Головна ⇒ 📌ГДЗ з математики ⇒ Застосування координат

Застосування координат

124.

Б) 0 ≤ x ≤ 4; 0 ≤ у ≤ 4; 0 ≤ z ≤ 4.

125.

0 ≤ х ≤ 3; 0 ≤ у ≤ 3; -3 ≤ 2 ≤ 3.

126.

А) А(0; 0; 0); В(0; 1; 0); С(1; 1; 0); D(1; 0; 0);

А1(0; 0; 1); В1(0; 1; 1); С1(1; 1; 1); D(1; 0; 1);

Б) А(0,5; -0,5; 0); В(0,5; 0,5; 0); С(-0,5; 0,5; 0); D(-0,5; 0,5; 0);

А1(0,5; -0,5; 1); В1(0,5; 0,5; 1); С1(-0,5; 0,5; 1); D1(-0,5; -0,5; 1);

В)

127.

Нехай D(x; у; z, тоді

class=""/>

Звідси х = у = z. Тоді (х – 6)2 + х2 + х2 = 72; 3×2 – 12x – 36 = 0;

X2 – 4х – 12 = 0; х1 = 6; х2 = -2. .

Отже, D(6; 6; 6) або D(-2;-2;-2).

128.

E – середина A1D1; F – середина D1C, тоді EF – середня лінія ΔA1D1C,

Тоді EF? А1С і

N – середина A1D1, М – середина DC, NM – середня лінія ΔA1DC,

Тому MN? А1С і

Звідси EF? NM і EF = NM. Тому EFMN – паралелограм.

Отже, ЕМ і NF перетинаються і точкою перетину діляться навпіл

(властивість діагоналей паралелограма).

129.

class=""/>

Розмістимо паралелепіпед в системі координат таким чином:

В – в початок координат, ВА лежить на осі х; ВС – на у, ВВ1 на осі z.

Тоді В1(0; 0; 6), В(0; 0; 0), К(2; 4; 3), O(1; 2; 0).

О – точка перетину діагоналей основи ABCD.

Відрізок ВК перетне площину AB1C в точці М, що належить відрізку ВО.

– рівняння B1O; z – 6 = -6х; z = – 6х + 6;

– рівняння ВК;

Звідси

130.

Розмістимо прямокутну систему координат відносно даного куба,

Як показано на рисунку і позначимо АВ = 1, тоді: B1(0; 0; 1);

D(1; 1; 0).

Складемо рівняння площини (В1MN).

X + y + 2z – 2 = 0 – рівняння площини (B1NM).

Перевіримо чи належить т. D(1; 1; 0) даній площині:

1 + 1 + 2 × 0 – 2 = 0 – вірно, отже, площина (В1MN) проходить через т. D.

Б) AM : МА1 = 3 : 1, тоді CN : NC1 =1 : 3, тоді

Рівняння площини (B1MN):

Х + 3у + 4z – 4 = 0 – рівняння площини (B1MN).

Т. D(1; 1; 0) належить площині (B1MN), бо 1 + 3 × 1 + 4 × 0 – 4 = 0 – вірно.

131.

Розташуємо куб в системі координат як показано на рисунку.

Р – центр грані DD1C1C.

R – центр грані BB1C1C. Ребро куба дорівнює а.

Тому А(0; 0; 0); А1(а; 0; а);

0(х; у; z) – центр сфери. Тоді ОА = ОА1 = ОK = ОР і ОА2 = ОА12 = ОK2 = ОР2

Або

Маємо систему:

Отже, Тоді

132.

Розмістимо куб в координатній системі, як показано на рисунку.

Сфера проходить через точку В, М – середина ВС, K – середина BA,

Р – середина ВВ1. Якщо ребро куба дорівнює а, то В(0; 0; 0);

О – центр сфери; O(х; у, z), тоді ОB = ОМ = ОK = ОР і ОВ2 = ОМ2 = ОK2 = ОР2.

Маємо систему:

Отже,

133.

Розмістимо куб в координатній системі, як показано на рисунку.

Сфера проходить через середини ребер BA, ВС, ВВ1, тобто через точки

K, Μ, Р і вершину D1. Ребро куба 20.

Тому K(10; 0; 0), М(0; 10; 0), Р(0; 0; 10), D,(20; 20; 20).

O(х; у; z) – центр сфери.

Маємо систему:

Отже, O(11; 11; 11);

134.

Або АС2 =ОС2+ОА2 (і)

Або DB2 = OB2 + OD2(ІІ)

Додамо почленно рівності І і II.

АС2 + DB2 = ОС2 + ОА2 + ОВ2 +OD2 = (ОС2 + OD2) + (OA2 + ОВ2) = DC2 + АВ2.

Отже, AC2 + DB2 = DC2 + AB2.

135.

Побудуємо коло, діаметром якого є даний відрізок, тоді кожна точка X кола має таку властивість: АХ2 + ХВ2 = АВ2, тобто сума квадратів відстаней від точок кола до кінців відрізка стала величина. Точки фігури, яку одержимо обертанням кода навколо свого діаметра АВ, мають цю властивість: сума квадратів відстаней від цих точок до кінців відрізка є величиною сталою. Ця фігура – сфера з діаметром АВ.

136.

X – довільна точка грані A1B1C1D1

ХА2 + ХВ2 + ХС2 + XD2 буде найменшою, якщо X – точка перетину діагоналей грані A1B1C1D1

137.

X – довільна точка сфери. Якщо провести площину (ХАС), то площина пройде через т. О. ∠ХАС = 90°, вписаний, спирається на діаметр СА. Тоді за теоремою Піфагора ХС2 + ХА2 = СА2, аналогічно ХВ2 + XD1 = BD2.

Тоді ХС2 + ХА2 +XB2 + XD2 = CA2 + DB2, тобто ХС2 + ХА2 + ХВ2 + XD2 – стала величина, незалежно від вибору т. X.

138.

X – довільна точка сфери.

Де d – діагональ куба. Отже, незалежно від вибору т. X, сума квадратів відстаней від X до кожної вершини куба дорівнює 4d2.

139.

В грань ABCD вписано коло. Нехай а – ребро куба. Розмістимо куб в системі координат. Q – центр кола. – рівняння кола.

A1(a; 0; a), В1(0; 0; a), С 1(0; a; a), D 1(a; а; а).

З рівняння кола:

Отже, – довільна точка кола.

Тобто, сума квадратів відстаней від довільної точки кола до вершин протилежної грані куба – стала величина (7а2), вона не залежить від вибору точки. Залежить лише від довжини ребра.

140.