Головна ⇒ 📌Плани-конспекти уроків по математиці ⇒ Геометрична прогресія

Геометрична прогресія

УРОК № 54

Тема. Геометрична прогресія

Мета уроку: домогтися засвоєння учнями: означення геометричної прогресії, відповідної термінології (знаменник геометричної прогресії), її рекурентної формули та основних властивостей геометричної прогресії (включаючи характеристичну властивість).

Виробити вміння: відтворювати зміст вивчених понять, а також використовувати їх для розв’язування задач, що передбачають виділення геометричної прогресії серед інших числових послідовностей, використання рекурентної формули геометричної

прогресії, а також використання її властивостей.

Тип уроку: засвоєння знань, вироблення вмінь.

Наочність та обладнання: опорний конспект № 33.

Хід уроку

I. Організаційний етап

Учитель перевіряє готовність учнів до уроку, налаштовує їх на роботу.

II. Перевірка домашнього завдання

Учитель збирає зошити учнів на перевірку.

III. Формулювання мети і завдань уроку.
Мотивація навчальної діяльності учнів

Для усвідомлення учнями необхідності виділення та подальшого вивчення властивостей геометричної прогресії, винесених у тему уроку, можна запропонувати їм виконати вправу на порівняння

або логічну вправу на виключення зайвого (наприклад, серед запропонованих послідовностей кілька є такими, що надалі можуть бути визначені як геометричні прогресії, а одна з них такою не є; або навпаки, серед кількох відомих учням арифметичних прогресій дати одну геометричну та, виділивши її як “зайву”, проаналізувати відмінність цієї послідовності від геометричної прогресії).

Після виконання таких вправ учні усвідомлюють, що серед нескінченної кількості різних за видами числових послідовностей, крім виділених на попередніх уроках видів, можна виділити інші види. Від них відокремлюються послідовності, у яких кожний наступний член, на відміну від членів арифметичної прогресії, дорівнює попередньому члену, помноженому на те саме число. Після такого умовиводу формулюється основна дидактична мета уроку: вивчити означення, дати назву та дослідити властивості таких послідовностей та їх застосування.

IV. Актуалізація опорних знань та вмінь учнів

Усні вправи

1. Знайдіть:

1) значення функції, заданої формулою у = 3х5 при х = 0; 1; -1;

2) при якому значенні аргументу значення функції у = х2 – 3х + 2 дорівнює 0; 2; -2;

3) при яких значеннях аргументу значення функції у = 1-2х додатні; від’ємні.

2. Спростіть вираз:

1) ; 2) ; 3) 3n-1 • 3n.

3. Розв’яжіть рівняння:

1) b2 = 3; 2) x3 = 27; 3) q6 = .

4. Послідовність (хп) задана формулою хn = 81 • 31-n. Знайдіть:
1) х1, х2, х3;

2) відношення , , .

V. Формування знань

План вивчення нового матеріалу

1. Означення геометричної прогресії. Знаменник геометричної прогресії.

2. Рекурентна формула геометричної прогресії.

3. Властивості геометричної прогресії:

1) характеристична властивість;

2) добутки двох членів скінченної геометричної прогресії, рівно від-далених від її кінців.

Опорний конспект № 33

Геометричною прогресією називається послідовність відмінних від нуля чисел, кожний член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на те саме число (знаменник геометричної прогресії).

Приклад. 3; 9; 27; 81; 243; … – геометрична прогресія, бо а2 = а1 • 3; а3 = а2 • 3; а4 = а3 • 3; … . (3 – знаменник цієї прогресії).

Рекурентна формула геометричної прогресії

Якщо (bп) – геометрична прогресія, то bn+1 = bnq, де bп – n-й член; q – знаменник геометричної прогресії.

З рекурентної формули випливає:

Властивості геометричної прогресії:

А) для кожного члена геометричної прогресії, починаючи з другого: – характеристична властивість;

Б) якщо (bn) – скінченна геометрична прогресія, то b1 • bn = b2 • bn-1 = b3 • bn-2 = const (b1 і bn – крайні члени цієї прогресії).

Методичний коментар

Формування знань учнів на даному уроці проводиться за тією самою схемою, що і на уроці, коли вивчалися означення та основні властивості арифметичної прогресії. Вивчення матеріалу уроку починається з формулювання означення геометричної прогресії (учні підготовлені до його сприйняття на попередньому етапі уроку), у якому слід звернути увагу учнів на словосполучення “починаючи з другого”, а також на те, що число, на яке помножують кожний член, починаючи з другого, є сталим для даної геометричної прогресії, при цьому воно може бути яким завгодно (додатним або від’ємним, цілим або дробовим; воно тільки не може, на відміну від різниці арифметичної прогресії, дорівнювати 0; це бажано проілюструвати великою кількістю прикладів). Після цього формулюється уявлення про зміст поняття “знаменник геометричної прогресії” та записується відповідна формула. Далі традиційно записується рекурентна формула геометричної прогресії, яка напряму випливає з означення геометричної прогресії.

Для розв’язування багатьох прикладних задач важливими є властивості геометричної прогресії, зокрема характеристична властивість (хоча програма з математики не дає її серед обов’язкових знань у цій темі). Також не обов’язковою, проте цікавою для застосування є властивість членів скінченної геометричної прогресії, рівновіддалених від її крайніх членів. Тому, якщо дозволяють особливості класу, можна запропонувати всі названі властивості геометричної прогресії розглянути як додатковий матеріал (див. опорний конспект № 33).

VI. Формування вмінь

Усні вправи

1. За означенням перевірте, чи є геометричною прогресією послідовність:

А) степенів числа 2 з цілими додатними показниками – 1; 2; 4; 8; 16; …;

Б) кубів натуральних чисел – 1; 8; 27; 64; … .

2. Укажіть перший член та знайдіть знаменник геометричної прогресії:

1) 1; -5; 25; …;

2) -6; -6; -6; …;

3) 9; 3; 1; …;

4) 7; ; ; …;

5) -3; 3; -3; … .

3. Знайдіть другий і третій члени геометричної прогресії (bn), якщо:

1) b1 = 3, q = 2;

2) b1 = 5, q = -1.

Письмові вправи

Для реалізації дидактичної мети уроку слід розв’язати вправи такого змісту:

1) серед запропонованих послідовностей вибрати геометричні прогресії;

2) указати n-й член та знаменник геометричної прогресії, заданої переліком її перших членів;

3) за рекурентною формулою знайти кілька перших членів геометричної прогресії;

4) вправи на використання властивостей геометричної прогресії;

5) на повторення: вправи на розв’язування степеневих рівнянь.

Методичний коментар

При розв’язуванні вправ, крім закріплення термінології та формул, що виражають властивості геометричної прогресії, проводиться відпрацювання схем дій у таких стандартних ситуаціях: перевірити, чи є задана послідовність геометричною прогресією (за означенням, або за характеристичною властивістю, або за теоремою, залежно від умови); знайти знаменник геометричної прогресії, якщо відомі два сусідні її члени; знайти член, наступний за даним членом геометричної прогресії.

VII. Підсумки уроку

Контрольні запитання

1. Яка послідовність називається геометричною прогресією? Наведіть приклади.

2. Чому дорівнює відношення двох сусідніх членів геометричної прогресії, починаючи з другого?

3. Як задати геометричну прогресію?

VIII. Домашнє завдання

1. Вивчити означення та властивості геометричної прогресії, розглянуті на уроці (див. опорний конспект № 33).

2. Розв’язати вправи, аналогічні за змістом та рівнем складності виконаним на уроці.

3. Повторити схему розв’язування задач складанням математичної моделі.