Головна ⇒ 📌Довідник з математики ⇒ Властивості модуля – Модуль і його властивості
Властивості модуля – Модуль і його властивості
Математика – Алгебра
Модуль і його властивості
Модуль числа – це відстань від 0 до точки, що відповідає цьому числу на координатній прямій, виміряна в одиничних відрізках.
Отже, для всіх значень a.
Властивості модуля
1. .
2. Якщо , то .
3. Якщо , то
4. Модуль суми скінченного числа дійсних чисел не перевищує суми модулів
.
5. Модуль різниці не менший за різницю модулів цих чисел:
.
6. Модуль добутку скінченного числа співмножників , …, дорівнює добутку модулів цих співмножників:
.
7. Модуль частки дорівнює частці від ділення модуля діленого на модуль дільника:
, якщо .
Приклади розв’язування рівнянь та нерівностей, що містять знак модуля
1)
Відповідь: , .
2)
Треба враховувати, що модуль будь-якого числа є числом невід’ємним, отже, корені і 3 є сторонніми.
Відповідь: , .
3) .
Відповідь: .
4)
.
Відповідь: .
Складаючи першу сукупність, ми урахували, що модуль будь-якого числа є завжди число невід’ємне. Із цього випливає, що при тих значеннях x, коли права частина є числом недодатним, нерівність завжди виконується.
5) Дуже корисним у розв’язуванні завдань з модулем є спосіб поділення координатної прямої на такі інтервали, що в них можна визначити знак підмодульного виразу й розкрити знак модуля.
.
Знайдемо, при яких значеннях х підмодульні вирази перетворюються на нуль:
; ;
. .
Отже, розіб’ємо числову пряму на три інтервали й будемо розв’язувати рівняння на кожному з них окремо (див. рисунок).
Щоб визначити, який знак має на певному інтервалі кожний із підмодульних виразів, досить підставити в нього замість х довільне число з цього інтервалу.
І. .
Візьмемо, наприклад, , тоді
,
.
Отже, маємо:
На цьому інтервалі розв’язків не має. .
ІI. .
Беремо , ;
.
III..
Об’єднуємо розв’язки, отримані на всіх трьох інтервалах (I, II і III).
Відповідь: .
(1 votes, average: 5.00 out of 5)
Loading...
Related posts:
- Модуль числа Математика – Алгебра Раціональні числа Модуль числа Відстань від початку відліку до точки, що зображає число на координатній прямій, називається Модулем даного числа. Позначення: – модуль а. Очевидно, що для додатних чисел і 0 , для від’ємних . для будь-якого числа а. Модулі протилежних чисел рівні: . Приклади 1) ; ; . 2) Розв’яжіть рівняння. […]...
- Застосування модуля числа. Відстань між точками на координатній прямій Урок № 6 7 Тема. Застосування модуля числа. Відстань між точками на координатній прямій Мета: поглибити знання учнів про властивості модуля раціонального числа та відпрацювати навички застосування означення та властивостей модуля для розв’язування рівнянь та нерівностей. Тип уроку: застосування знань, умінь і навичок Хід уроку I. Перевірка домашнього завдання Математичний диктант Варіант 1 [2] 1. […]...
- МОДУЛЬ ЧИСЛА Розділ 4 РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА ТА ДІЇ З НИМИ § 23. МОДУЛЬ ЧИСЛА Позначимо на координатній прямій точки А (-6), В (-2) і С (2) (мал. 104). Яка точка розміщена найдалі від початку відліку О? Точка А, оскільки ОА = б од., а ОВ = ОС = 2 од. Мал. 104 Порівнюючи відстані від точок А, […]...
- Модуль раціонального числа Урок № 6 6 Тема. Модуль раціонального числа Мета: сформувати уявлення учнів про геометричний зміст поняття “модуль числа”; виробити вміння читати, записувати вирази, що містять модуль, а також знаходити значення виразів, що містять числа під знаком модуля. Тип уроку: засвоєння нових знань і вмінь Хід уроку І. Перевірка домашнього завдання Усні вправи 1. Обчисліть А) […]...
