Ознаки рівнобедреного трикутника
§ 2. Трикутники
9. Ознаки рівнобедреного трикутника
232. ?ABC – рівнобедрений, тому ВК є бісектрисою кута ABC, отже, ∠ABC = 2 х ∠ABK = 2 x 25° = 50°.
Відповідь: 50°.
233. BK є висотою та медіаною, тому? ABC – рівнобедрений, AB = ВС, отже, ∠C = ∠A =17°.
Відповідь: 17°.
234. AС = ВС, тому ВК – бісектриса, ∠ACK = 1/2 • 90° = 45°, ∠KCB = 45°. Тому? АСК і? СКВ – рівнобедрені.
AK = KB = CK = 7 см, отже, AB = AK + KB = 7 + 7 = 14 (CM).
Відповідь: 14 см.
235. Оскільки AK = МК, то? АМК
236. Оскільки АK є бісектрисою і висотою трикутника ABC, то? ABC – рівнобедрений.
237. Оскільки? ABC – рівнобедрений, то ∠BAC = ∠BCA, тоді Оскільки ∠OAC = ∠OCA, то? АОС – рівнобедрений (АО = СО).
238. AB = ВС, АК = КС. АВ + ВС +АС = (AB + АК + ВК) + (BK + ВС + КС) – 2ВК = 16 + 16 – 2 x 5 = 32 – 10 = 22 (см).
Відповідь: 22 см.
239. 1) Твердження не є правильним, на рисунку: AM – медіана, АН – висота, проте? ABC
2) Твердження правильне.
240. ?АЕС = ?CFA за двома сторонами і кутом між ними (АС – спільна, ). Із рівності трикутників випливає, що ∠EAC = ∠FCA, тоді? АМС – рівнобедрений.
241. Нехай AB = ВС, AM = CK. ?АКС = ?СМА за вдома сторонами і кутом між ними (КС = АМ за умовою, АС – спільна, ∠KCA = ∠MAC, бо? АВС – рівнобедрений). Із рівності трикутників випливає, що ∠KAC = ∠MCA, тому? АМС – рівнобедрений.
242. Нехай ∠FAC = ∠FCA, тоді? AFC – рівнобедрений, AF = FC.
?АЕС = ?CDA за двома сторонами і кутом між ними (AE = AF + FE = CF + FD = CD, АС – спільна, ∠EAC = ∠DCA). Із рівності трикутників випливає, що ∠ECA = ∠DAC, тобто? ABC – рівнобедрений.
243. Оскільки у трикутнику АМD AF – бісектриса і висота, то? AMD – рівнобедрений, звідси AM = AD.
Оскільки у трикутнику BDK ВН – бісектриса і висота, то? BDK – рівнобедрений, звідси KB = DB.
Оскільки AM = AD, BK = DB і AD = BD за умовою, то AM = BK.
244. На рисунку: CM = MB, ∠ABK = ∠KBC, AM ⊥ BK. Оскільки у трикутнику ABM відрізок OB – бісектриса і висота, то? АВМ – рівнобедрений, тоді
Відповідь: 8 CM.
245. На рисунку: AD = DC, BO = OD, AK ⊥ BD. Оскільки AO – медіана і висота трикутника ABD, то? ABD – рівнобедрений і Отже, AB : АС = 1 : 2.
Відповідь: 1 : 2.
246.
Оскільки? ACM (∠BCM = ∠B = 22,5°) – рівнобедрений, ВМ = MC.
Оскільки? CMA (∠MCK = 45° + 22,5° = 67,5°, ∠A = 67,5°) – рівнобедрений, то CM = МА.
Оскільки ВМ = MC, а MC = МА, то ВМ = МА, тобто М – середина AB.
247. Нехай AB = n см, ВС = (n + 2) см, АС = (n + 1) см. ВМ = MC, ∠ABL = ∠LBC, BL ⊥ AM.
?АВМ – рівнобедрений, оскільки в ньому збігається бісектриса і висота, проведені з вершини В, тоді ВМ = AB = n, тоді MC = 2 см. Отже, AB = 2 см, ВС = 4 см, АС = 3 см.
Відповідь: 2 см, 3 см, 4 см.
248. ?СКМ – рівнобедрений (бо CF – бісектриса і висота), тоді КС = МС = 3 см.
?ADK – рівнобедрений (бо АН – бісектриса і висота), тоді AK = AD = АС – КС = 6 см – 3 см = 3 см. Тоді ВD = AB – AD = 5 – 3 = 2 (см).
Відповідь: 2 см.
Вправи для повторення
249. На рисунку: AB = ВС = CD = DE = ЕР = х см. Тоді AB : CF = х : 2х = 1 : 2; AB : BF = х : 4х = 1 : 4; BD : AE = 2x : 4x = 1 : 2.
Відповідь: 1 : 2, 1 : 4, 1 : 2.
250. На рисунку: ∠1 – 420 = 1/2∠2. Нехай ∠1 = x°, ∠2 = 180° – x°, тоді x – 42 = 90 – x/2, звідси 2x – 84 = 90 – x; 3x = 174; x = 58. Отже, ∠1 = 58°, ∠2 = 122°.
Спостерігайте, рисуйте, конструюйте, фантазуйте
251.