Головна ⇒ 📌ГДЗ з математики ⇒ Метод координат. Рівняння сфери, площини, прямої

Метод координат. Рівняння сфери, площини, прямої

Завдання 2

1.

1) Рівняння сфери, усі точки якої рівновіддалені від початку координат на 1 од. має вигляд х2 + у2 + z2= 1.

2) Оскільки центр сфери – початок координат і вона перетинає ось Оz у точці

(0; 0; 1), то вона має радіус 1, а значить, її рівняння; х2 + у2 + z2 = 1.

3) Оскільки центр сфери (1; 1; 1) і вона дотикається до площини хОу, то радіус сфери дорівнює 1, а значить, її рівняння: (х – 1)2 + (у – 1)2 + (z – 1)2 = 1.

4) Оскільки центр сфери (1; 1; 1) і вона дотикається координатних площин, то радіус сфери дорівнює 1, а значить, її рівняння: (х – 1)2 + (у –

1)2 + (z + 1)2 =1.

2.

1) Запишемо рівняння сфери з центром Р(0; 0; 0) і радіусом R = 2, та співвідношення, що визначає кулю, обмежену цією сферою.

Рівняння сфери: х2 + у2 + z2 = 4. Співвідношення, що визначає кулю: х2 + у2 + z2 ≤ 4.

2) Запишемо рівняння сфери з центром Р(1; 0; 2) і радіусом R = 5, та співвідношення, що визначає кулю, обмежену цією сферою.

Рівняння сфери: (х – 1)2 + у2 + (z – 2)2 = 25. Співвідношення, що визначає кулю:

(х – 1)2 + у2 + (z – 2)2 ≤ 25.

3) Запишемо рівняння сфери з центром Р(-2; 3; -1) і радіусом R = 3,

Та співвідношення, що визначає кулю, обмежену цією сферою.

Рівняння сфери: (х + 2)2 + (у – 3)2 + (z + 1)2 = 9. Співвідношення,

що визначає кулю: (х + 2)2 + (у – З)2 + (z + 1)2 ≤ 9.

3.

Щоб визначити, чи належать сфері точки, перевіримо чи будуть виконуватися рівності:

1) О (0; 0; 0). 02 + (0 – 1)2 + (0 + 1)2 = 2 ≠ 4; а значить, точка не належить сфері;

2) Т ( 1; 0;1). 12 + (0 – 1)2 + (1 + 1)2 = 6 ≠ 4, а значить, точка не належить сфері;

3) С(0; 1; 1). 02 + (1 – 1)2 + (1 + 1)2 = 4, а значить, точка належить сфері.

4.

1) Визначимо, чи описує задане рівняння сферу, х2 – 2х + y2 + z2 = 0;

Х2 – 2х + 1 – 1 + у2 + z2 = 0; (х – 1)2 + у2 + z2 = 1.

Це рівняння сфери з центром в точці (1; 0; 1) і радіусом 1.

2) х2 – 2х + у2 = 3; х2 – 2х + 1 – 1 + у2 = 3; (х – 1)2 + у2 = 4. Не є рівнянням сфери.

3) х2 – 2х + у2 + 4у + z2 – 2z = -1; (х2 – 2х + 1) -1 + (у2 + 4у + 4) – 4 + (z2 – 2z + 1) -1 = -1;

(х – 1)2 + (у + 2)2 + (z – 1)2 = 5 – рівнянням сфери з центром

В точці (1; -2; 1) і радіусом

4) х2 + у2 – у + z2 + z = 0,5;

Не є рівнянням сфери.

5.

Перевіримо, чи проходить площина, задана рівнянням 2х – Зу + z + 1 = 0

Через задані точки, для цього перевіримо, чи будуть виконуватися рівності:

1) A(0; 0; 0), 2 · 0 – 3 • 0 + 0 + 1 = 1, Отже, точка А не належить площині;

2) В(-1; 0; 1), 2 • (-1) – 3 • 0 + 1 + 1 = 2 + 2 = 0, значить, точка В належить площині;

3) С(0; 0; -1), 2 • 0 – 3 • 0 + (-1) + 1 = 0, отже, точка С належить площині.

6.

1) Запишемо рівняння кожної з координатних площин.

Рівняння площини хОу·. z = 0 (коефіцієнти a, b і d в рівнянні дорівнюють 0).

Рівняння площини хОz: у = 0 (коефіцієнти а, с і d в рівнянні дорівнюють 0).

Рівняння площини уОz х = 0, (коефіцієнти b, с і d в рівнянні дорівнюють 0).

2) Запишемо системи рівнянь, які відповідають прямим, що містять осі координат.

Пряма, що містить ось Ох, – пряма перетину площин хОу і хОz.

Вона задається системою:

Пряма, що містить ось Оу, – пряма перетину площин хОу і уОz.

Вона задається системою:

Пряма, що містить ось Оz, – пряма перетину площин хОz і уОz.

Вона задається системою:

7.

1) Рівняння площини ах + by + сz + d = 0.

Якщо площина містить вісь Ох, то а = d = 0. Це, наприклад, площина 2у – 5z = 0.

2) Рівняння площини ах + by + сz + d = 0.

