ОЗНАКИ ПАРАЛЕЛЬНОСТІ ПРЯМИХ
РОЗДІЛ 2 ВЗАЄМНЕ РОЗТАШУВАННЯ ПРЯМИХ НА ПЛОЩИНІ
& 6. ОЗНАКИ ПАРАЛЕЛЬНОСТІ ПРЯМИХ
Важливу роль у дослідженні паралельності прямих відіграють поняття січної та деяких пар кутів.
Нехай а і b – дві довільні прямі площини. Пряму с, що їх перетинає, називають січною прямих а і b (мал. 73).
Прямі а і b з їх січною с утворюють 8 кутів. На малюнку 73 їх пронумеровано.
Деякі пари цих кутів мають спеціальні назви: внутрішні різносторонні кути: 1 і 3, 2 і 4; внутрішні односторонні кути: 1 і 4, 2 і 3; відповідні кути: 1 і 8, 2 і 7, 3 і 6, 4 і 5. Зверніть увагу!
Випадок, коли внутрішні різносторонні кути рівні, заслуговує на особливу увагу, тому що саме за цієї умови прямі а і b паралельні.
Мал. 73
Мал. 74
Теорема 3 (ознака паралельності прямих)
Дві прямі паралельні, якщо із січною вони утворюють рівні внутрішні різносторонні кути.
Доведення. Нехай січна АВ перетинає прямі a i b так, що утворені при цьому
Мал. 75
Отже, якщо ∠1 = ∠3, то прямі а і b не можуть перетинатися. А оскільки вони лежать в одній площині і не перетинаються, то вони паралельні: а ‖ b. Це й треба було довести.
Зверніть увагу на спосіб доведення теореми 3. Щоб довести, що прямі а і b паралельні, ми показували, що вони не можуть перетинатися. Тобто припускали супротивне тому, що треба було довести. Такий спосіб міркувань називають методом доведення від супротивного.
На основі доведеної теореми 3 неважко довести й інші ознаки паралельності прямих.
Теорема 4 Дві прямі паралельні, якщо при перетині з січною вони утворюють внутрішні односторонні кути, сума яких дорівнює 180°.
Доведення. Нехай, наприклад, на малюнку 76 сума внутрішніх односторонніх кутів 1 і 4 дорівнює 180°. Сума суміжних кутів 3 і 4 також дорівнює 180°. Тому ∠1 = ∠3. Це – внутрішні різносторонні кути. Якщо вони рівні, то прямі a i b паралельні.
Мал. 76
Теорема 5 Дві прямі паралельні, якщо, перетинаючись із січною, вони утворюють рівні відповідні кути.
Доведення. Нехай січна с перетинає прямі а і b так, що утворені при цьому відповідні кути 1 і 8 рівні (мал. 77). Кути 8 і 3 рівні, бо вертикальні. Тому якщо ∠1 = ∠8, ∠8 = ∠3, то і ∠1 = ∠3, звідси випливає, що а ‖ b.
Заслуговує на увагу такий наслідок із теореми 3.
Мал. 77
Наслідок Дві прямі, перпендикулярні до третьої прямої, паралельні.
Адже якщо кожна з прямих а і b перпендикулярна до с, то утворені при цьому внутрішні різносторонні кути рівні, бо вони дорівнюють по 90° (мал. 78). Отже, прямі а і b – паралельні.
Мал. 78
Для допитливих
1. Кути 5 і 7( а також 6 і 8) називають зовнішніми різносторонніми, а 5 і 8 (а також 6 і 7) – зовнішніми односторонніми кутами (мал. 79). Використовуючи ці поняття, спробуйте сформулювати і довести ще дві ознаки паралельності прямих.
2. Корисно краще зрозуміти сутність методу доведення від супротивного.
Якщо твердження А заперечує твердження В, то такі два твердження називають суперечливими або супротивними одне одному. Із двох взаємно суперечливих тверджень завади одне правильне, а інше – хибне. Тому якщо переконаємося, що твердження А і В суперечливі одне одному і, наприклад, що В неправильне, то можемо бути певні, що твердження А – правильне.
Не слід плутати твердження супротивні з протилежними. Наприклад, якщо йдеться про числові
Вирази і натуральні числа, то твердження: “вираз А – додатний” і “вираз А – від’ємний” або “число n – просте” і “число n – складене” – протилежні, але не супротивні, адже кожне з них може бути неправильним. А от твердження “вираз А – додатний” і “вираз А – недодатний” або “число n – просте” і “число n – непросте” – взаємно суперечливі. Непросте – означає складене або дорівнює 1; недодатне – від’ємне або дорівнює нулю.
Доводячи методом від супротивного, спростовувати треба не протилежне твердження, а супротивне даному.
Спростувати що-небудь – означає показати, що воно неправильне.
Мал. 79
Запитання і завдання для самоконтролю
1. Сформулюйте означення паралельних прямих.
2. Що таке січна двох прямих?
3. Які кути називають внутрішніми різносторонніми? А внутрішніми односторонніми? Покажіть на малюнку.
4. Які кути називають відповідними? Покажіть на малюнку.
5. Сформулюйте і доведіть ознаки паралельності прямих.
Виконаємо разом
1. Як побудувати паралельні прямі, користуючись лише лінійкою і транспортиром?
Накреслимо довільний промінь АВ і відкладемо рівні кути ВАС і АСР, як показано на малюнку 80. Прямі АВ і СР – паралельні, адже кути ВАС і АСР – внутрішні різносторонні, а за побудовою вони рівні.
2. Через кінці відрізка АВ з одного боку від прямої АВ проведено промені АK і ВС так, що ∠КАВ = 110°, а ∠АВС = 70°. Чи паралельні ці промені?
– Пряму АВ можна вважати січною прямих АК i ВС (мал. 81).
Кути КАВ і ABC – внутрішні односторонні. Оскільки їх сума 110° + 70° дорівнює 180°, то прямі АК і ВС – паралельні (теорема 4).
Тому і промені АК і ВС – паралельні.
Мал. 80
Мал. 81
ЗАДАЧІ І ВПРАВИ
Виконайте усно
164. Скільки кутів утворюється при перетині двох прямих третьою?
165. Розгляньте малюнок 82 і назвіть пари кутів:
А) внутрішніх різносторонніх;
Б) внутрішніх односторонніх;
В) зовнішніх різносторонніх;
Г) зовнішніх односторонніх; г) відповідних;
Д) суміжних;
Е) вертикальних.
Мал. 82
166. Використовуючи малюнок 82, знайдіть суми мір кутів:
А) 1, 2, 3 і 4; 6)1,3, 5 і 7; в) 1,4, 5 і 8; г) 5, 6, 7 і 8.
167. Чи паралельні прямі а і с на малюнку 82, якщо:
A) ∠6 = ∠8; б) ∠7 = 101° і ∠5 = 101°;
В) ∠5 + ∠8 = 180°; г) ∠1 + ∠7 = 180°?
168. Як розташовані прямі а і b, якщо а ⏊ с, b ⏊ с і всі вони лежать в одній площині?
169. Як можуть бути розміщені в просторі прямі а і b, якщо а ⏊ с і b А⏊ с?
170. Запишіть назви пар кутів, зображених на малюнку 82:
А) ∠1 і ∠5; в) ∠7 і ∠2; г) ∠2 і ∠3;
Б) ∠6 і ∠3; г) ∠3 і ∠1; д) ∠8 і ∠5.
171. Відомо, що ∠1 = 87°, ∠ 78° (див. мал. 82). Обчисліть міри кутів 2, 4, 5, 6, 7, 8.
172. Скориставшись малюнком 82, обчисліть:
А) міри кутів 1, 2, 3, 4, 5, 8, якщо ∠7 = 100°, ∠6 = 90°;
Б) ∠1 + ∠4 і ∠2 + ∠3, якщо ∠5 + ∠8 = 170°;
В) ∠4 – ∠5, якщо ∠4 – ∠2 = 10°.
173. Чи паралельні прямі а і с (див. мал. 82), якщо:
А) ∠1 = 50°, ∠7 = 130°;
Б) ∠6 = 65°; ∠8 = 65°;
В) ∠1 + ∠7 = 180°;
Г) ∠2 = 140°, ∠3 на 80° менший від ∠2?
