Об’єм прямої призми і циліндра
1158.
Нехай ABCA1B1C1 – призма, AB = BC = AC, AC1 = d, ∠C1AC = α.
З ΔC1AC: C1C = AC 1 × sin α = d × sin α; AC = AC1 × cos α = d × cos α.
Знайдемо
Відповідь:
1159.
Нехай AA1D1D – переріз заданої призми, SAA1D1D = 4 см2. KL – відстань між протилежними бічними гранями. KL = 4 см, OK = OL – радіус вписаного кола. OK = OL = 2 см. Звідси сторона шестикутника
QA = OD – радіус описаного кола.
Отже, SAA1D1D = AA1 × AD;
Знайдемо площу основи:
Отже,
1160.
Нехай ABMK – площина, проведена через більшу основу трапеції,
D1K = KD, SABMK = 49 см 2, AB = 10 см, DC = 6 см.
Проведемо KL + AB, DL + AB, ∠KLD = 30°.
Розглянемо ABMK:
8KL = 48; KL = 6 (см).
З прямокутного Δ KLD:
DD1 = 2KD = 2 – 3 = 6 (см).
Тоді
Відповідь:
1161.
Нехай AB1C1D – переріз прямого паралелепіпеда, AD = a, ∠C1DC = α,
SAB1C1D =S; SAB1C1D = AD × C1D; S = а × C1D;
З ΔC1CD:
Тоді об’єм прямого паралелепіпеда V дорівнює:
Відповідь:
1162.
Нехай ABCDA1B1C1D1- дана призма, в якій ABCD – ромб, AC1 = d, ∠C1AC = α, ∠B1DB = β.
З ΔC1AC: C1C = AC1× sin ∠C1AC = d sin α; AC = AC1× cos α = d cos α.
3 ΔB1DB оскільки B1B = C1C, то BD = BB1 × cos β = d sin α × cos β.
Отже об’єм призми V дорівнює:
V = SABCD× B1B = d2 cos α × sin α × cos β × d sin α = d3 sin2 α × cos α × cos β. Відповідь: d3 sin2α × cos α × cos β.
1163.
Оскільки куля вписана в прямокутний паралелепіпед, то ребро куба дорівнює 2г, і звідси випливає, що об’єм прямокутного паралелепіпеда V дорівнює:
V = SABCD × AA1 = a2 × 2r = 2a2r.
Відповідь: 2а2г.
1164.
Нехай ABCDA1B1C1D1 – прямий паралелепіпеді ∠BAD = α.
Висота паралелепіпеда співпадає з висотою циліндра, вписаного в паралелепіпед. BB 1 = OO1= h.
Проведемо BL + AD. BL = 2r.
З ΔABL: AD = AB.
Знайдемо
Отже об’єм паралелепіпеда V дорівнює:·
Відповідь:·
1165.
Нехай ABCDA1В1C1D1 – пряма призма, AB = 13 см, BC= 14 см, AC = 15 см.
Знайдемо площу трикутника ABC, скориставшись формулою Герона:
де а, b, с – довжини сторін трикутника, а
Радіус кола R описаного навколо ΔABC збігається з радіусом кулі.
KL = 2R = AA1 = 16,25.
Отже об’єм V призми дорівнює: V = SABC× AA1 = 84 × 16,25 = 1365 (см3). Відповідь: 1365 см3.
1166.
Викопана канава буде мати форму прямого паралелепіпеда, в основі якого лежить трапеція ABCD, в якої AD = 3 м, BC = 2 м, BK – висота, BK = 1,5 м.
AA1= 200 м.
Для того щоб знайти, скільки кубометрів грунту доведеться вийняти, треба знайти об’єм паралелепіпеда ABCDA1B1C1D1.
Знайдемо
Отже, об’єм паралелепіпеда V = SABCD × AA1= 3,75 × 200 = 750 (м3).
Відповідь: 750 м3.
1167.
Залізничний насип має форму паралелепіпеда, в основі якого лежить трапеція ABCD, в якої AB = 18 м, CD = 8 м, CK – висота, CK = 3 м. BB1 = 1 км.