Якщо площина містить вісь Оу, то b = d = 0, Це, наприклад, площина 2х – 7z = 0.

3) Рівняння площини ах + by + cz + d = 0.

Якщо площина містить вісь Оz, то с = d = 0. Це, наприклад, площина 5х – 8у = 0.

8.

Рівняння площини ах + by + сz + d = 0.

Оскільки вона паралельна осі Ох і осі Оу, то а = 0, b = 0.

А щоб вона була відділена від осей Ох і Оу на 1, треба щоб с = 1, d = -1.

Рівняння площини буде мати вигляд: 2 = 1.

9.

1) Знайдемо координати точки перетину з віссю Ох. В цьому випадку у = 0; z = 0. Маємо: Зх – 3 • 0 + 2 • 0 – 1 = 0; Точка перетину

Знайдемо координати точки перетину з віссю Оу. В цьому випадку х = 0; z = 0.

Маємо: 3 • 0 – Зy + 2 · 0 – 1 = 0; у = . Точка перетину

Знайдемо координати точки перетину з віссю Оz. В цьому випадку х = 0; у = 0.

Маємо: 3 • 0 – 3 • 0 + 2z – 1 = 0; Точка перетину

2) Знайдемо координати точки перетину з віссю Ох. В цьому випадку у = 0; z = 0.

Маємо: 2х – 3 • 0 + 0 + 1 = 0; Точка перетину

Знайдемо координати точки перетину з віссю Оу. В цьому випадку х = 0; z =.0.

Маємо: 2 · 0 – Зу + 0 + 1 = 0; Точка перетину

Знайдемо координати точки перетину з віссю Оz. В цьому випадку х = 0; у = 0.

Маємо: 2 – 0 – 3 · 0 + z ≠ 1 = 0. z = -1. Точка перетину (0; 0; -1).

10.

1) z = 0 – це площина хОу.

2) у = 1. Це площина паралельна площині хОz і відділена від неї на 1 од.

3) z = -2. Це площина паралельна площині хОу і віддалена від неї на 2 од. вниз.

4) x = 3. Це площина паралельна площині уОz і віддалена від неї на 3 од.

5) Площина х + у = 0 містить вісь Оz та проходить через пряму у = – x,

Яка лежить в площині хОу.

6) Площина x + z + 1 = 0 паралельна осі Оу та проходить через

Пряму z = – х – 1, яка лежить в площині хОz.

7) Площина х + у + z = 1. Знайдемо точки перетину з осями:

Ох: у = 0; z = 0; x = 1; Оy: x = 0; y = 1; z = 0; Оz: x = 0; y = 0; z = 1.

За цими трьома точками побудуємо площину.

11.

1) Рівняння площини хОу: z = 0. Рівняння площин, паралельних хОу і

Віддалених від неї на 2: z = 2; z = -2.

2) Рівняння площини уОz: х = 0. Рівняння площин, паралельних yOz і

Віддалених від неї на 3: х = 3; x = -3.

3) Рівняння площини xОz: у = 0. Рівняння площин, паралельних xOz і

Віддалених від неї на 1: у = 1; у = -1.

12.

1) Площина перпендикулярна до осі Ох, отже паралельна осям Оz і Оу,

А отже в рівнянні площини коефіцієнти b = 0, с = 0.

Рівняння буде мати вигляд x + d = 0.

2) Площина перпендикулярна до осі Оу, отже паралельна осям Ох і Оz,

А отже в рівнянні площини коефіцієнти а і с дорівнюють 0.

Рівняння буде мати вигляд у + d = 0.

3) Площина перпендикулярна до осі Оz, отже паралельна осям Ох і Оу,

А отже в рівнянні площини коефіцієнти а = 0, b = 0.

Рівняння буде мати вигляд z + d = 0.

4) Площина перпендикулярна площині хОу, а отже паралельна осі Оz.

Коефіцієнт с = 0. Рівняння площини аx + by + d = 0.

5) Площина перпендикулярна площині уОz, а отже паралельна осі Оx.

Коефіцієнт а = 0. Рівняння площини by +cz + d = 0.

6) Площина перпендикулярна площині xОz, а отже паралельна осі Оу.

Коефіцієнт b = 0. Рівняння площини аx + сz + d = 0.

7) Площина перпендикулярна площині xОz, а отже паралельна осі Оу.

Коефіцієнт b = 0 в рівнянні. Площина перпендикулярна площині уОz,

А отже паралельна осі Оx. Коефіцієнт а = 0 в рівнянні.

Рівняння площини: z + d = 0.

13.

1) Точка К(0; 1; 0) належить осі Оу. Рівняння площини, перпендикулярної

Осі Оу, та яка проходить через точку К, має вигляд: у = 1.

Рівняння площини, перпендикулярної осі Оx, та яка проходить

Через точку К: x = 0. Рівняння площини, перпендикулярної осі Оz

Та яка проходить через точку К: z = 0.

2) Рівняння площини, перпендикулярної осі Оx, та яка проходить

Через точку М(2; 2; 2) x = 2.

Рівняння площини, перпендикулярної осі Оу, та яка проходить

Через точку М(2; 2; 2) у = 2.

Рівняння площини, перпендикулярної осі Оz, та яка проходить

Через точку М(2; 2; 2) z = 2.

3) Рівняння площини, перпендикулярної осі Ох, та яка проходить

Через точку H (4; 4; 0) x = 4,

Рівняння площини, перпендикулярної осі Оу, та яка проходить

Через точку H (4; 4; 0) у = 4.

Рівняння площини, перпендикулярної осі Оz, та яка проходить

Через точку H(4; 4; 0) z = 0.

14.

1) Нехай точка з координатами (х; у; z) належить площині.

Знайдемо відстані від неї до кінців відрізку, та прирівняємо їх

(оскільки площина рівновіддалена від відрізку).

Х2 + у2 + (z + З)2 = х2 + (у – 2)2 + z2;

Х2 + у2 + z2 + 6z + 9 = х2 + у2 – 4у + 4 + z2; 4у + 6z + 5 = 0 – рівняння площини.

2) Нехай точка з координатами (х; у; z) належить площині.

Знайдемо відстані від неї до кінців відрізку та прирівняємо їх

(оскільки площина рівновіддалена від відрізку).

(х – 1)2 + у2 + (z – 1)2 = х2 + (у – 1)2 + (z – 1)2;

(х – 1)2 + у2 + (z – 1)2 – x2 – (у – 1)2 – (z – 1)2 = 0;

(х – 1)2 + у2 – х2 – (у – 1)2 = 0; х2 – 2х + 1 + у2 – х2 – у2 + 2у – 1 = 0;

2у – 2х – 0; у – х = 0 – рівняння площини.

3) Нехай точка з координатами (х; у; z) належить площині.

Знайдемо відстані від неї до кінців відрізку та прирівняємо їх

(оскільки площина рівновіддалена від відрізку).

(х – 1)2 + (у + 1)2 + (z + 3)2 = (х – 3)2 + (у – 2)2 + (z + 1)2;

Х2 – 2х + 1 + у2 + 2у + 1 + z2 + 6z + 9 = х2 – 6х + 9 + у2 – 4у + 4 + z2 + 2z + 1;

4х + 6у + 4z – 3 = 0 – рівняння площини.

15.

1) Оскільки система не має розв’язків, то площини не перетинаються.

2) Площина z = 1 – перпендикулярна осі Оz.

Площина х + у = 1 – паралельна осі Оz. Отже, площини перетинаються.

3) Площина х + у = 1 паралельна осі Оz. Площина у + z = -1 паралельна

Осі Ох. Ох перпендикулярна Оz. Площини х + у = -1 та у + z = -1 перетинаються.

16.

1) Рівняння площини, що перетинає координатні осі в точках А(1; 0; 0), В(0; 1;.0),

С(0; 0; 1), має вигляд: х + у + z = 1.

2) Рівняння площини, що перетинає координатні осі в точках A(2; 0; 0), B(0; 3; 0),

С(0; 0; -1), має вигляд: 3х + 2у – 6z = 6.

17.

Рівняння площини, що містить грань ABCD: z = 0.

Рівняння площини, що містить грань BB1D1D: у = 0.

Рівняння площини, що містить грань ВВ1C1C: х = 0.

Рівняння площини, що містить грань A1B1C1D1: z = 2.

Рівняння площини, що містить грань AA1C1C: у = 1.

Рівняння площини, що містить грань AA1D1D: х = -1.

18.

Ось Ох – пряма перетину площин хОz та хОу.

Рівняння прямої, що містить ось Ох:

Ось Оу – пряма перетину площин хОу та уОz.

Рівняння прямої, що містить ось Оу:

Ось Оz – пряма перетину площини хОz та уОz.

Рівняння прямої, що містить ось Оz:

19.

1) Запишемо рівняння прямої перпендикулярної до площини уОz.

Візьмемо площини паралельні площинам хОz та хОу: у = a, z = b.

Тоді рівняння прямої перпендикулярної до площини

Запишемо рівняння прямої перпендикулярної до площини хОу.

Візьмемо площини паралельні площинам xOz та уОz.

Тоді рівняння прямої перпендикулярної до хОу:

Запишемо рівняння прямої перпендикулярної до площини xOz.

Візьмемо площини паралельні площинам хОу і уОz: х = α, z = b.

Тоді рівняння прямої перпендикулярної до хОу:

2) Ось Ох перпендикулярна осі Оу.

Запишемо рівняння прямої, яка паралельна осі Оу і перетинає вісь Ох.

Рівняння прямої, що містить ось Оу:

Щоб паралельна пряма перетинала ось Ох та відрізнялася від прямої,

Що містить ось Оу, вона має бути такою:

3) Осям Ох і Оу перпендикулярна ось Oz.

Запишемо рівняння будь-якої прямої паралельної осі Oz

І яка відрізняється від неї:

20.

1)

Розв’яжемо систему:

Точки, які належать прямій, мають вигляд: (х; 2х – 1; Зх – 2).

Візьмемо x = 1, отримаємо точку (1; 1; 1).

2) Розв’яжемо систему:

Точки, які належать прямій, мають вигляд: (х; 1 – Зх; 4 – 7х).

Візьмемо х = 0, отримаємо точку (0; 1; 4).

21.

1) – пряма паралельна осі Oz. – пряма паралельна осі Ох.

Прямі, які містять координатні вісі Ох і Oz, перпендикулярні,

Отже прямі, що задані рівняннями – мимобіжні.

2) Об’єднаємо дві системи в одну і розв’яжемо:

Отже, прямі перетинаються в точці (0; 1; 1).

22 .

1) і х – у = 1. Об’єднаємо в систему:

Система розв’язків не має, отже пряма і площина не перетинаються,

А отже, вони паралельні.

2) і у = 3. Розв’яжемо систему:

Отже площина і пряма перетинаються в точці (-2; 3; 1).

23.

1) Розв’яжемо систему:

Точки, що належать прямій, мають вигляд: (2у + 3; у; 3у + 5).

Візьмемо у = 0, отримаємо точку (3; 0; 5).

2)

Розв’яжемо систему:

Точки, що належать прямій, мають вигляд:

Візьмемо х = 1, отримаємо точку (1; -1; -5).

24.

1) Точки А(0; 0; 0), В(0; 0; -2), С(0; 0; 2) лежать на осі Оz,

Отже лежать на прямій, що містить ось Оz.

2) Точки А, В, С рівновіддалені від площини хОу на 1.

Точки А, В, С рівновіддалені від площини хОу на 1.

Отже вони лежать на прямій

3) Запишемо рівняння прямої АС і перевіримо, чи належить їй точка В.

Підставимо координати точки В в це рівняння: 1 ≠ 4 ≠ 3.

Рівність не виконується, отже точки не лежать на одній прямій.

4) Запишемо рівняння прямої АС та перевіримо, чи належить їй точка В.

Підставимо координати точки В а це рівняння:

Рівність не виконується, точки не лежать на одній прямій.

5) Запишемо рівняння прямої АС та перевіримо, чи належить їй точка В.

Підставимо координати точки В в це рівняння:

Рівність не виконується, точки не лежать на одній прямій.

25.

1) Розв’яжемо систему:

Пряма і площина перетинаються в точці (-3; -3; -4).

2) Розв’яжемо систему:

Пряма і площина перетинаються в точці (-3; 3; 1).

26.

1) Розв’яжемо систему:

Розв’яжемо рівняння:

4×2 + 4×2 + 16x + 16 + x2 – 2х + 4 – 80 = 0; 9×2 + 14x – 60 = 0;

D = 142 – 4 · 9 · (-60) = 196 + 2160 = 2356 > 0.

Отже рівняння і система мають розв’язок, а отже пряма і сфера перетинаються.

2) Розв’яжемо систему:

Розв’яжемо рівняння:

4×2 + x2 – 6x + 9 + 4×2 + 8x + 4 – 4 = 0; 9×2 + 2x + 9 = 0;

D = 22 – 4 • 9 • 9 = 4 – 324 = -320 < 0.

Рівняння розв’язків не має, отже і система розв’язків не має.

А отже пряма і сфера не перетинаються.

27.

Фігура F, яка задана рівнянням (x – 2)2 + (у + 2)2 + z2 = 1,

Є сфера з центром в точці (2; -2; 0) і радіуса 1.

1) Найближчою точкою фігури F до початку координат є

Точка А перетину прямої O1O зі сферою.

Або або

Отже, пряма О1О має зі сферою дві спільні точки: і

Знайдемо відстані цих точок до початку координат:

Отже,

2) Найвіддаленішою точкою від початку координат

Є точка

3) Найближчою до координатної площини хОу є точка (2; -1; 0),

До координатної площини уОz є точка (1; -2; 0),

До координатної площини хОу є точки кола

4) Найвіддаленішою точкою фігури F від площини xOz є точка (2; -3; 0);

Від площини уОz є точка (3; -2; 0); від площини хОу є точки (2; -2; 1) і (2; -2; -1).

5) Найближчою точкою фігури F від координатної осі Ох

Є точка (2; -1; 0), від координатної осі Оу є точка (1; -2; 0),

Від координатної осі Ог є точка

6) Найвіддаленішою точкою фігури F від координатної осі Ох

Є точка (2; -3; 0); від координатної осі Оу є точка (3; -2; 0);

Від координатної осі Оz є точка

7) 8). Знайдемо точки перетину даної сфери і прямої МО1, де М(2; 2; 2).

Або

Отже, маємо дві точки перетину:

Найближчою точкою є точка а найвіддаленішою

28.

1) Підставимо х = 1 в рівняння фігури F: 1 + у + z = 5. у + 2 = 4 –

Пряма розташована в площині уОz.

2) Підставимо x = 1 в рівняння фігури F: 12 + у2 + z2 = 5. у2 + z2 = 4 –

Рівняння кола, розташованого в площині уОz з центром (0; 0) та радіусом 1.

3) Підставимо х = 1 в рівняння фігури F: yz = 5. – рівняння гіперболи.

4) Підставимо х = 1 в рівняння фігури F: у2 = z – рівняння параболи.

29.

1) Підставимо у = 1 в рівняння фігури F: х + 1 + z = 5. х + z = 4 –

Рівняння прямої. Перетин є прямою.

2) Підставимо у = їв рівняння фігури F: х2 + 1 + z2= 5. x2 + z2 = 4 –

Рівняння кола. Перетин є колом.

