КУТИ І ЇХ МІРИ

РОЗДІЛ 1 НАЙПРОСТІШІ ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ

& 3. КУТИ І ЇХ МІРИ

Два промені, що мають спільний початок, розбивають площину на дві частини.

Частину площини, обмежену двома променями із спільним початком, називають кутом.

Промені, що обмежують кут, називають сторонами кута, а їх спільний початок – вершиною кута (мал. 30, а). Такий кут називають кутом АОВ або кутом ВОА, або кутом О і записують відповідно: ∠АОВ або ∠BOA, абоАО. Усі точки кута, які не належать його сторонам, утворюють внутрішню область цього кута. Внутрішню

область кута на малюнку 30, а зафарбовано. Іноді внутрішню область кута позначають дугою, іноді – ніяк не позначають, а тільки уявляють. На малюнках 30, б і 30, в зображено кути з вершиною О і сторонами ОА і ОВ.

Мал. 30

Мал. 31

Кут, сторони якого – доповняльні промені, називають розгорнутим кутом (мал. 31).

Щоб вимірювати кути, треба мати одиницю виміру. За таку одиницю приймають кут в 1 градус (скорочено: 1°). У розгорнутому куті він уміщується 180 разів. Уявімо півколо, поділене на 18 рівних дуг (мал. 32). Коли з його центра О через усі точки поділу і

кінці півкола провести промені, вони поділять розгорнутий кут на 18 кутів по 10°. Один із таких кутів (∠АОВ) ділимо на 10. Міра кута АОС дорівнює 1°.

Мал. 32

Кожний кут має певну міру.

Міра розгорнутого кута дорівнює 180°.

Міру кута позначають так само, як і кут. Наприклад, якщо міра кута ABC дорівнює 60 градусів, пишуть: ∠ABC = 60°. Дуже малі кути вимірюють у мінутах і секундах.

Мінутою називають частину градуса, а секундою – частину мінути.

Записують: 1° = 60′, 1′ = 60″.

Кути в зошиті та на класній дошці вимірюють транспортиром (мал. 33), а на місцевості – астролябією (мал. 34, а), теодолітом (мал. 34, б) чи іншими кутомірними приладами.

Мал. 33

Мал. 34, а

Мал. 34, б

Два кути називають рівними, якщо їх міри рівні.

Із двох кутів більшим уважають той, міра якого більша.

Кут називають прямим, якщо його міра дорівнює 90°, гострим – якщо він менший від прямого, тупим – якщо він більший за прямий, але менший від розгорнутого (мал. 35).

Прямі кути на малюнках частіше позначають не дугами, а квадратиками (див. мал. 35).

Кути, більші від розгорнутого (див. мал. 30, в), поки що не розглядатимемо.

Мал. 35

Промінь, який виходить з вершини кута і лежить у його внутрішній області, називають внутрішнім променем кута. Внутрішній промінь розбиває даний кут на два менші кути. Наприклад, внутрішній промінь ОК кута АОВ розбиває цей кут на кути АОК і КОВ (мал. 37). При цьому ∠ АОК + ∠КОВ = ∠АОВ. Говорять, що кут АОВ дорівнює сумі кутів АОК і КОВ.

Міра кута дорівнює сумі мір кутів, на які даний кут розбивається його внутрішнім променем.

Два виділені вище речення, позначені знаком, називають основними властивостями вимірювання кутів.

За допомогою транспортира можна не тільки вимірювати кути, а й відкладати кути заданої міри від будь-якого променя. Поступовий процес відкладання кута САВ, що дорівнює 40°, від променя АВ показано на малюнку 36.

Мал. 36

Основна властивість відкладання кутів

Від будь-якого променя з одного боку від нього можна відкласти кут заданої міри, і тільки один.

Внутрішній промінь, який розбиває кут на два рівні кути, називають бісектрисою цього кута. На малюнку 38 промінь ОС – бісектриса кута АОВ.

Мал. 37

Мал. 38

Для допитливих

Кутом часто називають також фігуру, складену з двох променів, що мають спільний початок. Таким чином, кутом називають і деяку лінію. Але поділити такий кут на два чи більше рівних кутів не можна. То ж коли говорять про додавання, віднімання чи ділення кутів, то кут розглядають разом з його внутрішньою областю.

Хоча далі ми розглядатимемо здебільшого кути менші від розгорнутого, слід пам’ятати, що кути бувають і більші за розгорнутий. Вони мають більше 180°. Таким, наприклад, є кут D чотирикутника ABCD (мал. 39). Існують і спеціальні транспортири, якими вимірюють кути, більші за розгорнутий (мал. 40). Зазвичай у геометрії розглядають кути не більші за 360°. Поняття кута застосовують часто також для характеристики поворотів. Наприклад, велосипедне колесо можна повернути на 100°, можна на 300°. А коли колесо зробило півтора оберти? Уважають, що воно повернулося на 360° і ще на 180°, а разом – на 540°.

Крім градусів, мінут і секунд, є й інші міри кутів. Моряки вимірюють кути у румбах. Румбом називають восьму частину прямого кута. 1 румб = 11,25° (мал. 41). Науковці найчастіше вимірюють кути в радіанах. Що це таке, дізнаєтесь у старших класах.

Мал. 39

Мал. 40

Мал. 41

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Яку фігуру називають кутом? Як позначають кути?

2. Який кут називають:

А) гострим; б) тупим; в) прямим; г) розгорнутим?

3. Якими приладами і в яких одиницях вимірюють кути?

4. Що таке внутрішня область кута і внутрішній промінь кута?

5. Що таке бісектриса кута?

6. Які кути називають рівними?

7. Сформулюйте основні властивості вимірювання кутів.

Виконаємо разом

1. Знайдіть міру кута АОВ, якщо промені ОС і ОК ділять його на три рівні кути і ∠СОК = 40°.

– Кут СОК – третя частина кута АОВ.

Тому ∠АОВ = 40° ∙ 3 = 120°.

Отже, ∠АОВ = 120°.

2. Знайдіть міри кутів, утворених стрілками годинника: о 3-й годині; о 5-й годині (мал. 42).

На циферблаті годинника півколо відповідає 6 годинам. Тому одній годині відповідає 1/6 частина розгорнутого кута, тобто 30°. Коли на годиннику 3-тя година, кут між годинною і хвилинною стрілками дорівнює 30° ∙ 3 = 90°. Коли на годиннику 5-та година, кут між його стрілками дорівнює 30° ∙ 5 = 150°.

Отже, ці кути – 90° і 150°.

Мал. 42

ЗАДАЧІ І ВПРАВИ

Виконайте усно

63. Скільки мінут мають 2°? А півтора градуса?

Мал. 43

64. 1) Назвіть усі кути, що є на малюнку 43. Які з них гострі, прямі, тупі?

2) Нехай ∠МОА = 25°, ∠COD = ∠DOB = 30°, ∠АОВ – прямий. Знайдіть ∠МОВ і ∠АОС.

3) Порівняйте кути МОС і AOD, AOD і СОВ.

65. Знайдіть кут між променями, які ділять прямий кут на 3 рівні частини.

66. Промені, проведені з центра кола, ділять його на 4 рівні частини. Знайдіть кут між двома сусідніми променями.

А

67. Накресліть гострий кут. Позначте буквами його вершину і сторони. Заштрихуйте його внутрішню область.

68. Накресліть тупий кут. Позначте його сторони буквами, а внутрішню область – дугою.

69. Накресліть розгорнутий кут КРТ. Назвіть його вершину і сторони. Позначте внутрішню область кута дугою.

70. Позначте три точки А, В і С, що не лежать на одній прямій. Побудуйте кут ABC. Чи може цей кут бути розгорнутим?

71. Користуючись транспортиром, побудуйте кути, міри яких дорівнюють 50°, 90°, 120°. Проведіть бісектриси побудованих кутів.

72. Побудуйте на око кути, міри яких дорівнюють 30°, 45°, 60°, і проведіть їх бісектриси. Перевірте точність побудови транспортиром.

73. Виразіть у градусах і мінутах міри кутів: 135′; 5000′.

74. Виразіть у мінутах: 6° 15′; 2°; 11,5°.

75. Виконайте дії:

А) 5° 48′ + 7° 35′;

Б) 32° 17′ – 8° 45′.

76. Виконайте дії:

А) 33° 33′ +15° 15′;

Б) 145° 54′- 41° 41′.

В) 123° 45′ + 54° 32′;

Г) 44° 14′ – 14° 44′.

77. Заповніть таблицю, у якій А – міра даного кута, В – міра кута між його стороною і бісектрисою.

А	10°	60°	100°	180°
В	50°	45°

78. Знайдіть міру кута АОВ, якщо ОС – його внутрішній промінь і ∠AOC = 60°, ∠СОВ = 30°.

79. Чи є промінь РМ внутрішнім променем кута КРТ, якщо ∠KPT= 70°, ∠KPM = 80°? А якщо ∠KPM = 20°?

Б

80. На який кут повертається хвилинна стрілка годинника протягом 20 хв; 30 хв?

81. На який кут повертається годинна стрілка годинника протягом 0,5 год; п’яти хвилин?

82. Знайдіть кут МОВ, якщо ∠АОМ = 25° і ∠АОМ : ∠МОВ = 4 : 5.

83. Знайдіть кут АОВ, якщо ∠АОМ = 30°, ∠МОВ = 60° і всі ці кути розташовані в одній площині.

84. Дано кути АОВ і МОВ однієї площини, що містять відповідно 120° і 60°. Знайдіть міру кута АОМ. Розгляньте два випадки.

85. Накресліть кут АОВ і його внутрішні промені ОК і ОМ так, щоб ∠АОВ = 90°, ∠АОК = 40°, ∠МОВ = 30°. Знайдіть ∠КОМ.

86. ОМ – бісектриса кута АОВ, ОК – бісектриса кута АОМ. У скільки разів ∠КОМ менший від ∠АОВ?

87. ОМ – бісектриса прямого кута АОВ. ОК і ОР – бісектриси кутів АОМ і МОВ. Знайдіть міру кута КОР.

88. ∠АОМ = 30°, a ∠BOM – на 20° більший. Знайдіть ∠АOВ. Розгляньте всі можливі випадки.

89. ОМ і ОК – внутрішні промені кута АОВ, ОК – бісектриса кута МОВ, ∠АОВ = 150°, ∠КОВ – на 40° менший від ∠MOB. Знайдіть ∠АОМ і ∠AOK.

Практичне завдання

90. а) Виріжте з паперу гострий, прямий і тупий кути. Виміряйте їх транспортиром.

Б) Перегинаючи аркуші паперу, зробіть моделі кутів, міри яких дорівнюють 180°, 90°, 45°, 30°, 60°.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ

91. Площа квадрата дорівнює 16 см2. Знайдіть його периметр.

92. Знайдіть периметр прямокутника, якщо його площа дорівнює 40 см2, а одна із сторін – 5 см.

93. Чи на одній прямій розташовані точки А, В і С, якщо:

А) АВ = 5 дм, ВС = 7 дм, АС = 10 дм;

Б) АВ = 35 см, ВС = 45 см, АС = 1 дм;

В) АВ = дюйма, ВС = дюйма, АС = дюйма?

94. Як знайти площу прямокутного трикутника, сторони якого дорівнюють 3 см, 4 см і 5 см?

95. Перемалюйте в зошит фігуру, зображену на малюнку 44. Розфарбуйте її двома кольорами.

Мал. 44

Геометрія навколо нас

ЗАДАЧІ ЗА ГОТОВИМИ МАЛЮНКАМИ

А

1

Які з точок:

А) належать прямій а;

Б) не належать прямій а?

2

АВ = АС, ВС = 5.

АВ, АС

3

Запишіть кути:

А) гострі;

Б) прямі;

В) тупі.

4

∠AOC = 50°;

∠1 – ∠2= 10°.

∠1, ∠2

Б

1

АС = 10, АВ : ВС = 2 : 3.

АВ, ВС

2

АD = 20, ВС = СР = 2АВ.

АВ, ВС, CP, ВР

3

∠2 = 2 ∠1.

4

ОС – бісектриса ∠АОВ,

∠АОМ = ∠MОС.

∠АОВ, ∠МОВ

ЗАДАЧІ ЗА ГОТОВИМИ МАЛЮНКАМИ

А

1

РК = 12 см.

АВ

2

МР: PN = 2 : 5,

РN – МР = 12 см.

MN

3

∠AOB = 130°,

∠СОВ = 85°.

∠AOD = 80°.

∠СОD

4

∠MON : ∠MOB = 5 : 8,

∠AON= 150°.

∠AOM : ∠MON

Б

1

AB =15 cм,

AD = 9 cм,

BC = 12 cм.

Довести: CD = BD

2

K, M, N, P – середини відрізків;

AB, ВС, CD, DE;

AE = 20 см; MN = 4 CМ.

KP

3

∠MON = 90°,

OD – бісектриса ∠MON,

OC – бісектриса ∠MOD.

∠CON

4

∠AOC = ∠COD,

∠BOD = 60°.

∠AOC; ∠COD

Самостійна робота 1

Варіант 1

1. С – внутрішня точка відрізка АВ. АС = 6 см, відрізок ВС на 2 см менший від АС. Знайдіть довжину відрізка АВ.

2. ∠АО В = 130°, ОС – його бісектриса. Знайдіть ∠BOС.

З. Точки А, В і С лежать на одній прямій. АВ = 9 см, ВС = 4 см. Знайдіть довжину відрізка АС. Розгляньте два випадки.

4. Промінь ОС ділить ∠АОВ на два кути так, що один із них у 3 рази більший за інший. Знайдіть ∠AOC і ∠ВОС, якщо ∠АОВ = 80°.

Варіант 2

1. С – внутрішня точка відрізка АВ. ВС = 4 см, відрізок АС у 2 рази більший за ВС. Знайдіть довжину відрізка АВ.

2. ОС – бісектриса кута АОВ, ∠AOC = 50°. Знайдіть ∠АОВ.

З. Точки М, N і К лежать на одній прямій. MN = 6 см, NK = 10 см. Знайдіть довжину відрізка МК. Розгляньте два випадки.

4. Промінь ОС ділить ∠AОВ на два кути так, що один із них на 20° більший за інший. Знайдіть ∠АОС і ∠ВОС, якщо ∠АОВ = 70°.

Варіант З

1. С – внутрішня точка відрізка АВ. АС = 4 см, відрізок ВС на 3 см більший за АС. Знайдіть довжину відрізка АВ.

2. ∠АОВ = 60°, ОС – його бісектриса. Знайдіть ∠АОС.

З. Точки Е, F і Р лежать на одній прямій. EF = 7 см, FP = 3 см. Знайдіть довжину відрізка ЕР. Розгляньте два випадки.

4. Промінь ОС ділить ∠АОВ на два кути так, що ∠АОС : АВОС = = 2 : 3. Знайдіть ∠АОС і ∠ВОС, якщо ∠АОВ = 100°.

Варіант 4

1. С – внутрішня точка відрізка АВ. АС = 9 см, відрізок ВС у 3 рази менший від АС. Знайдіть довжину відрізка АВ.

2. ОС – бісектриса кута АОВ. ∠ВОС = 40°. Знайдіть ∠АОВ.

3. Точки К, Р і Т лежать на одній прямій. КР = 12 см, РТ = 5 см. Знайдіть довжину відрізка КТ. Розгляньте два випадки.

4. Промінь ОС ділить ∠АОВ на два кути так, що один із них на 30° менший від іншого. Знайдіть ∠АОС і ∠ВОС, якщо ∠АОВ = 120°.

Тестові завдання 1

1. 1. Прямі а і b перетинаються в точці O. Якій прямій належить точка O?	А) а; б) b; в) а і b; Г) не належить жодній.
2. 2. На скільки частин ділять площину дві прямі, що перетинаються?	А) на 2; б) на 3; В) на 4; г) на 6.
3. 3. Яка з трьох точок лежить між двома іншими, якщо XY = 3, YZ = 7, XZ = 4?	А) X, б) У; В) Z; г) жодна.
4. 4. М – середина відрізка АВ, AM = 7 см. Знайдіть довжину відрізка АВ.	А) 14 см; б) 21 см; В) 3,5 см; г) 7 см.
5. 5. К – внутрішня точка відрізка АВ, АК = 3 см, АВ = 10 см. Знайдіть довжину відрізка КВ.	А) 13 см; б) 7 см; В) 30 см; г) 8 см.
6. 6. Знайдіть міру кута, якщо його бісектриса утворює зі стороною кут 20°.	А) 20°; б) 10°; В) 30°; г) 40°.
7. 7. ∠АОВ = 110°, ОМ – його внутрішній промінь, ∠BOM = 60°. Знайдіть ∠AОМ.	А) 50°; 6)170°; В) 90°; г) 70°.
8. 8. ОМ – внутрішній промінь кута АОВ, ∠AOM = 40°, ∠BOM – на 10° більший. Знайдіть ∠AОВ.	А) 70°; б) 50°; В) 90°; г) 44.
9. 9. Точки А, В і С лежать на одній прямій. АВ = 5 см, ВС = 12 см. Знайдіть АС.	А) 17 см; б) 7 см; В) 17см або 7 см; Г) 18 см або 8 см.
110. ∠AОВ = 50°, ∠ВОС = 20°. Знайдіть ∠AOC.	А) 70°; б) 30° або 70°; В) 30°; г) 70° або 40°.

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Що таке геометрія?

2. Що таке планіметрія?

3. Наведіть приклади плоских і неплоских фігур.

4. Опишіть поняття точка.

5. Опишіть поняття пряма.

6. Опишіть поняття площина.

7. Наведіть приклади матеріальних об’єктів, моделями яких є точка, пряма, площина.

8. Що означають записи А ∈ а, А ∉ b?

9. Що означає вислів “точка В лежить між точками А і С”?

10. Сформулюйте основні властивості розміщення точок на прямій.

11. Що таке промінь?

12. Як позначають промені?

13. Які промені називають доповняльними?

14. Що таке відрізок?

15. Що таке кінці відрізка?

16. У яких одиницях вимірюють відрізки?

17. Сформулюйте основні властивості вимірювання відрізків.

18. Що таке середина відрізка?

19. Яка нерівність виконується для будь-яких трьох точок?

20. Що таке відстань між двома точками?

21. Яку фігуру називають кутом?

22. Як позначають кути?

23. Який кут називають гострим?

24. Який кут називають тупим?

25. Який кут називають прямим?

26. Який кут називають розгорнутим?

27. У яких одиницях вимірюють кути?

28. Що таке внутрішня область кута?

29. Що таке внутрішній промінь кута?

30. Сформулюйте основні властивості вимірювання кутів.

31. Що таке бісектриса кута?

32. Які кути називають рівними?

ГОЛОВНЕ В РОЗДІЛІ 1

Геометрія – наука про геометричні фігури і їх властивості. Найпростіша геометрична фігура – точка. Кожна інша геометрична фігура складається з точок, тобто є деякою множиною точок. Інші фігури – пряма, площина. Їх зміст розкривають не означеннями, а описуючи їх основні властивості.

Якщо точка А лежить на прямій а, говорять, що пряма а проходить через точку А і записують: А ∈ а. Якщо точка В не належить прямій а, пишуть: В ∉ а.

Фігури, які можна розмістити в одній площині, називають плоскими фігурами. Частину геометрії, у якій досліджують фігури тільки однієї площини, називають планіметрією.

Основні властивості розміщення точок на прямій

– Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що їй не належать.

– Через будь-які дві різні точки можна провести пряму, і тільки одну.

– Із трьох точок прямої одна, і тільки одна, лежить між двома іншими.

Частини прямої – відрізок і промінь. Відрізок АВ – це частина прямої, що містить точки А, В і всі точки, що лежать між ними. Кожному відрізку ставиться у відповідність його довжина. Довжина відрізка – відстань між його кінцями. Відстані і довжини вимірюють метрами, сантиметрами, міліметрами, кілометрами, футами, дюймами та іншими одиничними відрізками. Основні властивості вимірювання відрізків

– Кожний відрізок має певну довжину.

– Довжина відрізка дорівнює сумі довжин частин, на які його розбиває будь-яка внутрішня точка.

Частину площини, обмежену двома променями із спільним початком, називають кутом. Кути бувають гострі, прямі, тупі, розгорнуті і більші за розгорнуті. Міри кутів визначають у градусах, мінутах, секундах, румбах та деяких інших кутових одиницях виміру.

Основні властивості вимірювання кутів

– Кожний кут має певну міру.

– Міра кута дорівнює сумі мір кутів, на які даний кут розбивається його внутрішнім променем.

Основні властивості відкладання відрізків і кутів

– На будь-якому промені від його початку можна відкласти відрізок даної довжини, і тільки один.

– Від будь-якого променя з одного боку від нього можна відкласти кут заданої міри, і тільки один.

Бісектриса кута – внутрішній промінь, який розбиває даний кут на два рівні кути.