Для того щоб знайти об’єм 1 км насипу, треба знайти об’єм прямого паралелепіпеда ABCDA1В1C1D1.
Знайдемо площу основи:
Отже, об’єм паралелепіпеда V = SABCD × BB 1 = 39 × 1000 = 39 000 (м3).
Відповідь: 39 000 м3.
1168.
Нехай ABCD – осьовий переріз циліндра, AC = d, ∠CAD = α.
З ΔACD: CD = AC × sin ∠CAD = d × sin α; AD = AC × cos ∠CAD = d × cos α.
Знайдемо об’єм циліндра: V = πR2H, де
H = CD = d × sin α·.
Отже,
Відповідь:
1169.
Нехай ABCD – розгортка бічної поверхні циліндра, ABCD – квадрат,
AB =1,8 дм. Висота H циліндра дорівнює АВ. Знайдемо радіус циліндра R.
З умови AD = 2πR, або 2πR = 1,8, звідси
Отже, об’єм циліндра
Відповідь:
1170.
Нехай в правильній трикутній призмі основою є рівносторонній трикутник,
AB = BC = AC = а, r – радіус основи вписаного в призму циліндра,
R – радіус основи описаного навколо призми циліндра.
Виразимо сторону AABC через радіус вписаного і описаного кіл.
Висота вписаного, описаного циліндра і бічне ребро призми збігаються,
O1O2 = AA1 = h.
Отже, об’єм циліндра, вписаного в призму:
Об’єм циліндра, описаного навколо призми:
Відповідь: 1 : 4.
1171.
Нехай вимірами першого циліндра є R1- висота основи,
H1- висота, а другого R2 – радіус основи, H2 – висота.
Тоді S1бічн. = 2πR1× H1, S2бічн. = 2πR2× H2.
За умовою S1= S2, отже, 2πR1H1 = 2πR2H2,
R1H1 = R2H2. V1 = π R12H1, V2 = πR22H2.
Знайдемо
Твердження доведено.
1172.
Нехай ABCD і CDEF – площини, які перетинають циліндр.
SABCD = SCDEF = 30 см 2, AB = 5 см.
AD + CD, FD + CD, отже, ∠ADF – лінійний кут між площинами
(ABCD) + (CDEF). ∠ ADF = 120°.
SABCD = AB × AD; 30 = 5 × AD; AD = 6 (см).
Розглянемо чотирикутник ΔDFO.
∠ADF – вписаний кут, ∠AOF – центральний кут.
отже, ∠AOF = 240°. Тоді ∠AOF = 360° – 240° = 120°, AO = FO, отже, ADFO – ромб, AO = OF = AD = DF = 6 см.
Звідси об’єм циліндра V = π × AO2× AB = π × 36 × 5 = 180 (см3).
Відповідь: 180 см3.
1173.
Нехай ABCD – переріз циліндра, AD? OO 1,
Об’єм циліндра знайдемо за формулою V = πR2H, де R = ОА, H = AD,
SABCD = S.
Проведемо OK + AB, OK = d.
∠ OA – центральний кут, отже ∠BOA = α.
В рівнобедреному Δ AOB OK – висота, а також і бісектриса,
Отже, ∠KOA = -, 2
Отже,
Відповідь:
1174.
Нехай ABCD – квадрат – переріз циліндра, AD? OO1, OA = r,
Об’єм циліндра знайдемо за формулою V = Πr2Н, де R = OA = r, H = AD.
∠BOA – центральний кут, отже, ∠BOA = β.
З ΔAOB за теоремою косинусів знайдемо AB:
ABCD – квадрат, отже,
Отже,
Відповідь:
1175.
Нехай d – діаметр циліндричної посудини, d = 20,
H – висота рідини у посудині.
Об’єм рідини у посудині знайдемо за формулою
Об’єм рідини разом з деталлю: V2 = π × 100 × (h + 12) = 100πh + 1200π,
Отже, об’єм детaлі V = V2- V1 = 100πh + 1200π – 100π = 1200π.
Відповідь: 1200π.
1176.
Нехай l – довжина колоди, 2 x1- радіус однієї колоди, 3х – радіус другої колоди.
Об’єм першої колоди V1 = π4х2l, об’єм другої колоди V2 = п9х2l.