3) Підставимо y = 1 в рівняння фігури F: хz = 5. – рівняння параболи.

Перетин є параболою.

4) Підставимо у = 1 в рівняння фігури F: zx = 1. – рівняння параболи.

Перетин є параболою.

30.

1) Знайдемо точку перетину прямої і площини х + у – z = 2.

Отже, шукана точка і вона віддалена від початку координат на відстані:

Відповідь:

2) Найближчою точкою даної фігури до початку координат є точка (5; 25; 5), яка віддалена від початку координат на відстані

Відповідь:

3) Відстань від початку координат до фігури дорівнює відстані від початку координат

До точки (1; 0; 1), тобто

Відповідь:

4) Відстань від початку координат до фігури дорівнює ОА, де А – середина відрізка ВС:

Відповідь:

5) Знайдемо точку перетину сфери (х – 1)2 + (у – 1)2 + (z – 1)2 = 2 та прямої

Або

І тоді шукана відстань дорівнює:

Відповідь:

6) Відстань від початку координат до фігури дорівнює відстані О А. ОА = 1.

Відповідь: 1.


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (1 votes, average: 5.00 out of 5)
Loading...


Related posts:

  1. Рівняння сфери, площини і прямої 79. (x – 1)2 + у2 + (2 – 4)2 = 25. 80. A(10; 0; 0), В(0; 10; 0), С(0; 0; 10). 81. M(3; 2; -1) не належить сфері. X2+ у2 + z2 – 2х + 4у – 6z – 2 = 0, бо 32 + 22 + (-1)2 – 2 × 3 + 4 […]...

  2. Розміщення прямої і площини в просторі. Ознака паралельності прямої і площини Урок 13 Тема. Розміщення прямої і площини в просторі. Ознака паралельності прямої і площини Мета уроку: формування знань учнів про взаємне розміщення прямої і площини в просторі. Вивчення ознаки паралельності прямої і площини. Обладнання: стереометричний набір, моделі куба і тетраедра, схема “Аксіоми стереометрії”. Хід уроку І. Аналіз виконання тематичного оцінювання № 1. Зібрати зошити наприкінці […]...

  3. Перпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площини Урок 27 Тема. Перпендикулярність прямої і площини. Ознака перпендикулярності прямої і площини Мета уроку: формування поняття прямої, перпендикулярної до площини. Вивчення ознаки перпендикулярності прямої і площини. Обладнання: стереометричний набір, модель куба. Хід уроку 1. Відповіді на запитання, які виникли в учнів при виконанні домаш­нього завдання. 2. Самостійна робота. Варіант 1 1) Промені OВ, ОС, OD […]...

  4. Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою Урок 30 Тема. Властивості прямої і площини, перпендикулярних між собою Мета уроку: формування знань учнів про властивості перпендикулярних прямих і площин. Обладнання: стереометричний набір, схема “Властивості прямо і площини, перпендикулярних між собою” (с. 116). Хід уроку І. Перевірка домашнього завдання 1. Колективне обговорення розв’язування задачі № 10. 2. Математичний диктант. Дано зображення куба: варіант 1 […]...

  5. Розв’язування задач на застосування ознаки перпендикулярності прямої і площини Урок 28 Тема. Розв’язування задач на застосування ознаки перпендикулярності прямої і площини Мета уроку: формування вмінь учнів застосовувати означення та ознаку перпендикулярності прямої і площини до розв’язування задач. Обладнання: стереометричний набір, модель куба. Хід уроку І. Перевірка домашнього завдання 1. Перевірка правильності розв’язання задачі № 7 за записами (з про­пусками), зробленими на дошці до початку […]...

  6. Рівняння прямої УРОК № 28 Тема. Рівняння прямої Мета уроку: виведення рівняння прямої. Формування вмінь учнів використовувати рівняння прямої до розв’язування задач. Тип уроку: комбінований. Наочність і обладнання: таблиця “Декартові координати і вектори на площині” [13]. Вимоги до рівня підготовки учнів: записують і пояснюють рівняння прямої. Розпізнають рівняння прямої. Хід уроку I. Перевірка домашнього завдання Перевірити наявність […]...

  7. Рівняння прямої Геометрія Декартові координати на площині Рівняння прямої Будь-яка пряма в декартових координатах x, y має рівняння виду: , де a, b, c – деякі числа. Знаходження координат точки перетину прямих та випадки розміщення прямої відносно системи координат описано в розділі “Алгебра. 8 клас” (“Лінійна функція”). Рівняння прямої, яка перетинає осі координат в точках і , […]...

  8. Ознака паралельності прямої і площини Геометрія Стереометрія Ознака паралельності прямої і площини Теорема 1. Якщо пряма, яка не належить площині, паралельна якій-небудь прямій у цій площині, то вона паралельна і самій площині. Теорема 2. Якщо пряма паралельна площині, то на цій площині знайдеться пряма, яка паралельна даній прямій. Зверніть увагу: паралельність прямої і площини не означає, що ця пряма паралельна […]...