174. ВМ – бісектриса кута КВС (мал. 83). Чи паралельні прямі АС і ВМ, якщо ∠A = 50° і:
А) ∠СВМ = 50°;
Б) ∠АВМ = 130°;
В) ∠BCA = ∠КВМ;
Г) ∠ABM на 50° більший за ∠CAB?
Мал. 83
175. Пряма КР перетинає пряму АВ в точці К, а пряму CD – у точці Р. Чи паралельні прямі АВ і CD, якщо ∠АКР = 90° і ∠КРС = 90°?
176. Пряма КР перетинає пряму АВ в точці К, а пряму CD – у точці Р так, що точки В i D лежать по один бік від прямої КР. Чи паралельні прямі АВ і CD, якщо ∠BKP = 89°39′ і ∠KPD = 90°21′?
177. Через кінці відрізка АВ з одного боку від нього проведено промені АР і ВС. Чи паралельні ці промені, якщо:
А) ∠РАB = 105°, a ∠ABC = 75°;
Б) ∠РАB = 93°, а ∠АВС = 87°?
178. Доведіть, що протилежні сторони прямокутника лежать на паралельних прямих.
Б
179. Прямі а і b з січною с утворюють рівні гострі кути. Чи випливає з цього, що а ‖ b?
180. Знайдіть міри кутів 1 і 2, зображених на малюнку 84, якщо ∠1 + ∠4 = 160° і:
А) ∠4 на 20° менший від ∠1;
Б) ∠2 у 2 рази більший за ∠1;
В) ∠4 : ∠2 = 2 : 3;
Г) ∠4 становить 60 % кута 2.
Мал. 84
181. Чи паралельні прямі а і b, зображені на малюнку 85, якщо:
А) ∠4 – ∠1 = 30° і ∠3 = 75°;
Б) ∠1 = 60° і ∠2 : ∠3 = 2 : 1?
Мал. 85
182. Установіть взаємне розташування прямих а, b, с, зображених на малюнку 86, якщо:
А) ∠3 = ∠5 = ∠9;
Б) ∠2 = ∠8 i ∠7 = ∠9;
В) ∠12 = ∠8 і ∠6 + ∠3 = 180°.
Мал. 86
183. Січна n перетинає прямі а, b і с так, що кути позначені на малюнку 86 числами 2, 8 і 12, дорівнюють один одному. Доведіть, що прямі а, b і с попарно паралельні.
184. У зображеному на малюнку 87 шестикутнику∠1 = ∠4, ∠2 = ∠5 і ∠3 = ∠6. Доведіть, що кожна сторона даного шестикутника паралельна протилежній стороні.
Мал. 87
185. Чи паралельні прямі а і b, с і d, якщо: ∠1 = 60°, ∠2 – удвічі більший, a ∠2 – ∠3 = 60° (мал. 88)?
186. Як можна побудувати паралельні прямі, користуючись косинцем?
187. Користуючись двома однаковими косинцями, паралельні прямі можна проводити, як показано на малюнку 89. Обгрунтуйте таку побудову.
188. Закінчіть речення: “Щоб дізнатися, чи паралельні дані прямі, треба провести їх січну і виміряти відповідні кути. Якщо…”
Мал. 88
Мал. 89
Практичне завдання
189. Зробіть модель для ілюстрації доведення теореми 3.
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
190. Сторони трикутника дорівнюють 12 см, 15 см і 18 см. У скільки разів зменшиться периметр трикутника, якщо кожну його сторону зменшити на 5 см?
191. Точки К, L і М лежать на одній прямій. KL = 7 см, LM = 3 см. Знайдіть КМ. Розгляньте всі можливі випадки.
192. Прямі АВ і CD перетинаються в точці О, ОМ – бісектриса кута AОС. Знайдіть міри кутів МОВ і MOD, якщо ∠COB = 70°.
193. Один із двох кутів, утворених при перетині двох прямих, на 90° більший за інший. У скільки разів він більший за інший кут?