Відповідь.
1177.
Оскільки з точки зору геометрії кругова пляма на поверхні моря представляє собою циліндр, то його об’єм V = πr2× h, де г2 – радіус циліндра, h – висота,
H = 1 мм.
Отже, 1 = πr2 × 0,001, звідси
Відповідь: 1000 м2.
1178.
Нехай h = 16 дм – рівень рідини у першій посудині, г – радіус першої посудини, h1 – у другiй. V1- об’єм першої посудини, V1= πr2× 16 = 16πr2,
V2- об’єм другої посудини, V2 = π(2г)2 × h1 = 4πr2 × h1. V1 = V2, 16πг2 = 4πг2h,
H1 = 4 (дм).
Відповідь: 4 дм.
1179.
3 точки зору геометрії сталевий дріт являє собою циліндр діаметром 6 мм.
Маса дроту визначається за формулою: m = ρ × V, де F – об’єм циліндра,
ρ – густина сталі. 30 = 7600 × π × 0,000009 × H.
Звідси
Відповідь: ≈ 140 м.
1180.
Знайдемо об’єм панелі, яка з точки зору геометрії являє собою паралелепіпед. V1 = 6 × 1,2 × 0,22 = 1,584 (м3).
Знайдемо об’єм циліндричного отвору:
V2 = π × 0,072 × 6 = 3,14 × 0,0049 × 6 = 0,092.
Об’єм шести отворів: 6 × 0,092 = 0,552.
Отже об’єм V плити без циліндричних отворів: 1,584 – 0,552 = 1,032.
Маса панелі m = ρ1V = 2,5 × 1,032 = 2,58 (т).
Відповідь: 2,58 т.
1181.
Знайдемо об’єм труби газопроводу.
Для цього знайдемо V1 = π × 0,712 × 4 450 000 = 7 043 789 (м3).
Знайдемо радіус полої частини труби: r = 0,71 – 0,011 = 0,689 (м), отже,
Об’єм полої частини труби: V2 = π × 0,6892 × 445 000 = 6 663 277 (м3).
Знайдемо об’єм труби газопроводу V3:
V3 = V1 – V2 = 7 043 789 – 6 633 277 = 410 521 (м3).
Отже, на спорудження газопроводу пішло 7600 × 410 512 = 3 119 891 (т) сталевих труб.
Відповідь: 3 119 891 т.
1182.
З точки зору геометрії рулон паперу являє собою циліндр, OO1 = 85 см,
OA = 45 см, OB = 2 см.
Знайдемо V1 = π × AO2× OO1 = π × 2025 × 85 = 172 125π (см3).
V2 = π × OB2 × OO1 = π × 4 × 85 = 340π (см3).
Знайдемо об’єм рулону паперу.
V = V1 – V2 = 172 125π -340π = 171 785π ≈ 539 405 (см3).
Оскільки товщина паперу 0,1 мм або 0,01 см, то в рулоні
539 405 : 0,01 = 53 940 500 (см3) ≈ 5394 (м3).
Відповідь: ≈ 5394 м3.
1183.
V прута = V призми – V циліндра
V призми = 242 × 2000 = 1 152 000 (мм3)
V циліндра = π × 82× 2000 = 128 000π = 401 920 (мм3).
V прута = 1 152 000 – 401 920 = 750 080 (мм8) = 0,75 (дм3).
Відповідь: 0,75 дм3.
1185.
Нехай ABCDA1B1C1D1- прямокутний паралелепіпед.
AB = m, AD = n, ∠BAD = 60°, B1D = АС.
З Δ ABD за теоремою косинусів маємо:
ABCD – паралелограм. За властивістю діагоналей паралелограма маємо:
AC2 + Bi)2 = 2(АВ2 + AD2); AC2 + m2 + n2 – mn = 2(m2 + n2);
AC2 + m2 = n2 – mn = = 2m2 + 2n2; AC2 = m2 + n2 + mn.
За умовою B1D =AC.
З Δ B1DB:
Отже, об’єм паралелепіпеда
Відповідь:
1186.
Нехай ABCDA1B1C1D1- заданий паралелепіпед, кожне ребро якого дорівнює
1 см, AC = 2 см.