  9. Взаємне розміщення прямої та площини і площин у просторі. Перпендикуляр до площини. Взаємне розміщення площин у просторі УРОК № 53 Тема. Взаємне розміщення прямої та площини і площин у просторі. Перпендикуляр до площини. Взаємне розміщення площин у просторі Мета уроку: повторити, привести в систему й розширити відомості про площину та взаємне розміщення двох площин у просторі; ознайомити учнів з різними випадками взаємного розміщення прямої і площини; дати уявлення про перпендикуляр до площини. […]...

  10. Перетин прямої з площиною. Перерізи многогранників УРОК 3 Тема. Перетин прямої з площиною. Перерізи многогранників Мета уроку: ознайомлення учнів із взаємним розташуванням прямої і площини у просторі. Вивчення теореми про належність прямої до площини. Формування поняття перерізу многогранника. Обладнання: моделі многогранників, схема “Взаємне розташування прямої і площини”, стереометричний набір. 1. Фронтальне опитування. 1) Скільки площин визначають дві прямі, які перетинаються? 2) […]...

  11. Рівняння з двома змінними 909. Рівняннями з двома змінними є рівняння; 1), 3), 5), 6), 8), 9). 910. 1) 4x + 3y = 1; 4 • (-2) + 3 • 3 = 1 – правильна рівність, тому (-2; 3) – розв’язок даного рівняння. 2) x2 + 5 = у2; (-2)2 + 5 = 32 – правильна рівність, тому (-2; […]...

  12. Застосування координат 124. Б) 0 ≤ x ≤ 4; 0 ≤ у ≤ 4; 0 ≤ z ≤ 4. 125. 0 ≤ х ≤ 3; 0 ≤ у ≤ 3; -3 ≤ 2 ≤ 3. 126. А) А(0; 0; 0); В(0; 1; 0); С(1; 1; 0); D(1; 0; 0); А1(0; 0; 1); В1(0; 1; 1); С1(1; 1; […]...

  13. Симетрія відносно площини 334. Якщо відрізок належить площині α, то відрізок симетричний сам собі. Якщо відрізок не лежить в площині: А) Відрізок паралельний площині α АА1 + α; АО = ОА 1 ВВ1 + α; BN = NB, A1В1 симетричний АВ відносно α; Б) Відрізок перетинає площину α. Відрізок А1В1 симетричний відрізку АВ відносно α. 335. Δ А1 […]...

  14. Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин Урок 38 Тема. Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин Мета уроку: формування поняття перпендикулярності площин. Вивчення ознаки перпендикулярності площин. Обладнання: стереометричний набір, моделі куба і прямокутного паралелепіпеда. Хід уроку 1. Перевірити виконання задач № 49, 50 за записами, зробленими до початку уроку на дошці. Нехай AB?; А?, d?; АВ = b, ACD, AC = a (рис. […]...

  15. Властивості сфери і кулі 1. Відстань, яка б відділяла мене від мого антипода дорівнювала б Двом радіусам Землі. Відповідь: 2R Землі. 2. Нехай АО – радіус Землі, ОА = 6400 км, О1А – радіус Полярного кола Землі. Координати Полярного кола Землі 66°31′ п. ш. ∠АОВ = 66°31′; ∠О1ОА = 90° – 67° = 23°. З ΔO1ОA: Ο1Α = ОА […]...

  16. Існування площини, яка проходить через дану пряму і дану точку УРОК 2 Тема. Існування площини, яка проходить через дану пряму і дану точку Мета уроку: вивчення теореми про існування площини, яка проходить через дану пряму і дану точку, що не лежить на прямій. Обладнання: стереометричний набір. Хід уроку І. Перевірка домашнього завдання 1. Фронтальна бесіда за контрольними запитаннями № 1, 2 §1 із підручника з […]...

  17. Відстань від точки до прямої. Розв’язування задач на застосування теореми про три перпендикуляри Урок 35 Тема. Відстань від точки до прямої. Розв’язування задач на застосування теореми про три перпендикуляри Мета уроку: формування вмінь учнів застосувати теорему про три перпендикуляри до розв’язування задач, знаходження відстані від точки до прямої. Обладнання: стереометричний набір. Хід уроку І. Перевірка домашнього завдання. 1. Два учні відтворюють на дошці розв’язування задач № 13, 41. […]...

  18. Взаємне розміщення кола і прямої – СТЕРЕОМЕТРІЯ Формули й таблиці МАТЕМАТИКА СТЕРЕОМЕТРІЯ Взаємне розміщення кола і прямої Коло і пряма не мають спільних точок. Коло і пряма мають одну спільну точку. А – дотична А – точка дотику Коло і пряма мають дві спільні точки. А – січна Рівняння кола (х – а)2 + (y – b)2 = R2, де (а, b) […]...

  19. Точки та лінії небесної сфери § 2. Основи практичної астрономії 2. Точки та лінії небесної сфери На небесній і земній сферах можна провести деякі кола, за допомогою яких визначаються небесні координати світил (рис. 2.3, а). На земній сфері існують дві особливі точки – географічні полюси, де вісь обертання Землі перетинає поверхню планети (N, S – відповідно Північний та Південний полюси). […]...

  20. Існування площини, яка проходить через три дані точки УРОК 4 Тема. Існування площини, яка проходить через три дані точки Мета уроку: вивчення теореми про існування єдиної площини, яка проходить через три дані точки, які не лежать на одній прямій. Обладнання: стереометричний набір, моделі куба і тетраедра. Хід уроку 1. Один із учнів відтворює розв’язування задачі № 10, решта класу пише математичний диктант. 2. […]...

  21. Прямокутна система координат 11. 12. Точки А(4; 4; 4), В(-4; 4; 4), С(-4;-4; 4), П(4; 4; -4), D(-4; 4; -4), E(4; -4; 4), F(4; -4; -4), M(-4; -4; -4) віддалені від кожної з координатних площин на 4. 13. 14. О – початок координат. ОВ > ОА, отже, ближче до початку координат лежить т. А. 15. 16. Оскільки КТ […]...

  22. Перпендикуляр до прямої Урок № 19 Тема. Перпендикуляр до прямої Мета: домогтися розуміння учнями змісту теореми про існування та єдиність прямої, що проходить через будь-яку точку площини перпендикулярної даній; понять: “перпендикуляр, проведений з точки до прямої”, “відстані від точки до прямої”. Сформувати вміння: – відтворювати зміст зазначеної теореми та застосовувати її під час розв’язування задач; – на рисунку […]...

  23. Існування площини, паралельної даній площині Урок 17 Тема. Існування площини, паралельної даній площині Мета уроку: вивчення теореми про існування єдино! площини, яка паралельна даній площині і проходить через дану точку, що не належить даній площині. Обладнання: стереометричний набір. Хід уроку Перевірка правильності розв’язування задачі № 25. Через дану точку А проведемо дві довільні прямі а і b, паралельні площині а […]...

  24. Симетрія відносно прямої Геометрія Рух Симетрія відносно прямої Нехай а – фіксована пряма. Візьмемо довільну точку Х і опустимо перпендикуляр AX на пряму а. На продовженні цього перпендикуляра за точку А відкладемо відрізок . Точка називається Симетричною точці X відносно прямої А. Якщо точка X лежить на прямій а, то вона симетрична сама собі відносно прямої а. Очевидно, […]...

  25. Графік лінійного рівняння з двома змінними Розв’яжіть задачі. 1078. мал. 74. Графіком лінійного рівняння з двома змінними є пряма. 1079. 1) с = 0; 2) а = 0; 3) b = 0; 4) а = 0; с = 0; 5) b = 0; с = 0. 1080. 1) -6 – 2 • 2,5 + 1 ≠ 0; -5 – 5 ≠ […]...

  26. Симетрія відносно прямої УРОК № 35 Тема. Симетрія відносно прямої Мета уроку: формування поняття симетрії відносно прямої; вивчення властивостей симетрії відносно прямої; формування вмінь застосовувати вивчені означення і властивості до розв’язування задач. Тип уроку: комбінований. Наочність і обладнання: таблиця “Перетворення фігур. Рухи” [13]. Вимоги до рівня підготовки учнів: описують симетрію відносно прямої; будує фігури, у які переходять дані […]...

  27. Перпендикулярність площин Геометрія Стереометрія Перпендикулярність площин Дві площини, що перетинаються, називаються Перпендикулярними, якщо третя площина, перпендикулярна до прямої перетину цих двох площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих (див. рисунок). Будь-яка площина, перпендикулярна до прямої перетину перпендикулярних площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих. Ознака перпендикулярності площин Теорема 1. Якщо площина проходить через пряму, перпендикулярну до другої площини, то […]...

  28. Розміщення двох площин у просторі. Паралельні площини. Ознака паралельності площин Урок 15 Тема. Розміщення двох площин у просторі. Паралельні площини. Ознака паралельності площин Мета уроку: формування знань учнів про взаємне розміщення двох площин у просторі. Вивчення ознаки паралельності двох площин. Обладнання: стереометричний набір, схема “Взаємне розміщення двох площин”. Хід уроку 1. Перевірити наявність виконаних завдань та відповісти на запитан­ня, які виникли в учнів під час […]...

  29. Лінійні рівняння з однією змінною 793. Лінійними рівняннями є рівняння: а) 2/9х = 8; в) -2,7y = 0. 794. а) 56х = 64; рівняння має 1 корінь, Б) 0х = -2; рівняння не має коренів; В) 8х = 0; рівняння має 1 корінь, х = 0; Г) 0у = 0; рівняння має безліч коренів. 795. а) 6х = 42; х […]...

  30. Графік лінійного рівняння з двома невідомими – Системи лінійних рівнянь Математика – Алгебра Системи лінійних рівнянь Графік лінійного рівняння з двома невідомими Графіком рівняння з двома невідомими називається множина всіх точок координатної площини, координати котрих є розв’язками цього рівняння. Графіком рівняння , у якому хоча б один із коефіцієнтів (a або b) відмінний від нуля, є пряма. Для побудови будь-якої прямої досить знати координати двох […]...

  31. Розв’язання систем лінійних рівнянь способом підстановки Рівень А Відповідь: (1; 3). Відповідь: (7; -4,5). Відповідь: (1; 3). Відповідь: (4; 1). Відповідь: (3; 1). Відповідь: (1;-2). Відповідь: розв’язків немає. Відповідь: (3; 2). Відповідь: (4; 0). Відповідь: (3; 5). Відповідь: (1,5; 2). Відповідь: (3; -1). Відповідь: (7; 1). Відповідь: (1; -1). Рівень Б Відповідь: (2; 1,5). Відповідь: (1; -2). Відповідь: (20; 0,5). Відповідь: […]...