- Кoрінь n-го степеня та його властивості Математика – Алгебра Степенева функція Кoрінь n-го степеня та його властивості Коренем N-го степеня з числаА називається таке число, n-й степінь якого дорівнює а. Якщо n – число непарне, то існує – і до того ж тільки один – корінь n-го степеня з довільного числа а. Цей корінь – число того ж знака, що число […]...
- Визначення модуля пружності гуми ФІЗИЧНИЙ ПРАКТИКУМ * Практична робота № 5 Тема. Визначення модуля пружності гуми Мета: експериментально перевірити закон Гука і визначити модуль пружності гуми. Прилади і матеріали: гумова смужка завдовжки 20-30 см; набір важків по 102 г; вимірна лінійка з ціною поділки 5 мм/под; штатив універсальний з муфтою і лапкою; штангенциркуль. Теоретичні відомості Під час деформації тіл […]...
- Додавання раціональних чисел Математика – Алгебра Раціональні числа Додавання раціональних чисел Щоб додати два від’ємних числа, треба додати їхні модулі й поставити перед одержаним числом знак “–”: . Щоб додати два числа з різними знаками, треба від більшого модуля відняти менший і поставити перед одержаним числом знак того доданка, модуль якого більший: ; . Сума двох протилежних чисел […]...
- Ділення раціональних чисел Математика – Алгебра Раціональні числа Ділення раціональних чисел Часткою двох від’ємних чисел є число додатне. Щоб знайти його модуль, треба модуль діленого поділити на модуль дільника. Часткою двох чисел із різними знаками є число від’ємне. Щоб знайти його модуль, треба модуль діленого поділити на модуль дільника. Для будь-якого числа а: ; ; Для : ; […]...
- Зовнішній кут трикутника та його властивості Розділ 3. Трикутники. Ознаки рівності трикутників § 18. Зовнішній кут трикутника та його властивості 438. ∠BAK – зовнішній кут при вершині А. 439. ∠LDP – зовнішній кут при вершині D. 441. ∠A + ∠B = 70° – за властивістю зовнішнього кута трикутника. 442. Зовнішній кут трикутника при вершині С дорівнює 74° згідно з властивістю зовнішнього […]...
- Додавання двох чисел з різними знаками Розділ 4 Раціональні числа і дії мідними §39. Додавання двох чисел з різними знаками Припустимо, що в понеділок Іван заборгував Сергію 3 грн, а у вівторок повернув борг, тобто віддав Сергію 3 грн. Оскільки борг можна тлумачити як від’ємні числа, а майно – як додатні, то розрахунок між хлопцями можна подати так: -3 + 3 […]...
- Подільність цілих чисел Формули й таблиці МАТЕМАТИКА Подільність цілих чисел Ціле число а ділить ціле число b, або b ділиться на а, якщо існує таке ціле число с, при якому b = ас. Це має місце тоді, коли остача від ділення числа b на число а дорівнює нулю. Подільність цілих чисел має такі властивості: 1. Будь-яке ціле число […]...
- Властивості множення раціональних чисел Урок № 8 3 Тема. Властивості множення раціональних чисел Мета: повторити відомі учням властивості множення натуральних та дробових чисел, поширити їх на множення раціональних чисел і вдосконалити вміння виконувати множення раціональних чисел (використовуючи переставну, сполучну та властивості 0 та 1 при множенні) Тип уроку: систематизація та узагальнення знань, умінь, навичок Хід уроку I. Перевірка домашнього […]...
- Схема дослідження – ФУНКЦІЇ ТА ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ Формули й таблиці МАТЕМАТИКА ФУНКЦІЇ ТА ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ Функцією (або функціональною залежністю) називається закон, за яким кожному значенню незалежної змінної х з деякої множини чисел, що називається областю визначення функції, ставиться у відповідність тільки одне певне значення величини у. Графіком функції називається множина всіх точок координатної площини з координатами (х, у), такими, при яких абсциса […]...
- Властивості додавання Розділ 4 Раціональні числа і дії мідними §40. Властивості додавання Для додавання раціональних чисел, як і для додавання додатних чисел, справджуються переставна і сполучна властивості. Переставна властивість додавання. Для будь-яких раціональних чисел а і b виконується рівність а + b = b + а. Перевіримо цю властивість на прикладах. Приклад 1. -8 + (-3) = […]...
- Корінь n-го степеня. Арифметичний корінь n-го степеня і його властивості УРОК 33 Тема. Корінь n – го степеня. Арифметичний корінь n – го степеня і його властивості Мета уроку. Повторити відомості про квадратний корінь. Формування понять корінь n-го степеня і арифметичний корінь n-го степеня. Вивчення властивостей коренів n-го степеня. І. Аналіз контрольної роботи з теми “Тригонометричні рівняння і нерівності” II. Повторення відомостей про квадратний корінь […]...
- ВІДНОШЕННЯ ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ Розділ 3 ВІДНОШEННЯ І ПРОПОРЦІЇ У розділі дізнаєтесь: Ü про відношення та його властивості; Ü що таке пропорція; Ü які є пропорційні залежності величин; Ü як поділити число в даному відношенні; Ü що таке масштаб; Ü про коло, круг, круговий сектор та просторові фігури обертання; Ü які є види діаграм та як будувати діаграми; Ü […]...
- Рівнобедрений трикутник і його властивості § 2. Трикутники 8. Рівнобедрений трикутник і його властивості Практичні завдання 196. 197. 198. Вправи 199. 1) Р = 13 + 2 х 8 = 29(см). Відповідь: 29 см. 2) Нехай х см – бічна сторона, тоді 15 + 2х = 39, тоді 2х = 39 – 15; 2х = 24; х = 24 : […]...
- Властивості додавання раціональних чисел Урок № 7 2 Тема. Властивості додавання раціональних чисел Мета: повторити зміст переставної та сполучної властивостей додавання та відпрацювати застосування цих законів додавання в комплексі із вивченими правилами додавання раціональних чисел. Тип уроку: застосування знань, умінь, навичок. Хід уроку І. Перевірка домашнього завдання 1. Фронтальна робота із сигнальними картками 1) Заповніть пропуски в реченнях: А) […]...
- Порівняння чисел Математика – Алгебра Раціональні числа Порівняння чисел Із двох чисел меншим є те, зображення якого на горизонтальній координатній прямій розташовано ліворуч, більшим – те, зображення якого розташовано праворуч. Будь-яке додатне число більше від нуля. Будь-яке від’ємне число менше від нуля. Будь-яке додатне число більше від будь-якого від’ємного. Із двох від’ємних чисел меншим є те, модуль […]...
- Вектор. Модуль і напрям вектора. Рівність векторів УРОК № 42 Тема. Вектор. Модуль і напрям вектора. Рівність векторів Мета уроку: формування понять вектора, модуля вектора, напряму вектора; рівності векторів; формування вмінь застосовувати вивчені означення і властивості до розв’язування задач. Тип уроку: комбінований. Наочність і обладнання: таблиця “Декартові координати та вектори на площині” [13]. Вимоги до рівня підготовки учнів: описують вектор, модуль і […]...
- Переставна і сполучна властивості множення. Коефіцієнт буквеного виразу Розділ 4 Раціональні числа і дії мідними §44. Переставна і сполучна властивості множення. Коефіцієнт буквеного виразу Для множення раціональних чисел, як і для множення додатних чисел, справджуються переставна і сполучна властивості. Переставна властивість множення. – Для будь-яких раціональних чисел а і b виконується рівність ab = ba. Перевіримо цю властивість на прикладах. Приклад 1. -3 […]...
- Маса тіла – Динаміка 5. Механіка 5.2. Динаміка 5.2.3. Маса тіла Маса тіла – це величина, що характеризує його інертність і є її мірою. Вона вимірюється відношенням модуля прискорення еталона маси до модуля прискорення тіла під час їх взаємодії. Позначається буквою m. Одиниця вимірювання – один кілограм (1 кг). Де aT, mT – модуль прискорення і маса тіла; aET, […]...
- МОДУЛЬ СТОКУ Екологія – охорона природи МОДУЛЬ СТОКУ – об’єм стоку за одиницю часу з одиниці площі водозбору. Обчислюється діленням об’єму стоку на площу водозбору і виражається в л/(с – км2) або м3/(с – км2)....
- ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ ЛОГАРИФМІВ Формули й таблиці МАТЕМАТИКА ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ ЛОГАРИФМІВ Для будь-якого додатного числа а, що не дорівнює 1: 1) loga1 = 0; 2) logaa = 1; 3) якщо х > 0 і у > 0, то logaху = logaх + logaу; 4) якщо х > 0 і у > 0, то logax/y = logax – logaу; 5) […]...
- Метод інтервалів Математика – Алгебра Границя Метод інтервалів Отже, нехай функція неперервна на інтервалі І й перетворюється на 0 у скінченній кількості точок цього інтервалу. Тоді інтервал І розбивається цими точками на інтервали, в кожному з яких зберігає незмінний знак. Щоб визначити цей знак, достатньо обчислити значення у будь-якій точці кожного такого інтервалу. Приклад Розв’язати нерівність Розглянемо […]...
- Степінь з натуральним показником Математика – Алгебра Одночлени Степінь з натуральним показником Степенем Числа a з натуральним показником n, більшим за 1, називається добуток n множників, кожний із яких дорівнює a. Тобто де a – основа степеня; n – показник степеня. Степенем числа a з показником 1 є саме число a. Знак степеня з натуральним показником 1. Якщо основа […]...
- Властивості тригонометричних функцій УРОК 10 Тема. Властивості тригонометричних функцій Мета уроку: вивчення властивостей тригонометричних функцій у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg x (область визначення; область значень; парність (непарність); симетричність графіків; періодичність; нулі; проміжки спадання (зростання); проміжки знакопостійності; найбільші і найменші значення). І. Перевірка домашнього завдання Перевірити правильність побудови графіків […]...
- Рівняння та їх властивості. Розв’язування задач за допомогою рівнянь Урок № 106 Тема. Рівняння та їх властивості. Розв’язування Задач за допомогою рівнянь Мета: діагностика рівня засвоєння знань та вмінь, передбачених програмою з названої теми. Тип уроку: перевірка і корекція знань, умінь та навичок. Хід уроку I. Організаційний момент (Перевіряємо готовність до уроку, збираємо робочі зошити на перевірку; оголошуємо умову та вимоги до виконання завдань […]...
- Властивості нескінченно малих послідовностей Математика – Алгебра Границя Властивості нескінченно малих послідовностей Теорема 1. Алгебраїчна сума скінченного числа нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю. Послідовність називається Обмеженою, якщо існує таке число , що для всіх значень 2, … виконується нерівність . Теорема 2. Добуток нескінченно малої числової послідовності та обмеженої послідовності є нескінченно малою послідовністю. Послідовність називається Нескінченно […]...
- Основні властивості кубічного кореня – СТЕПЕНІ, КОРЕНІ, ЛОГАРИФМИ Формули й таблиці МАТЕМАТИКА СТЕПЕНІ, КОРЕНІ, ЛОГАРИФМИ Основні властивості кубічного кореня Для будь-яких дійсних чисел a й b: 1) а = ()3; 2) = а; 3) = ; 4) якщо b ≠ 0, то ; 5) = тільки тоді, коли а = b; 6) < тільки тоді, коли а < b; 7) < тільки тоді, […]...
- ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ Розділ 4 РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА ТА ДІЇ З НИМИ § 29. ДІЛЕННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ Ви знаєте, що для додатних чисел дію ділення можна звести до дії множення на число, обернене до дільника. Нехай треба поділити число 20 на число Це означає, що число 20 можна помножити на число, обернене до числа тобто на число Тоді, за […]...
- Додавання раціональних чисел з різними знаками Урок № 7 1 Тема. Додавання раціональних чисел З різними знаками Мета: сформувати уявлення учнів про зміст дії додавання раціональних чисел з різними знаками (в тому числі й протилежних чисел), а також виробити вміння використовувати це правило під час додавання двох раціональних чисел з різними знаками. Обладнання: демонстраційний термометр. Тип уроку: засвоєння навичок та вмінь. […]...
