Формула Герона
УРОК № 13
Тема. Формула Герона
Мета уроку: виведення формули Герона для площі трикутника. Формування вмінь учнів застосовувати виведену формулу до розв’язування задач.
Тип уроку: комбінований.
Наочність і обладнання: таблиця “Площі трикутників і чотирикутників” [13].
Вимоги до рівня підготовки учнів: використовують формулу Герона під час розв’язування задач.
Хід уроку
І. Перевірка домашнього завдання
Перевірити наявність виконаних домашніх завдань та відповісти на запитання, які виникли в учнів при
Задача 1. Розв’язання
Оскільки квадрат і ромб мають однакові периметри, то їхні сторони рівні. Нехай довжина сторони дорівнює а, тоді площа квадрата дорівнює а2, а площа ромба a2sin?, де? – кут ромба.
Оскільки sin? < 1, то a2sin? < а2. Отже, площа ромба менша за площу квадрата.
Відповідь. Квадрат.
Задача 2. Розв’язання
Оскільки в трикутнику ABC (рис. 45) АВ = а, 
CAB = 45°, то АС = АВ • cos CAB = a • cos45° = a • 
= 
.
S? AВC = 
AC2 =
= 
Відповідь. .
Задача 3. Розв’язання
Нехай у трикутнику ABC (рис. 46) АС = ВС = 1 м, С = 70°, тоді S = • AC • BC • sinC = • 1 • 1 • sin70° = • sin70° 
• 0,94 = 0,47 (м2).
Відповідь. 0,47 м2.
Математичний диктант
1) Знайдіть площу прямокутника зі сторонами 2 см і 3 см. 2) Знайдіть площу прямокутного трикутника з катетами 3 см і 2 см. 3) Знайдіть площу правильного трикутника зі стороною 2 см. 4) Знайдіть площу паралелограма зі сторонами 2 см і 
см, якщо кут між сторонами становить 60°. 5) Знайдіть площу ромба, діагоналі якого дорівнюють 3 см і 4 см. 6) Знайдіть площу трикутника, сторони якого дорівнюють 
см і 3 см, а кут між ними становить 135°.
Відповіді. 1) 6 см2; 2) 3 см2; 3) См2; 4) 3 см2; 5) 6 см2; 6) 1,5 см2.
II. Сприймання й усвідомлення нового матеріалу
Ви навчилися знаходити площу довільного трикутника за відомими:
1) стороною і висотою, проведеною до цієї сторони; 2) сторонами і кутом між ними.
Сьогодні ми ознайомимося з тим, як можна знайти площу трикутника, якщо відомі три його сторони. Цю формулу одержав Герон Олександрійський, давньогрецький учений, який жив в Александрії в І ст. н. є. Відомо, що він був ученим-інженером, займався геодезією і прикладною математикою.
Проведемо висоту до найбільшої сторони трикутника ABC (рис. 47). Нехай АС = b – найбільша сторона цього трикутника, АВ = с, ВС = а, BD
AC. Нехай AD = х, тоді DC = b – х. Із прямокутного трикутника ABD маємо: BD2 = c2 – x2. Із прямокутного трикутника BCD маємо: BD2 = а2 – (b – x)2. Тоді маємо рівняння с2 – х2 = a2 – (b – х)2, з якого знайдемо х.
С2 – х2 = а2 – b2 + 2bx – x2; 2bx = c2 + b2 – a2; 
.
Тоді BD = 
= 
= 
.
Отже, S = B • ВD = 
= 
= 
= 
=
= 
= 
= 
.
Ураховуючи, що 
, маємо:
S = 
=
.
Що і треба було довести.
Колективне розв’язування задач
Знайдіть площу трикутника за трьома сторонами:
А) 17, 65, 80; б) 
, 
, 6; в) 15, 37
, 47
; г) 2
, 3
, 1,83.
Розв’язання
А) S = 
= 
= 
= 288.
Б) 
.
S = 
= 
= 10.
В) 
.
S = 
= 
= 42
= 
= 
= 193
.
Г) 
.
S=
=
=
= 
= 
= 1,4.
ІІІ. Закріплення й осмислення нового матеріалу
Колективне розв’язування задач
Сторони трикутника дорівнюють а, b, с. Знайдіть висоту трикутника, опущену на сторону с.
Розв’язання
, 
.
Оскільки S = Chc, то hc = 
= 
.
Відповідь. .
Самостійне розв’язування задач
Бічні сторони трикутника дорівнюють 30 см і 25 см. Знайдіть висоту трикутника, опущену на основу, що дорівнює: а) 25 см; б) 11 см.
Розв’язання
А) 
,
(см2).
S = • 25 • h, 300 = • 25 h, h = 
= 24 (см).
Відповідь. 24 см.
Б) 
,
(см2).
S = • 11 • h, 132 = • 11 • h, h = 
= 24 (см).
Відповідь. 24 см.
Колективне розв’язування задачі
Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 64 см, а його бічна сторона на 11 см більша від основи. Знайдіть висоту трикутника, опущену на бічну сторону.
Розв’язання
Нехай трикутник ABC (рис. 48) рівнобедрений, АВ = ВС. Нехай АС = х см, тоді АВ = ВС = (х + 11) см. Оскільки периметр дорівнює 64 см, то маємо:
X + 11 + x + 11 + x = 64; 3х + 22 = 64; 3х = 42; х = 14. Отже, АС = 14 см, АВ = ВС = 25 см.
Оскільки 
=
= 7 • 4 • 6 = 168 (см2), S = • АВ • h, то h = 
= 
= 13,44 (см).
Відповідь. 13,44 см.
IV. Самостійна робота
Варіант 1
1. Знайдіть найменшу висоту трикутника зі сторонами 5, 5, 6. 2. Знайдіть найбільшу висоту трикутника зі сторонами 
, 
, 6.
Варіант 2
1. Знайдіть найменшу висоту трикутника зі сторонами 17, 65, 80. 2. Знайдіть найбільшу висоту трикутника зі сторонами 13, 37
, 47-
.
Розв’язання до завдань самостійної роботи
Варіант 1
1. 
= 8, 
= 12(см2).
S = • 6 h, h = –
= 
= 
= 4 (см).
Відповідь. 4 см.
2. S = 10 см 2. S = • • h, h = 
= 
= 
= 4,8 (см).
Відповідь. 4,8 см.
Варіант 2
1. 
= 81, 
= 288(см2).
S = • 80 • h, h = 
= 
= 7,2 (см).
Відповідь. 7,2 см.
2. S = см 2. S = • 13 • h, h = 
= 
= 
= 29 
(см).
Відповідь. 29 см.
V. Домашнє завдання
Розв’язати задачі.
1. Знайдіть площу трикутника за трьома сторонами, що дорівнюють:
А) 13, 14, 15; б) 5, 5, 6.
2. Знайдіть висоти трикутника, у якого сторони дорівнюють 13 см, 14 см, 15 см. 3. Знайдіть висоту трикутника зі сторонами 2, 3, 1,83, яка проведена на основу 2.
VI. Підбиття підсумків уроку Завдання класу
1. Запишіть відомі вам формули для знаходження площі трикутника. 2. Знайдіть площу трикутника, якщо його сторони дорівнюють 3 см, 3 см і 2 см.