Головна ⇒ 📌Математика ⇒ Прямокутний паралелепіпед. Піраміда

Прямокутний паралелепіпед. Піраміда

Розділ I НАТУРАЛЬНІ ЧИСЛА І ДІЇ З НИМИ

§ 3. МНОЖЕННЯ І ДІЛЕННЯ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

22. Прямокутний паралелепіпед. Піраміда

Рис. 153

Коли ви були маленькими і гралися кубиками, то, можливо, складали фігури, зображені на рисунку 153. Ці фігури дають уявлення про прямокутний паралелепіпед. Форму прямокутного паралелепіпеда мають, наприклад, коробка цукерок, книга, цеглина, коробка сірників, пакувальний ящик, пакет молока.

На рисунку 154 зображено прямокутний паралелепіпед ABCDA1B1C1D1.

Прямокутний паралелепіпед обмежений шістьма гранями. Кожна грань – це прямокутник, тобто поверхня прямокутного паралелепіпеда складається із шести прямокутників.

Сторони граней називають ребрами прямокутного паралелепіпеда, вершини граней – вершинами прямокутного паралелепіпеда. Наприклад, від різки АВ, ВС, А1В1 – ребра, а точки В, А1,С1, – вершини паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1 (рис. 154).

У прямокутного паралелепіпеда 8 вершин і 12 ребер.

Грані АА1B1В і DD1C1C не мають спільних вершин. Такі грані називають протилежними. У паралелепіпеді ABCDA1В1D1 є ще дві пари протилежних граней: прямокутники ABCD i A1B1C1D1, а також

прямокутники AA1D1D і ВВ1С1С.

Протилежні грані прямокутного паралелепіпеда рівні.

На рисунку 154 грань ABCD називають основою прямокутного паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1.

Площею поверхні паралелепіпеда називають суму площ усіх його граней.

Щоб мати уявлення про розміри прямокутного паралелепіпеда, достатньо розглянути будь-які три ребра, що мають спільну вершину. Довжини цих ребер називають вимірами прямокутного паралелепіпеда. Щоб їх розрізняти, користуються назвами: довжина, ширина, висота (рис. 155).

Прямокутний паралелепіпед, у якого всі виміри рівні, називають кубом (рис. 156). Поверхня куба складається із шести рівних квадратів.

Рис. 155

Рис. 156

Якщо коробку, яка має форму прямокутного паралелепіпеда, відкрити (рис. 157) і розрізати по чотирьох вертикальних ребрах (рис. 158), а потім розгорнути, то отримаємо фігуру, яка складається із шести прямокутників (рис. 159). Цю фігуру називають розгорткою прямокутного паралелепіпеда.

Рис. 157

Рис. 158

На рисунку 160 зображено фігуру, яка складається із шести рівних квадратів. Вона є розгорткою куба.

За допомогою розгортки можна виготовити модель прямокутного паралелепіпеда. Це можна зробити, наприклад, так. Накреслити на папері його розгортку. Вирізати її, зігнути по відрізках, що відповідають

Рис. 154

Ребрам прямокутного паралелепіпеда (рис. 158), і склеїти.

Рис. 159

Рис. 160

Прямокутний паралелепіпед є видом многогранника – фігури, поверхня якої складається з многокутників. На рисунку 161 зображено многогранники.

Рис. 161

Одним із видів многогранника є піраміда.

Ця фігура для вас не є новою. Скоріш за все, ви чули про одне із семи чудес світу – єгипетські піраміди.

Єгипетські піраміди

Рис. 162

На рисунку 162 зображено піраміди МАВС, MABCD, MABCDE. Поверхня піраміди складається з бічних граней – трикутників, які мають спільну вершину, і основи, яка є многокутником (рис. 163). Спільну вершину

Бічних граней називають вершиною піраміди. Сторони основи піраміди називають ребрами основи піраміди, а сторони бічних граней, які не належать основі, – бічними ребрами піраміди.

Піраміди можна класифікувати за кількістю сторін основи (рис. 162): трикутна, чотирикутна, п’ятикутна й т. д.

Поверхня трикутної піраміди складається з чотирьох трикутників. Будь-який із цих трикутників може слугувати основою піраміди. Це єдиний вид піраміди, будь-яку грань якої можна вважати її основою.

На рисунку 164 зображено фігуру, яка може слугувати розгорткою чотирикутної піраміди. Вона складається з квадрата й чотирьох рівних рівнобедрених трикутників.

На рисунку 165 зображено фігуру, що складається з чотирьох рівних рівносторонніх трикутників. За допомогою цієї фігури можна зробити модель трикутної піраміди, у якої всі грані – рівносторонні трикутники.

Рис. 163

Рис. 164

Рис. 165

Многогранники є прикладами геометричних тіл. На рисунку 166 зображено знайомі вам геометричні тіла, які не є многогранниками. Докладніше з цими тілами ви ознайомитесь у 6 класі.

Рис. 166

Розв’язуємо усно

1. Обчисліть:

1) 13 ∙ 4 ∙ 25; 2) 4 ∙ 5 ∙ 78 ∙ 5; 3) 125 ∙ 943 ∙ 8.

2. Спростіть вираз:

1) 3а ∙ 16b; 2) 4m∙ 9n ∙ 5k; 3) 7а ∙ 2b ∙ 50с ∙ 8d.

3. Розкрийте дужки:

1) 2 (а + b); 2) (3 – b) ∙ 5; 3) 6m (7n + 8р).

4. Знайдіть периметр прямокутника, площа якого дорівнює 28 см2, а одна з його сторін – 7 см.

5. У магазині розклали 6 ц яблук по ящиках так, що в кожному ящику міститься по 12 кг яблук. Скільки ящиків заповнили яблуками?

6. У скільки разів площа квадрата зі стороною 6 см більша за площу квадрата зі стороною 2 см?

Вправи

603.° На рисунку 167 зображено прямокутний паралелепіпед ABCDMNKP. Назвіть:

1) грані, яким належить вершина С;

2) ребра, що дорівнюють ребру ВС;

3) верхню грань;

4) вершини, що належать нижній грані;

5) грані, що мають спільне ребро AM;

6) грань, що дорівнює грані DPKC.

604.° Виміри прямокутного паралелепіпеда MNKPEFST (рис. 168) дорівнюють 9 см, 5 см і 6 см. Обчисліть суму довжин усіх його ребер та площу його поверхні.

Рис. 167

Рис. 168

605.° Знайдіть суму довжин усіх ребер прямокутного паралелепіпеда, виміри якого дорівнюють 13 см, 16 см, 21 см.

606.° Знайдіть площу поверхні прямокутного паралелепіпеда, виміри якого дорівнюють 9 м, 24 м, 11 м.

607.° Обчисліть площу поверхні та суму довжин усіх ребер куба, ребро якого дорівнює 5 см.

608.°Знайдіть суму довжин усіх ребер і площу поверхні куба, ребро якого дорівнює 7 см.

609.° На рисунку 169 зображено піраміду МАВС. Укажіть:

1) основу піраміди; 4) бічні ребра піраміди;

2) вершину піраміди; 5) ребра основи піраміди.

3) бічні грані піраміди;

Рис. 169

Рис. 170

610.° На рисунку 170 зображено піраміду SABCD. Укажіть:

1) основу піраміди; 4) бічні ребра піраміди;

2) вершину піраміди; 5) ребра основи піраміди.

3) бічні грані піраміди;

611.° На рисунку 171 зображено розгортку прямокутного паралелепіпеда.

1) Зі скількох прямокутників складається розгортка?

2) Скільки пар рівних прямокутників містить розгортка?

3) Яка площа цієї розгортки, якщо виміри паралелепіпеда дорівнюють 10 см, 7 см и 3 см?

Рис. 171

Рис. 172

612.° Обчисліть площу поверхні прямокутного паралелепіпеда, розгортку якого зображено на рисунку 172.

613.° Висота прямокутного паралелепіпеда дорівнює 20 см, що на 5 см більше за його ширину та в 3 рази менше від його довжини. Обчисліть площу поверхні паралелепіпеда.

614.° Сума довжин усіх ребер прямокутного паралелепіпеда дорівнює 28 см. Знайдіть суму довжин трьох його ребер, що мають спільну вершину.

615.°° Прямокутний паралелепіпед і куб мають рівні площі поверхні. Довжина паралелепіпеда дорівнює 18 м, що у 2 рази більше, ніж його ширина, і на.8 м більше, ніж його висота. Знайдіть ребро куба.

616.°° Брусок, що має форму прямокутного паралелепіпеда з вимірами 4 см, 5 см і 6 см, пофарбували з усіх сторін і розрізали на кубики з ребром 1 см. Скільки утворилося кубиків, у яких пофарбовано: 1) три грані; 2) дві грані; 3) одну грань?

Вправидля повторення

617. Швидкість ракети дорівнює 8 км/с. За скільки хвилин вона пролетить 960 км?

618. З листа картону можна вирізати шість однакових квадратів. Скільки листів картону потрібно для того, щоб вирізати 50 таких квадратів?

619. Поїзд вийшов зі станції о 16 год зі швидкістю 54 км/год. О 19 год з цієї ж станції у протилежному напрямі вийшов другий поїзд. О 24 год відстань між поїздами становила 642 км. З якою швидкістю рухався другий поїзд?

620. Розв’яжіть рівняння:

1) 6x + 8x – 7х = 714; 3) 11x – 6x + 17 = 2042;

2) 23x – 19 + 5 = 1827; 4) 5x + 3x – 47 = 6401.

Задача від Мудрої Сови

621. Як за допомогою лінійки виміряти діагональ1 цеглини, маючи ще кілька таких цеглин?