  32. Поворот і симетрія відносно прямої 373. Із т. А опустимо перпендикуляр AD + l. Відкладемо ∠ΑΟΛ, = α, А1O + l. Виконано поворот т. А навколо прямої l на кут α. Аналогічно вчинимо з т. В. Відрізок АВ у результаті повороту на кут α навколо прямої l відобразиться у відрізок. 374. Таких поворотів безліч. 375. Точка А(1; 2; 0) відобразиться […]...

  33. Рівняння кола УРОК № 26 Тема. Рівняння кола Мета уроку: виведення рівняння кола. Формування вмінь учнів використовувати рівняння кола до розв’язування задач. Тип уроку: комбінований. Наочність і обладнання: таблиця “Декартові координати і вектори на площині” [13]. Вимоги до рівня підготовки учнів: записують і пояснюють рівняння кола. Розпізнають рівняння кола. Хід уроку I. Перевірка домашнього завдання Перевірити наявність […]...

  34. Перетворення симетрії в просторі. Симетрія в природі і на практиці Урок 47 Тема. Перетворення симетрії в просторі. Симетрія в природі і на практиці Мета уроку: формування знань учнів про перетворення симетрії в просторі та застосування знань до розв’язування задач. Обладнання: схема “Перетворення фігур”. Хід уроку І. Перевірка домашнього завдання 1. Усне коментування розв’язування домашніх завдань. 2. Математичний диктант. Дано трикутник АВС: Варіант 1 – А […]...

  35. Кут між площинами Геометрія Стереометрія Кут між площинами Кут між паралельними площинами вважається таким, що дорівнює . Нехай дані площини перетинаються (див. рисунок). Проведемо площину, перпендикулярну до прямої їх перетину. Ця площина перетинає дані площини по двох прямих. Кут між цими прямими називається Кутом між даними площинами. Означений таким чином кут між площинами не залежить від вибору січної […]...

  36. Системи рівнянь – РІВНЯННЯ Формули й таблиці МАТЕМАТИКА РІВНЯННЯ Лінійне рівняння з однією змінною – рівняння, що зводиться до канонічного вигляду ах + b = 0, де х – змінна, а й b – константи. Корінь рівняння ах + b = 0 визначається формулою: х = – b/а – якщо а ≠ 0, множина розв’язків L = {-b/a}. – […]...

  37. Властивості паралельних площин Геометрія Стереометрія Властивості паралельних площин Теорема 1. Якщо дві паралельні площини перетинаються третьою площиною (див. рисунок), то прямі перетину паралельні. На рисунку: ; . Теорема 2. Відрізки паралельних прямих, які містяться між двома паралельними площинами (див. рисунок), рівні. На рисунку: ; ; . Теорема 3. Нехай площини і паралельні (див. рисунок нижче) і є точка […]...

  38. Перетворення простору 1. 1) Вектор паралельного перенесення, що переводить відрізок ОА в СВ: Вектор, що переводить відрізок ОС в АВ: 2) Вектор, що переводить ОС в АВ: Вектор, що переводить О А в СВ: 3) Вектор, що переводить ОС в АВ: Вектор, що переводить ОА в СВ: 4) Вектор, що переводить ОС в АВ: Вектор, що переводить […]...

  39. Розв’язування задач на застосування ознаки перпендикулярності площин Урок 39 Тема. Розв’язування задач на застосування ознаки перпендикулярності площин Мета уроку: формування вмінь учнів застосовувати означення та ознаку перпендикулярності площин до розв’язування задач. Обладнання: стереометричний набір. Хід уроку Фронтальна бесіда за контрольними запитаннями № 11-12 та пе­ревірка виконання задач № 59 (2; 4; 6), 60. Розв’язання задачі № 59 (напівусне) Перпендикулярні площини? і? перетинаються […]...

  40. РІВНЯННЯ СТАНУ ІДЕАЛЬНОГО ГАЗУ (РІВНЯННЯ КЛАПЕЙРОНА – МЕНДЕЛЄЄВА) – ВЛАСТИВОСТІ ГАЗІВ (ГАЗОВІ ЗАКОНИ) Фізика підготовка до ЗНО комплексне видання МОЛЕКУЛЯРНА ФІЗИКА І ТЕРМОДИНАМІКА 2. ВЛАСТИВОСТІ ГАЗІВ (ГАЗОВІ ЗАКОНИ) – Не зберігають ні форми, ні об’єму. – Характер молекулярного руху: безладний (хаотичний) рух. 2.1. РІВНЯННЯ СТАНУ ІДЕАЛЬНОГО ГАЗУ (РІВНЯННЯ КЛАПЕЙРОНА – МЕНДЕЛЄЄВА) Рівняння стану ідеального газу зв’язує макроскопічні параметри р, V, Т, які характеризують стан даної маси тіла. Рівняння […]...

Ви зараз читаєте: Метод координат. Рівняння сфери, площини, прямої
«
»