З Δ AC1C:
Зa властивістю діагоналей ромба маємо:
2(АВ2 + BC2) = AC2 + BD2; 2(1 + 1) = 3 + BD2; BD2 = 1; BD = 1 (см).
Отже, об’єм паралелепіпеда V дорівнює:
Відповідь:
1187.
Нехай ABCA1B1C1- задана призма. SABC = 24 см2,
SAA1B1B = 3 см 2, SB1BCC1 = 4 см 2, SC1CAA1 = 5 см 2, AB = a,
BC = b, CA = c, BB1 =H,
S1 = AB × H = а × H = 3; S2 = BC × H = b × H = 4;
S2 = AC × H = с × H = 5;
Оскільки а2 + b2 = с2, тобто
То ΔABC – прямокутний.
24H2 = 6;
Отже, об’єм призми V дорівнює:
Відповідь: 12 см3.
1188.
Нехай ABCDEA1B1C1D1- задана призма з ребром а. Об’єм правильної п’ятикутної призми знайдемо за формулою:
V = Sосн. × H, де Sосн. = SABCD, H = а.
Отже,
Відповідь:
1190.
Нехай ABCA1B1C1- задана призма, AB = BC = CA. Проведемо площину через вершину A1і сторону BC. Отримана площина (A1BC) – рівнобедрений трикутник. Проведемо A1K + ВС, AK + ВС, тоді ∠A1KA = 60°.
Проведемо AL + (A1BC), AL = d.
З ΔALK:
З ΔAA1K:
Нехай в ΔАВС: AB = BC = CA = а, тоді з ΔАВК:
AB2- BK2 = AK2, звідси
Отже, об’єм V призми дорівнює:
Відповідь:
1191.
Нехай A1- висота піраміди, S1 – площа основи піраміди, h1 = 8 см,
S1 = 12 см2; h2- відстань від вершини до перерізу, S2- площа перерізу. Проведемо переріз піраміди площиною паралельною основі. Оскільки площа перерізу і площа основи відносяться як квадрати їх відстаней від вершин, то отримаємо: 64S2 = 48;
Отже, об’єм призми дорівнює
Відповідь: 4,5 м3.
1192.
Нехай ABCDE F A1B1C1D1E1F1 – задана шестикутна призма.
Нехай AB = BC = CD = DE = EF = FA = a, AA1 = BB1 = CC1 = DD1 = EE1 = FF1 = Н.
Знайдемо об’єм призми V:
Оскільки об’єми двох частин відносяться як 1 : 3, то
V1- об’єм першої частини дорівнює:
Звідси S1– площа основи дорівнює
V2- об’єм другої частини:
Звідси S2- площа основи другої частини дорівнює
Отже,
Відповідь:
1194.
А) Знайдемо об’єм циліндра. V = πr2h, де г – радіус основи.
З ΔAB1B: AB = h × ctg φ, тоді
Отже,
Об’єм фігури на рисунку
Відповідь:
Б) Знайдемо об’єм циліндра з вимірами, зображеними на рисунку. V = πr2h.
Для фігури, зображеної на рисунку, маємо:
Звідси
Відповідь:
1195.
Нехай ABCA1B1C1- задана призма. B1AC – переріз, SB1AC = Q,
AB = BC = AC = а. Проведемо BK + AC, B1K + АС, тоді ∠ B 1KB = α.
З Δ АВK:
З AB1B1K:
Знайдемо радіус основи:
Знайдемо об’єм циліндра
1196.
Нехай ABCD – квадрат, AB = BC = CD = DA = α, DF = А,
З ΔADF:
З ΔABF:
Отже, знайдемо об’єм циліндра
Відповідь:
1197.
Нехай ABCD – переріз, (ABCD) ? OO1. . ∠DOA – центральний кут, ∠DOA = 60°, QA = г, OO1 = А.
Знайдемо об’єм циліндра V = π × OA2× OO12 = πr2h.
Для першої частини циліндра маємо: де V – об’єм частини 1.
Звідси
Для другої частини циліндра маємо: де V – об’єм другої частини. Звідси
Знайдемо
Відповідь: