Вправи 575-624

575.

Вправи 575 624

АВ і АС дотикаються до кола з центром О у точках В і С. ∠CBO = 40°.

?АBО – прямокутний, OB ⊥ AB (OB – радіус, проведений в точку дотику).

?АСО – прямокутний (ОС – радіус, проведений в точку дотику).

∠ABO = 90°; ∠ACO = 90°;

?ВОС – рівнобедрений, OB = ОС; ∠OBC = ∠OCB = 40°; ∠BOC =180°- (40° + 40°) = 100°. ?АВО = ?АСО – прямокутні (АО = CO; АО – спільна сторона).

∠AOB = ∠AOC = 100° : 2 = 50°;

?АВО; ∠BAO = 90° – 50° = 40°;

?АСО; ∠OAC = 90° – 50° = 40°;

∠BAC = ∠BAO + ∠CAO = 40° + 40° = 80°.

Відповідь:

80°.

576.

Вправи 575 624

Радіус другого кола може бути: R = 10 – 8 = 2 (см); R = 10 + 8 = 18 (см).

577.

Вправи 575 624

Два кола дотикаються зовнішньо. OB – відстань між центрами кіл.

OB = 8 см; OK = R1; KB = R2; d1 – діаметр одного кола, d2 – діаметр другого кола; d1 – d2 = 4 см; d1 + d2 = 2(R1 + R2) = 2 x 8 = 16 см.

Складемо систему рівнянь: Вправи 575 624

2d1 = 20; d1 = 20 : 2 = 10 см; d2 = 16 – 10 = 6 см.

Відповідь: 10 см і 6 см.

578.

Вправи 575 624

А) три дотичні до кола не можуть перетинатися в одній точці.

579.

Вправи 575 624

AB і АС дотикаються до кола із центром О в точках

В і С; ∠BOC =120°; АО = 30 см. ?АВО – прямокутний ∠ABO = 90°; OB ⊥ AB.

?АСО – прямокутний ОС ⊥ АС (властивість дотичної).

?АВО = ?АСО (АО – спільна сторона; ВО = ОС – радіуси кола). З їхньої рівності маємо: ∠BOA = ∠COA = 120° : 2 = 60°.

?АВО; ∠BAO = 90° – 60° = 30°. ВО – катет, що лежить проти кута 30°,

ВО = 1/2АО = 1/2 • 30 = 15 (СМ).

Відповідь: 15 см.

580.

Вправи 575 624

АВ і АС дотикаються до кола; AB = 7 см; ∠ABC = 30°; ?АВО = ?АСО – прямокутні (АО – спільна, OB = ОС). OB ⊥ AB, ОС ⊥ АС (властивість дотичних).

?ВОС – рівнобедрений OB = ОС; ∠CBO = ∠BCO = 90° – 30° = 60°; ∠BOC = (180° – 120°) : 2 = 30°.

?АВО; ∠BOA = 30°, АВ – катет, що лежить проти кута 30°, АВ = 1/2АО; АО = 14 см.

Відповідь: 14 см.

581. а) R1 = 5; R2 = 2 і d = 1. R1 – радіус першого кола; R2 – радіус другого кола; d – відстань між їх центрами; R3 – радіус третього кола. R3 = 1; R3 = 2; R3 = 3; R3 = 4;

Б) якщо R1 = 3; R2 = 4; d = 5, то R3 = 1; R3 = 2; R3 = 3; R3 = 6.

582. а)

Вправи 575 624

?АВС – рівносторонній. AB = ВС = АС; ∠A = ∠B = ∠C = 60°. ВМ i АК – медіани висоти і бісектриси; ?ВОК – прямокутний AK ⊥ ВС; ∠MBC = 30°; ВМ – бісектриса; ∠BOK = 90° – 30° = 60°; ∠BOK – кут між медіанами ВМ i АК;

Б) ВМ – відстань від вершини В до АС; АК – відстань від вершини А до сторони ВС. Відстані від вершин до прямих, що містять протилежні сторони рівностороннього трикутника, рівні, бо ці відстані – висоти рівностороннього трикутника, а у рівносторонньому трикутнику всі висоти рівні.

583. а)

Вправи 575 624

Б)

Вправи 575 624

L перетинає відрізок AB у його середині.

А) якщо l ⊥ AB, то АО = OB. АО і OB – відстань від А і В до l. AF ⊥ l, ВК ⊥ l; АF i ВК – відстані від точок А і В до прямої l. ?AOF = ?ВОК – прямокутні; АО = OB; ∠AOF = ∠BOK (вертикальні кути). З рівності трикутників маємо: FР = ВК.

584. а) спочатку поділити відрізок на 2 частини, потім кожну частину ще поділити на 2 частини, відрізок буде поділено на 4 рівні відрізки;

Б) поділити кут на 2 частини, а потім кожний кут поділити ще на 2 рівні частини.

585. а) кут 90° поділити на 2 частини; б) кут 180° поділити на 4 рівні частини; 3/4 кута становить 135°.

587. а < b

Вправи 575 624

А) 3а, відкласти послідовно 3 рівних відрізки довжиною а;

Б) b – а; відкласти від початку відрізка b, відрізок а;

Вправи 575 624

В) відрізок а, послідовно відкласти 2 відрізки довжиною b.

Вправи 575 624

588.

Вправи 575 624

А) кут β поділити на 2 рівних кути;

Б) від заданого променя відкласти кут α; від сторони кута α відкласти кут β;

В) побудувати кут β = ∠AOB, від променя ОА відкласти ∠AOC = β. Від променя OB відкласти ∠BOD = α. ∠DOC = 2β – α.

589.

Вправи 575 624

1) Побудувати AB = 4 см;

2) ABC = 45°; на промені ВС, відрізок ВС = 3 см.

590.

Вправи 575 624

1) Побудувати ∠BAC = 60°. На сторонах кута відкласти відрізки АС = 5 см; AB = 3 см.

591.

Вправи 575 624

Із точки А як із центра побудувати частину кола радіуса АС, із точки В як із центра побудувати частину кола радіусом ВС. С1 – точка перетину дуг цих кіл, ?АВС = ?АВС1.

592. а)

Вправи 575 624

ВМ, АК, CD – медіани трикутника АВС, точки К, М, D – середини сторін трикутника;

Б)

Вправи 575 624

BL, BP, AN – бісектриси трикутника, ділять кути трикутника навпіл;

В)

Вправи 575 624

ВК ⊥ АС, CP ⊥ AB, AD ⊥ ВС; CP, AD, ВК – висоти? АВС;

Г) ?ABC – тупокутний; ВК ⊥ AC, CM ⊥ AB, AF ⊥ ВС; О – точка перетину висот AF, ВК, CM.

Вправи 575 624

593. a)

Вправи 575 624

A || b, MN – відстань між двома паралельними прямими.

Б)

Вправи 575 624

А – дотична, А – точка дотику; ОА – радіус, проведений в точку дотику; ОА ⊥ а.

594. Побудувати кут 120°, поділити променем на 2 частини за допомогою циркуля. 120° : 2 = 60°.

596.

Вправи 575 624

1) Побудували A1C1 = а;

2) На відрізку АС = Р (Р – периметр) побудували AB = а; ВС = 2А1К;

3) Поділили відрізок ВС навпіл;

4) Коло із центром в точці А1 і радіусом 1/2BC;

5) Коло із центром в точці С1 і радіусом 1/2B.

?А1КС1 – рівнобедрений з основою а і периметром Р.

597.

Вправи 575 624

1) Побудували відрізок АС = а;

2) Поділили АС навпіл; АК = ВС;

3) Через точку К провели пряму перпендикулярно АС, від точки К відкладемо ВК = h.

?ABC рівнобедрений з основою а та висотою h.

598.

Вправи 575 624

1) AB = а; 2) від т. А кут САВ = α; 3) від т. А кут СВА = α; 4) ?АВС – рівнобедрений з основою а та кутом при основі α.

599.

Вправи 575 624

1) Побудували ∠BAC = α; 2) На сторони кута АВ = с; 3) Із точки В провели ВС перпендикулярно до другої сторони кута; 4) ?АВС – прямокутний із гіпотенузою С і гострим кутом α.

600.

Вправи 575 624

1) Побудуємо прямий кут MNP. Від сторони NP відкладемо ∠KNP = α; ∠MNK = 90° – α;

Вправи 575 624

2) Побудуємо прямий ∠C;

3) На стороні кута відкладемо ∠CBA = 90° – α;

4) ?АВС – прямокутний з катетом ВС = а і гострим кутом α.

601.

Вправи 575 624

1) Побудуємо розгорнутий кут MNP;

Вправи 575 624

2) Від променя NP відкладемо кут ∠KNP = α;

3) Поділимо ∠MNK навпіл.

Вправи 575 624

4) Побудуємо відрізок AB; AB = а; від променя AB відкладемо кут ∠CAB = ∠MNF, від променя ВА відкладемо ∠CBA = ∠MNF;

5) ?ABC – рівнобедрений з основою а та кутом а, протилежним основі.

602.

Вправи 575 624

1) АВ = ВС = b; AM = FC = m; АО : ОМ = CO : OF = 2 : 1. За допомогою теореми Фалеса розділимо відрізок т на 3 рівні частини;

Вправи 575 624

2) Побудуємо відрізок ВС = b (бічна сторона). Знайдемо середину М. Побудуємо? МОС за трьома сторонами.

Вправи 575 624

Побудуємо? FOA = ?МОС; з’єднаємо АС. Продовжимо AF і CM до перетину в точці В. ?ABC – шуканий трикутник.

603.

Вправи 575 624

1) Відкладемо відрізок ВО = mс і подвоїмо його, BO = OD = 2mс;

2) Із кінців відрізка проведемо коло радіусом DC = a; DA радіусом b;

3) ?ABC – трикутник із сторонами а і b і медіаною mс.

604.

Вправи 575 624

1) сторона АС = а;

2) проведемо на відстані ВК = ha пряму, паралельну даній стороні АС = а;

3) ∠BAC = α;

4) з’єднаємо В і С;

5) ?АВС зі стороною АС, прилеглим до неї кутом а і висотою, проведеною до цієї сторони.

605.

Вправи 575 624

1) ВС – пряма; 2) АК ⊥ ВС; 3) AK = hHC;

4) AС = а;

5) від променя АК побудуємо ∠КАВ = 90° – α;

Вправи 575 624

6) ?АВС, сторона АС = а; АК = hHC; ∠B = α.

606.

Вправи 575 624

Розв’язок можливий, якщо а < m, бо а < b + с в будь-якому трикутнику.

Побудуємо? BCD, ВС = a; BD = m; ∠B = α. Проведемо серединний перпендикуляр від CD, він перетинає BD в точці A, AD = АС. Отримаємо? BCD, де ВС = a, ∠B = α, AB + АС = m, бо АС = AD.

Вправи 575 624

Доведемо, що серединний перпендикуляр перетинає BD. Припустимо, а перетинає сторону ВС в точці М, а пряму BD в точці К, якщо KB > BD, то ∠KCD < ∠BCD.

За властивістю серединного перпендикуляра? DKC – рівнобедрений, отже, ∠KCD = ∠D, але ∠D > ∠BCD, так як m > а, тоді ∠D < ∠C. Прийшли до суперечності, отже, D перетинає BD.

607.

Вправи 575 624

Задача має розв’язок, якщо d < а, |АС – АВ| = d.

1)

Вправи 575 624

α – гострий кут. Якщо AB > АС, d = AC, відкладемо на стороні AB відрізок BD = d, тоді AD = AB – d = AC, тобто точка А лежить на серединному перпендикулярі до CD.

Якщо АС > AB, то відкладемо на продовженні сторони AB відрізок BD = d, d = АС – AB; AD = АВ + BD = AB + d, тобто AD = АС, тому точка буде належати серединному перпендикуляру до CD.

2) α – тупий кут. АС > AB, тоді на продовженні сторони AB відкладемо BD = d, тоді AD = АС і точка А лежить на серединному перпендикулярі до CD.

Вправи 575 624

А) α – гострий кут, α = АС – AB. Побудуємо ∠B = α, відкладемо на одній стороні кута ВС = а, а на доповняльному промені до другої сторони BD = d.

Знайдемо точку А (проведемо серединний перпендикуляр до сторони CD, бо AB = AD – DB = АС – d, то d = АС – AB; ?ABC – шуканий.

Б) α – гострий кут; d = AB – АС. Побудуємо ∠B = d. Відкладемо на одній стороні кута ВС = а, а на другій BD = d.

Знайдемо точку А, провівши серединний перпендикуляр до відрізка CD, бо BA = d + АС, d = AB – АС, ?АВС – шуканий.

Вправи 575 624

Якщо α – тупий кут, d = АС + АВ.

Вправи 575 624

608.

Вправи 575 624

А) ∠AОВ; ОА = OB; АС ⊥ ОА; ВС ⊥ OB, Доведемо, що ОС – бісектриса цього кута.

?АОС = ВОС – прямокутні; ОС – спільна сторона, OB = ОА. З рівності трикутників маємо: ∠АОС = ∠ВОС, отже, ОС – бісектриса ∠AОВ.

609.

Вправи 575 624

A || b, c – січна. AB = 22 CM, BK ⊥ a, ВК ⊥ b. ВК – відстань між паралельними прямими. ?АВК – прямокутний, ВК – катет, що лежить проти кута ∠BAK = 30°, ВК = 1/2АВ;

ВК = 1/2 • 22 = 11 см.

Відповідь: 11 см.

610. а) ні; б) ні; в) так.

611. а) ні; б) так.

612. в) ні.

613. а) так.

614.

Вправи 575 624

А) Геометричним місцем точок, рівно – віддалених від вершин А і В, є серединний перпендикуляр до сторони AB – СК ⊥ AB;

Б) геометричним місцем точок рівновіддалених від сторін АС і AB буде бісектриса кута САВ, АР – бісектриса;

В) М – точка перетину побудованих геометричних місць.

615. Дано колос центром О і хордою АВ. а) геометричним місцем точок, рівновіддалених від точок А і В, є пряма OK ⊥ AB, що проходить через середину AB, ця пряма проходить через точку О;

Вправи 575 624

Б) геометричне місце точок кола, рівновіддалених від сторін кута ∠AOC, є бісектриса цього кута, на колі це точка С.

616.

Вправи 575 624

Геометричне місце точок, рівновіддалених від точок А і В, є серединний перпендикуляр до відрізка AB. AB = АС = ВС; AB = AC1 = BC1, ?АВС і? АВС1 – рівносторонні.

618.

Вправи 575 624

Точка, рівновіддалена від Чернігова, Луцька і Запоріжжя, – точка М перетину серединних перпендикулярів до відрізків, що з’єднують ці міста.

619. a)

Вправи 575 624

Б)

Вправи 575 624

В)

Вправи 575 624

Дано: точки А, В, С. Побудувати точку, що рівновіддалена від точок А і В і лежить на заданій відстані від точки С. Точки, що рівновіддалені від точок А і В, належать серединному перпендикуляру до відрізка AB. Геометричним місцем точок, що лежать на заданій відстані т від точки С, є коло радіуса m. Таких точок, що рівновіддалені від точок А і В і лежать на заданій відстані від точки С, може бути: а) дві: х і у; б) одна: х; в) жодної.

620.

Вправи 575 624

Геометричним місцем точок, рівновіддалених від сторін даного кута, є бісектриса цього кута. Геометричним місцем точок, які знаходяться на відстані d від вершини О, є коло із центром О і радіусом d. Точка перетину кола і бісектриси – точка М.

621.

Вправи 575 624

Точки B i С віддалені від точки А на відстань R. В і С – точки перетину кіл із центрами в точках А і О і радіусами R.

622.

Вправи 575 624

Геометричним місцем точок, рівновіддалених від даної прямої а на відстань d, є дві прямі, паралельні а й віддалені від неї на d. а || b; а || с.

623.

Вправи 575 624

Геометричним місцем точок, рівновіддалених від двох паралельних прямих, є пряма, яка паралельна цим прямим (с || а; с || b) і проходить через середину спільного перпендикуляра. AB ⊥ а, AB⊥ b, АО = OB.

624.

Вправи 575 624

Геометричним місцем центрів кіл, що проходять через точки А і В. є серединний перпендикуляр до відрізка AB. MN ⊥ АВ.


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (1 votes, average: 5.00 out of 5)
Loading...


Ви зараз читаєте: Вправи 575-624