- Додатні та від’ємні числа Математика – Алгебра Раціональні числа Додатні та від’ємні числа Координатна пряма Пряма з вибраними на ній початком відліку, одиничним відрізком і вказаним додатним напрямом називається Координатною прямою. Число, що показує положення точки на координатній прямій, називається Координатою точки. Приклад Точка А розташована на прямій (див. рисунок) на відстані 2,5 одиничних відрізка праворуч від 0. Це […]...
- Паралельне проектування та його властивості. Зображення просторових фігур на площині Урок 21 Тема. Паралельне проектування та його властивості. Зображення просторових фігур на площині Мета уроку: формування знань про паралельне проектування. Вивчення властивостей паралельного проектування. Дати уявлення про зображення просторових фігур на площині. Обладнання: стереометричний набір. Хід уроку І. Перевірка домашнього завдання 1. Відповісти на запитання, які виникли в учнів при розв’язуванні домашньої задачі. 2. Самостійна […]...
- Перетворення подібності та його властивості Урок 50 Тема. Перетворення подібності та його властивості Мета уроку: формування знань учнів про подібність просторових фігур, вивчення властивостей перетворення подібності та застосування їх до розв’язування задач. Обладнання: моделі куба і тетраедра. Хід уроку І. Перевірка домашнього завдання 1. Колективне обговорення контрольних запитань № 9-11 та розв’язування задач № 23-25 (1). 2. Математичний диктант. При […]...
- Підсумковий урок з теми “Арифметичний квадратний корінь з числа та його властивості. Перетворення ірраціональних виразів” Урок № 45 Тема. Підсумковий урок з теми “Арифметичний квадратний корінь з числа та його властивості. Перетворення ірраціональних виразів” Мета: повторити, узагальнити та систематизувати знання та вміння учнів щодо означення, властивостей арифметичного квадратного кореня з числа та способів його застосування для перетворення числових та буквених виразів. Тип уроку: систематизація та узагальнення знань і вмінь. Наочність […]...
- ДОДАВАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ Розділ 4 РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА ТА ДІЇ З НИМИ § 26. ДОДАВАННЯ РАЦІОНАЛЬНИХ ЧИСЕЛ Кожне раціональне число характеризують його модуль і знак. Тому для додавання двох раціональних чисел важливо з’ясувати, яким буде модуль і знак суми залежно від модулів і знаків доданків. Для додатних чисел цей зв’язок очевидний, оскільки сума двох додатних чисел є числом додатним. […]...
- Переміщення та його властивості. Рівні фігури УРОК № 33 Тема. Переміщення та його властивості. Рівні фігури Мета уроку: формування поняття переміщення та рівних фігур; вивчення властивостей переміщення. Тип уроку: комбінований. Наочність і обладнання: таблиця “Перетворення фігур”. Рухи” [13]. Вимоги до рівня підготовки учнів: описують рівність фігур; будують фігури, у які переходять дані фігури при переміщеннях; формулюють властивості переміщення; застосовують вивчені означення […]...
- Множення Математика – Алгебра Раціональні числа Множення Щоб знайти добуток двох чисел із різними знаками, треба перемножити їхні модулі й поставити перед одержаним числом знак “–”. Щоб перемножити два від’ємних числа, треба перемножити їхні модулі (тобто добуток двох від’ємних чисел є додатне число). При зміні знака одного з множників змінюється знак усього добутку. Якщо добуток містить […]...
- ПОВІТРЯ ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ ПРИРОДА НАВЕСНІ ПОВІТРЯ ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ Пригадай, що ти знаєш про повітря. Повітря товстим шаром огортає нашу Землю. Вдень воно захищає її від палючого сонячного проміння, а вночі – від переохолодження. Кожна щілина, будь-який простір, не зайнятий нічим іншим, заповнені повітрям. Пригадай, які досліди доводять, що повітря існує і займає будь-який простір. Незважаючи на те, […]...
ТУМАН »