Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу

УРОК 12

Тема. Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу

Мета уроку: вивчення співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу, формування умінь за­стосовувати вивчені співвідношення для тотожних перетворень (спрощення) виразів, знаходження зна­чень тригонометричних функцій за однією відомою функцією.

І. Аналіз контрольної роботи

II. Мотивація навчання

Дуже часто при розв’язуванні задач виникає проблема: зна­йти значення тригонометричних функцій, якщо задано лише зна­чення однієї з них. Отже, на сьогоднішньому уроці ми повинні згадати формули (залежності), які пов’язують тригонометричні функції одного і того самого аргументу.

III. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу

1. Співвідношення між синусом і косинусом.

Нехай точка??(х, у) одиничного кола отримана поворотом точки Р0(1; 0) на кут? радіан, тоді згідно з означенням синуса і косинуса: х = cos?, у = sin? (рис. 100)

Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу

Оскільки точка Р?(х;у) належить одиничному колу, то координати (х; у) задовольняють рівнянню х2 + у2 = 1. Підставивши в це рівняння замість х і у значення cos? і sin?, отримаємо:

(cos?)2 + (sin?)2 = 1 або (враховуючи, що (cos?)2 = cos2 ?, (sin?)2 = sin2 ?)) cos2 ? + sin2 ? = 1.

Таким чином, sin2 ? + cos2 ? = 1 для всіх значень?. Ця рівність називається основною триго­нометричною тотожністю.

З основної тригонометричної тотожності можна виразити sin? через cos? і навпаки.

Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу, Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу.

Виконання вправ

1. Чи можуть бути справедливими одночасно рівності:

A) cos? = Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу і sin? = Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу;

Б) sin? = –Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу і cos? = –Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу;

В) sin? = Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу і cos? = – Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу.

При одному і тому самому значенні??

Відповідь: а) ні; б) так; в) так.

2. Знайдіть cos?, якщо sin? = 0,6 і Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу < ? < ?.

Відповідь: cos? = -0,8.

3. Знайдіть sin?, якщо cos? = Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу і Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу < ? < 2?.

Відповідь: sin? = –Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу .

4. Спростіть вирази:

А) 1 + sin2 ? + cos2 ?;

Б) 1 – sin2 ? – cos2 ?;

В) 2sin2 ? + cos2 ? – 1;

Г) (1 – cos?)(1 + cos?);

Д) Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу;

Є) sin4 ? – cos4 ? + 1.

Відповідь: а) 2; 6) 0; в) sin2 ?; г) sin2 ?; д) tg2?; є) 2sin2?.

5. Доведіть тотожності:

А) (1 – cos 2?)(1 + cos 2?) = sin2 2?;

6) cos4 ? – sin4 ? = cos2 ? – sin2 ?;

В) (sin2 ? – cos2 ?)2 + 2cos2? sin2? = sin4 ? + cos4 ?;

Г) 2cos2? sin2? + cos4? + sin4? = 1;

Д) sin6 ? + cos6 ? = 1 – 3sin2? cos2?;

Є) Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу.

6. Знайдіть cos?, якщо cos4 ? – sin4 ? = Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу.

Відповідь: cos? = ±Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу.

2. Співвідношення між тангенсом і котангенсом. Згідно з визначенням тангенса і котангенса, Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу, Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу.

Перемноживши ці рівності, одержимо Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу

Отже, tg? – ctg? = 1 для всіх значень?, крім? = Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу, k, kСпіввідношення між тригонометричними функціями одного аргументу?. із одержаної рівності можна виразити tg? через ctg? і навпаки: Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу; Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу.

Виконання вправ

1. Чи можуть бути справедливими одночасно рівності:

A) tg? = Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу і ctg? = Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу;

Б) tg? = Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу і ctg? = Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу;

В) tg? = – Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу і ctg? = 2

При одному і тому самому значенні??

Відповідь: а) так; б) ні; в) ні.

2. Знайдіть

А) tg?, якщо ctg? = Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу;

Б) ctg?, якщо tg? = -1;

В) tg?, якщо ctg? = 0.

Відповідь: а) Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу; б) -1; в) не існує.

3. Дано: х = 2tg?, у = ctg?. Знайдіть ху.

Відповідь: ху = Співвідношення...<center> <ins class=

між тригонометричними функціями одного аргументу" />.

4. Дано tg? + сtg? = 2. Знайдіть tg 2 ? + сtg2 ?.

Відповідь: 2.

5. Спростіть:

А) tg? – сtg? – 1;

Б) sin2 ? – tg? – сtg?;

В) tg 1° – tg 3° – tg 5° – … – tg 89°.

Відповідь: а) 0; б) – соs?; в) 1.

6. Доведіть тотожності:

А) (tg? + сtg?)2 – (tg? – сtg?)2 = 4;

Б) Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу;

В) Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу;

Г) Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу;

Є) 4 + (сtg? – tg?)2 = (сtg? + tg?)2.

3. Співвідношення між тангенсом і косинусом, котангенсом і си­нусом.

Розділимо ліву і праву частину рівності sіn2 ? + соs2 ? = 1 на соs2?, вважаючи, що соs2? ? 0, одержимо:

Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу; Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу,

Звідси: Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу, де Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу.

Розділимо ліву і праву частину рівності sіn2 ? + соs2 ? = 1 на sіn2 ?, вважаючи, що sіn? ? 0, одержимо

Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу; Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу,

Звідси: Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу, де Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу.

Виконання вправ______________________________

1. Чи можуть бути справедливими одночасно рівності.

А) tg? = Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу і соs? = Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу;

Б) сtg? = 1 і sіn? = Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу;

В) tg? = Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу і sіn? = Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу при одному і тому ж значенні??

Відповідь: а) ні; б) так; в) ні.

2. Відомо, що tg? = 2 і Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу. Знайдіть sіn?, соs? і сtg?.

Відповідь: sіn? = Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу; соs? = Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу; сtg? = Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу.

3. Відомо, що sіn? = Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу і 0 < ? < Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу. Знайдіть соs?, tg?, сtg?.

Відповідь: соs? = Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу; tg? = Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу; сtg? = Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу.

4. Відомо, що сtg? = -3 і? – кут IV чверті. Знайдіть sіn?, соs?, tg?.

Відповідь: sіn? = Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу; соs? = Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу; tg? = Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу.

5. Відомо, що соs? = Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу і? – кут І чверті. Знайдіть sіn?, tg?, сtg?.

Відповідь: sіn? = Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу; tg? = Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу; сtg? = Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу.

6. Спростіть вираз:

А) Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу;

Б) Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу;

В) Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу;

Г) Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу;

Д) Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу;

Є) Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу.

Відповідь: а) 1; б) 0; в) 0; г) 0; д) Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу; є) tg?.

7. Доведіть тотожності:

А) Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу;

Б) (1 – сtg?)2 + (1 + сtg?)2 = Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу;

В) Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу;

Г) Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу.

III. Підведення підсумків уроку

IV. Домашнє завдання

Розділ І § 8. Запитання і завдання для повторення до розділу І № 56-58. Вправи № 40 (1; 2; 4; 10), № 44 (1; 2).


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (No Ratings Yet)
Loading...
Ви зараз читаєте: Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу