) є многочленом; 4) є многочленом; 5) не є многочленом; 6) не є многочленом; 376. 1) 1) Ні; 2) ні; 3)так. 377. 1) у випадку 4). 378. Старший член многочлена – x5. 379. Вирази 2×2 – 2×3 та -3x – x3 записані у стандартному вигляді. 380. […]...

  28. Властивості степеня (продовження). Степінь добутку й відношення Урок № 24 Тема. Властивості степеня (продовження). Степінь добутку й відношення Мета: домогтися свідомого розуміння властивості степеня добутку й відношення; виробити вміння застосовувати ці властивості для перетворень виразів і обчислення значень числових виразів. Тип уроку: засвоєння знань, умінь та навичок. Хід уроку І. Перевірка домашнього завдання @ Як і на попередніх двох уроках, перевірку домашнього […]...

  29. Властивості степеня з цілим від’ємним показником Урок № 26 Тема. Властивості степеня з цілим від’ємним показником Мета: закріпити знання учнів про означення та властивості степеня з цілим (від’ємним) показником та сформувати вміння використовувати їх для розв’язування вправ на обчислення значень числових виразів та перетворень виразів зі змінними. Тип уроку: відпрацювання навичок, діагностика засвоєння. Наочність та обладнання: опорний конспект “Степінь з цілим […]...

  30. СТЕПІНЬ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА З НАТУРАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ. ПЛОЩІ ТА ОБ’ЄМИ ФІГУР ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ СТЕПІНЬ НАТУРАЛЬНОГО ЧИСЛА З НАТУРАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ. ПЛОЩІ ТА ОБ’ЄМИ ФІГУР 50. Обчисліть: 1)5 ∙ 26 + 22 – 4 ∙З4; 3) б2: 2 ∙ (43-55); 2) 2(2 ∙ 53- 102): 52; 4) 23: 12 ∙ 53-(32 ∙ 5-5). 51. Знайдіть значення виразу а3+ b2, якщо: 1) а = 2, b= 12; 2)а=1,b=1; […]...

  31. Одночлени 261. Одночлени: 262. В стандартному вигляді записані: 263. 1) 5а і 7a – подібні одночлени; 2) 3a2b2c і 6a2b2c – подібні одночлени; 3) 8х2у4 і 8х2у5 – не є подібними; 4) 3у2 і 2у3 – не є подібними; 5) 1/2m7n8 і 1/2m8n7 – не є подібними; 6) -0,1а°610 і 0,1а9610 – подібні одночлени. 264. 1) […]...

  32. СТАНДАРТНИЙ ВИГЛЯД МНОГОЧЛЕНА. СТЕПІНЬ МНОГОЧЛЕНА Цілі: – навчальна: сформувати поняття стандартного вигляду многочлена, степеня многочлена; сформувати вміння записувати многочлен у стандартному вигляді, знаходити степінь многочлена; – розвивальна: формувати вміння бачити закономірності; сприяти вдосконаленню обчислювальних навичок; – виховна: виховувати наполегливість у досягненні мети, почуття відповідальності; Тип уроку : засвоєння нових знань, умінь, навичок. Обладнання та наочність: Хід уроку І. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ ЕТАП […]...

  33. Множення двох багаточленів Урок № 36 Тема. Множення двох багаточленів Мета: продовжувати формувати навички: 1) виконання дії множення двох багаточленів та перетворення цього добутку в багаточлен стандартного вигляду; 2) використання названого алгоритму в комплексі з іншими перетвореннями багаточленів, вивчених раніше. Тип уроку: засвоєння вмінь та навичок. Хід уроку І. Перевірка домашнього завдання @ Оскільки від того, чи засвоїли […]...

  34. Найбільший спільний дільник (нсд) Математика – Алгебра Подільність натуральних чисел Найбільший спільний дільник (нсд) Найбільше натуральне число, на яке ділиться кожне з чисел a і b, називається найбільшим спільним дільником чисел a і b і позначається НСД (a; b). НСД можна шукати для будь-якої кількості чисел. Для знаходження найбільшого спільного дільника кількох натуральних чисел треба розкласти ці числа на […]...

  35. Одночлен і його стандартний вигляд Математика – Алгебра Одночлени Одночлен і його стандартний вигляд Вирази, які являють собою букви, числа, їхні степені й добутки, називаються одночле­нами. Якщо одночлен записаний у вигляді добутку, який містить тільки один числовий множник, що стоїть на першому місці, а всі інші множники є степенями різних букв, то він називається одночленом стандартного вигляду. Будь-який одночлен тотожніми […]...

  36. ЛІЧБА, ВИМІРЮВАННЯ І ЧИСЛА ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ ЛІЧБА, ВИМІРЮВАННЯ І ЧИСЛА 1. Скільки чисел натурального ряду розміщено між числами: 1)120 і 129; 2) 999 і 1100; 3)8901 і 8910; 4) 50000 і 50020? 2. На прямій дано три точки А, В і С. Знайдіть довжину відрізка ВС, якщо АВ = 8 см і АС – 9 см. Скільки розв’язків […]...

  37. Степінь з натуральним показником та властивості степеня з натуральним показником Урок № 25 Тема. Степінь з натуральним показником та властивості Степеня з натуральним показником Мета: повторити, систематизувати та узагальнити знання учнів про означення та властивості степеня числа з натуральним показником; відпрацювати та вдосконалити вміння і навички щодо застосування названих теоретичних відомостей для спрощення виразів та виконання обчислень; здійснити проміжну діагностику засвоєних знань та вмінь у […]...

  38. МАТЕМАТИКА Формули й таблиці МАТЕМАТИКА Натуральні числа Натуральні – числа 1, 2, 3, що використовуються для рахунку предметів. Позначається буквою N. Просте число – натуральне число, що має тільки 2 дільники: самого себе й одиницю. Таких чисел нескінченна множина. Якщо число n – це добуток двох чисел: n = m · k, то воно ділиться без […]...

  39. Дії зі степенями Розв’яжіть задачі. 242. 1) Ні; 2) ні; 3) так. 243. 1) 5; 2) 16; 3) 5; 4)4. 244. 1) Не вірно; 2) не вірно; 3) вірно. 245. 1) 1; 2) 4; 3) 3; 4) 0. 246. 1) 8; 2) 36; 3) 32; 4) 64. 247. 1) Ні; 2) ні; 3) ні; 4) так. 248. 1) […]...

  40. ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ РОЗДІЛ 3 МНОГОЧЛЕНИ &9. ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ МНОГОЧЛЕНІВ Ви знаєте, як додавати й віднімати одночлени. Розглянемо властивості дій першого ступеня з многочленами. Додати (відняти) многочлени – означає скласти вираз, що є сумою (різницею) даних многочленів, та спростити його, якщо це можливо. Задача 1. Знайдіть суму многочленів 15у2 – х2у + 3 і 6х3y2 + 7х2у […]...

Ви зараз читаєте: ДІЇ ЗІ СТЕПЕНЯМИ
«
»