Кут між векторами. Скалярний добуток векторів
Урок 59
Тема. Кут між векторами. Скалярний добуток векторів
Мета уроку: формування понять кута між векторами, скалярного добутку векторів. Формування вмінь учнів застосовувати вивчений матеріал до розв’язування задач.
Обладнання: схема “Вектори в просторі”
Хід уроку
1. Фронтальна бесіда з класом за контрольними запитаннями № 18- 20 з використанням схеми “Вектори в просторі” (див. с. 233).
2. Відповіді на запитання, які виникли в учнів при розв’язуванні задач № 51-53.
3. Математичний диктант.
Дано вектори:
Варіант
(3; 0; 4); 
(7; 0; 2);Варіант 2 – (2; -2; 0); (3; 0; -3).
Запишіть:
1) координати вектора 
, якщо = + , (2 бали)
2) координати вектора 
, якщо = 2 – ; (2 бали)
3) довжину вектора + ; (2 бали)
4) координати вектора 
, якщо відомо, що довжина вектора
; (2 бали)5) при якому значенні k вектор 
(k; 0; 6) колінеарний вектору ; (2 бали)
6) чи компланарні вектори , та 
(0; 0; 1)? (2 бали)
Відповідь. Варіант 1. 1) (10; 0; 6). 2) (-1; 0; 6). 3) 2
. 4) (-9; 0; -12), (9; 0; 12). 5) k = 21. 6) Так.
Варіант 2. 1) (5; -2; -3). 2) (1; -4; 3). 3) 
. 4) (6; -6; 0), (-6; 6; 0). 5) k = – 6. 6) Hi.
Скалярним добутком векторів (аx; аy; аz) • (bx; by; bz) називається число (скаляр) – = аx – bx + аy – by + аz – bz.
1. Знайдіть – , якщо (-2; 3; 1), (-4; -5; 2).
2. Дано вектори (2; -1; 4), (5; 3; n). При якому значенні п скалярний добуток векторів дорівнює -3?
Із означення скалярного добутку двох векторів і випливають його властивості.
1) – = – .
2) ( + ) – = – + – .
3) Скалярний добуток векторів і дорівнює добутку їх абсолютних величин на косинус кута між ними: – = – cos? (рис. 297).
Від точки О відкладемо вектор OВ = (рис. 298) і ОА = . Виберемо декартову систему координат так, щоб точка О була початком координат, пряма ОА збіглася з віссю у, вісь z була б перпендикулярна до прямої ОА і знаходилася в площині ОАВ, вісь х перпендикулярна до площини уz. Визначимо координати векторів і :
А(0; || ; 0); B(0; || cos?; || sin?); (0; ||; 0); (0; || cos?; || sin?).
Знайдемо скалярний добуток:
– = 0 – 0 + || – || cos? + 0 – || sin? = || – || cos?.
Наслідки із властивості 3:
1) 
2) Два відмінні від нуля вектори і перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх скалярний добуток дорівнює нулю.
Дійсно, якщо – = 0, то – – cos? = 0 , cos? = 0, ? = 
, і навпаки, якщо? = 0 , то – = – – cos? = – – 0 = 0.
1. Знайдіть – , якщо = 5, = 4, а кут між векторами дорівнює 120°.
2. Ребро куба дорівнює 4 (рис. 299). Знайдіть 
– 
.
Рис. 299
3. Чи перпендикулярні вектори (2; 3; 6) і (3; 2; -1)?
4. При якому значенні т вектори (6; 0; 12) і (-8; 13; m) перпендикулярні?
5. Чи є серед векторів (2; 3; 1), (5; 9; 2), (-3, 1; 3) ортогональні вектори?
6. Який кут утворюють вектори (-5; 0; 0) і (0; 3; 0)?
7. Знайдіть кут між векторами (1; 1; 0) і (1; 0; 1).
8. Знайдіть cos ABC, якщо А(1; -3; 4), В(2; -2; 6), С(3; 1; 3).
III. Домашнє завдання
§4, п. 35, 36; контрольні запитання № 18-20; задачі № 55 (1; 4), 56 (с. 58).
IV. Підведення підсумку уроку
1) Що називається скалярним добутком векторів (аx; аy; аz) і (bx; by; bz)?
2) Сформулюйте властивості скалярного добутку векторів.
3) Яка умова ортогональності двох ненульових векторів?
4) У просторі дано вектори (1; 1; -1), (0; -1; 1). Укажіть, які з вказаних тверджень правильні, а які – неправильні:
А) 
= 1;
Б) вектори і перпендикулярні;
В) вектори + і не перпендикулярні;
Г) -(+) = 1;
Д) вектори і + утворюють кут, косинус якого дорівнює 
.