Головна ⇒ 📌Довідник з математики ⇒ Застосування похідної

Застосування похідної

Математика – Алгебра

Похідна

Застосування похідної

Нехай функція Застосування похідної визначена на проміжку Застосування похідної і Застосування похідної.
Функція називається Зростаючою в точціЗастосування похідної, якщо існує інтервал Застосування похідної, де Застосування похідної, який міститься у проміжку Застосування похідної і є таким, що Застосування похідної для всіх x з інтервалу Застосування похідної і Застосування похідної для всіх x з інтервалу

Застосування похідної.
Функція називається Спадною в точціЗастосування похідної, якщо існує інтервал Застосування похідної, який міститься в проміжку Застосування похідної і є таким, що Застосування похідної для будь-якого x з інтервалу Застосування похідної і Застосування похідної для будь-якого x з інтервалу Застосування похідної.
Означення точок екстремуму описано в розділі “Алгебра. 10 клас”.
Якщо функція Застосування похідної зростаюча (спадна) у кожній точці проміжку Застосування похідної, то вона зростаюча (спадна) на цьому проміжку.
/> Теорема 1. Якщо функція Застосування похідної в кожній точці інтервалу Застосування похідної має похідну Застосування похідноїЗастосування похідної, то функція зростає (спадає) на Застосування похідної.
Зверніть увагу:
1) Якщо функція f є неперервною в якомусь із кінців інтервалу Застосування похідної, то цю точку можна приєднати до інтервалу зростання (спадання).
2) Для розв’язування задач зручно користуватися таким твердженням: точки, у яких похідна дорівнює 0 або не існує, поділяють область визначення функції f на проміжки, у кожному з яких Застосування похідної зберігає незмінний знак.
Внутрішня точка області визначення функції, у якій похідна дорівнює нулю або не існує, називаються Критичною точкою функції.
Внутрішня точка області визначення, у якій Застосування похідної, називається Стаціонарною точкою функції.
Теорема 2. Якщо функція Застосування похідної у внутрішній точці області визначення має екстремум, то в цій точці похідна Застосування похідної, якщо вона існує, дорівнює нулю.
Теорема 3. Якщо функція f є неперервною в точці Застосування похідної, а Застосування похідної на інтервалі Застосування похідної і Застосування похідної на інтервалі Застосування похідної, то точка Застосування похідної є точкою максимуму функції.
Теорема 4. Якщо функція f є неперервною в точці Застосування похідної, а Застосування похідної на інтервалі Застосування похідної і Застосування похідної на інтервалі Застосування похідної, то точка Застосування похідної є точкою мінімуму функції f.
Теорема 5. Нехай точка Застосування похідної є стаціонарною для функції Застосування похідної і нехай в цій точці існує похідна другого порядку Застосування похідної. Тоді, якщо Застосування похідної, то Застосування похідної є точкою мінімуму і, якщо Застосування похідної, то Застосування похідної є точкою максимуму функції Застосування похідної.

Найбільше і найменше значення функції на відрізку

Щоб знайти найбільше (найменше) значення неперервної функції на відрізку Застосування похідної, треба знайти всі локальні максимуми (мінімуми) і порівняти їх зі значеннями функції, яких вона набуває на кінцях відрізка. Найбільше (найменше) число серед утвореної множини і буде найбільшим (найменшим) значенням функції, заданої на відрізку Застосування похідної.
Позначення: Застосування похідної; Застосування похідної.




Related posts:

  1. Неперервність функції в точці Математика – Алгебра Границя Неперервність функції в точці Нехай функція визначена на проміжку і точка є внутрішньою точкою цього проміжку. Функція називається Неперервною в точці, якщо існує границя функції в цій точці й вона дорівнює значенню функції в точці . Нехай функція визначена в усіх точках деякого проміжку . Візьмемо дві довільні точки з цього […]...
  2. Поняття первісної функції – Інтеграл і його застосування Математика – Алгебра Інтеграл і його застосування Поняття первісної функції Первісною для даної функції на заданому проміжку називається така функція , що для всіх . Операція знаходження первісної F для даної функції називається Інтегруванням. Теорема 1. Будь-яка неперервна на відрізку функція має первісну функцію. Лема. Якщо на деякому проміжку, то на цьому проміжку, де C […]...
  3. Похідна Математика – Алгебра Похідна Похідною функції в точці називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу за умови, що границя існує, а приріст аргументу прямує до нуля, тобто . Функція в точці називається Диференційовною, якщо в цій точці вона має похідну . Якщо функція є диференційовною в кожній точці деякого інтервалу , то вона називається […]...
  4. Основні властивості неперервних функцій Математика – Алгебра Границя Основні властивості неперервних функцій Теорема 1. Якщо функції і є неперервними в точці , то в цій точці будуть неперервними і функції , . Теорема 2. Якщо і є неперервними в точці і , то в точці є неперервною також і функція . Зверніть увагу: всі дробово-раціональні функції і основні тригонометричні […]...
  5. Арифметичні операції над диференційовними функціями Математика – Алгебра Похідна Арифметичні операції над диференційовними функціями Теорема 1. Якщо функції і в точці мають похідні, то функція в цій точці також має похідну, яка дорівнює . Теорема 2. Якщо функції і в точці мають похідні, то в цій точці функція також має похідну, яка дорівнює . Наслідок. Якщо функція має похідну в […]...
  6. Границя функції Математика – Алгебра Границя Границя функції Нехай функція визначена на проміжку (можливо, що ). Число A називається границею функції у точці , якщо для будь-якого числа існує таке число , що для всіх , і таких, що , виконується нерівність . Позначення: , або . Нехай – внутрішня точка проміжку . Функція називається нескінченно малою […]...
  7. Схема дослідження – ФУНКЦІЇ ТА ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ Формули й таблиці МАТЕМАТИКА ФУНКЦІЇ ТА ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ Функцією (або функціональною залежністю) називається закон, за яким кожному значенню незалежної змінної х з деякої множини чисел, що називається областю визначення функції, ставиться у відповідність тільки одне певне значення величини у. Графіком функції називається множина всіх точок координатної площини з координатами (х, у), такими, при яких абсциса […]...
  8. Зростаючі й спадні функції Математика – Алгебра Числові функції Зростаючі й спадні функції Функція називається Зростаючою на деякому інтервалі, якщо для будь-яких двох значень аргументу з цього інтервалу більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції. Функція називається Спадною На деякому інтервалі, якщо для будь-яких значень аргументу з цього інтервалу більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції. Приклади 1) y […]...
  9. Обернені функції – ФУНКЦІЇ ТА ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ Формули й таблиці МАТЕМАТИКА ФУНКЦІЇ ТА ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ Обернені функції Дві функції називаються оберненими, якщо вони виражають ту саму залежність між змінними величинами, але в одній з них за аргумент прийнято х, а за функцію – у, в іншій – навпаки, тобто за аргумент прийнято у, а за функцію – х. Функції у = f(x) […]...
  10. Екстремуми функції Математика – Алгебра Числові функції Екстремуми функції Точку x0 називають Точкою мінімуму функції, а саме число – Мінімумом функції, якщо існує інтервал , , на якому функція визначена і для всіх із цього інтервалу. Точку називають Точкою максимуму функції, а саме число – Максимумом функції, якщо існує інтервал , , на якому функція визначена і […]...
  11. Правила диференціювання – ПРОПОРЦІЇ. ВІДСОТКИ Формули й таблиці МАТЕМАТИКА ПРОПОРЦІЇ. ВІДСОТКИ Правила диференціювання Правило 1. Якщо функції у = f(x) і у = g(x) мають похідну в точці х, то і їх сума має похідну в точці х, до того ж похідна суми дорівнює сумі похідних: Правило 2. Якщо функція у = f(x) має похідну в точці х, то і […]...
  12. Інтеграл і його застосування Математика – Алгебра Нехай – неперервна функція, невід’ємна на відрізку . Розіб’ємо відрізок на n рівних частин точками , де . Утворимо добутки , і так далі й знайдемо їх суму . Знайдемо . Ця границя називається Інтегралом функції від A до B. Позначення: , де a – нижня межа інтегрування, b – верхня межа; […]...
  13. Похідна та її застосування 127. 1) 2) 3) 4) 128. 1) Y = φ(x), 2) У = φ(x), не існує; 3) φ(1) = 0. 129. 1) f(x) = x2 + 1, x0 = -1, Δx = 0,1; Δy – ? Δy = у(х0 + Δх) – у(х0) = f( -0,9) – f(-1) = (-0,9)2 + 1 – ((-1)2 + […]...
  14. Правила знаходження первісних – ПРОПОРЦІЇ. ВІДСОТКИ Формули й таблиці МАТЕМАТИКА ПРОПОРЦІЇ. ВІДСОТКИ Правила знаходження первісних Правило 1. Якщо функції у = f(x) і у = g(x) мають на числовому проміжку X первісні, відповідно у = F(x) й у = G(x), то і сума функцій у = f(x) + g(x) має на проміжку X первісну у= =F(x) + G(x). (Первісна суми дорівнює […]...
  15. Основні теореми про границі функцій Математика – Алгебра Границя Основні теореми про границі функцій Теорема 1. Якщо функції і в точці мають границі, то сума і добуток цих функцій також мають у цій точці границю, причому ; . Теорема 2. Якщо функції і в точці мають границі й , то й функція має в цій точці границю, яка дорівнює . […]...
  16. Похідна функція – ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ Формули й таблиці МАТЕМАТИКА ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ Похідна функція – визначення похідної функції. Рівняння дотичної до графіка функції y = f(x) у точці М(х0,у0): – кутовий коефіцієнт дотичної....
  17. Первісна функція – ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ Формули й таблиці МАТЕМАТИКА ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ Первісна функція Первісною для даної функції y = f(x) на проміжку (а; b) називається така функція F(x), похідна якої для всіх х (а;b), що дорівнює f(x): F'(x) = f(x). Загальний вигляд первісної F(x) + C, де С – довільне стале число. Теорема. Будь-яка неперервна на функція y = f(x) […]...
  18. Метод інтервалів Математика – Алгебра Границя Метод інтервалів Отже, нехай функція неперервна на інтервалі І й перетворюється на 0 у скінченній кількості точок цього інтервалу. Тоді інтервал І розбивається цими точками на інтервали, в кожному з яких зберігає незмінний знак. Щоб визначити цей знак, достатньо обчислити значення у будь-якій точці кожного такого інтервалу. Приклад Розв’язати нерівність Розглянемо […]...
  19. Періодичність тригонометричних функцій Математика – Алгебра Тригонометричні функції Періодичність тригонометричних функцій Функція називається Періодичною з періодом , якщо для будь-якого x з області визначення функції числа і також належать області визначення й виконується умова: . Якщо T – період функції , то всі числа виду nT, де , , також є періодами функції. Щоб побудувати графік періодичної функції […]...
  20. Властивості функцій – Функції та графіки Математика – Алгебра Функції та графіки Властивості функцій Функція називається Зростаючою на деякому проміжку, якщо більшому значенню аргументу із цього проміжку відповідає більше значення функції. Функція називається Спадною на деякому проміжку, якщо більшому значенню аргументу із цього проміжку відповідає менше значення функції. Якщо функція зростає (спадає) на всій області визначення, її називають зростаючою (спадною). Приклади […]...
  21. Поняття про обернену функцію УРОК 17 Тема. Поняття про обернену функцію Мета уроку: формування понять: оборотна функція, обернена функція. Вивчення алгоритму знаходження форму­ли функції, оберненої до даної, властивості графіків взаємно-обернених функцій. І. Аналіз контрольної роботи II. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу На уроках математики ви неодноразово розв’язували задачу: обчислити значення функції у = f(x) при заданому значенні х0 аргументу. […]...
  22. Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х УРОК 18 Тема. Обернені тригонометричні функції: у = arcsin х, у = arccos х Мета уроку: вивчення властивостей обернених тригонометрич­них функцій: у = arcsin х, у = arccos х. І. Перевірка домашнього завдання Математичний диктант. Закінчіть математичні твердження: 1. Функція, яка набуває кожного свого значення в єдиній точці області визначення називається… 2. Оберненою до функцій […]...
  23. Дослідження властивостей функції і побудова її графіка Математика – Алгебра Похідна Дослідження властивостей функції і побудова її графіка Для того щоб дослідити функцію , треба: 1) знайти область визначення ; 2) знайти область значень ; 3) дізнатися про парність чи непарність функції ; 4) з’ясувати, чи є функція періодичною; 5) знайти нулі функції; точки перетину графіка з осями координат; 6) визначити проміжки, […]...
  24. Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x УРОК 19 Тема. Обернені тригонометричні функції: у = arctg x, у = arcctg x Мета уроку: вивчення властивостей обернених тригонометричних функцій: у = arctg х і у = arcctg x. І. Перевірка домашнього завдання 1. Фронтальна бесіда з класом за питаннями 6, 7, 9-12, до “Запитання і завдання для повторення” розділу II. 2. Самостійна робота. […]...
  25. Поняття про обернену функцію Математика – Алгебра Тригонометричні функції Поняття про обернену функцію Функція, яка приймає кожне своє значення в єдиній точці області визначення, є Оборотною. У такої функції за значенням залежної змінної можна однозначно визначити, якому значенню аргументу воно відповідає. Інакше кажучи, якщо функція є оборотною й число а належить до її області значень , то рівняння має […]...
  26. Інтеграл та його застосування 175. 1) F(x) = 9×2 – 2х +1? F(x) – первісна для функції у = f(x) на заданому проміжку, якщо для всіх x з цього проміжку виконується співвідношення F'(x) = f(x). Дійсно, F'(x) = 18х – 2 = 2(9х – 1) = f(x), -∞ < х < +∞, що й треба було довести. 2) Аналогічно. […]...
  27. Розв’язування ірраціональних нерівностей УРОК 39 Тема. Розв’язування ірраціональних нерівностей Мета уроку. Познайомити учнів з узагальненим методом інтервалів. Формування умінь розв’язувати ірраціональні нерівності. І. Перевірка домашнього завдання 1. Перевірити розв’язування вправ № 71 (3), 67 (1), 79 (1) за розв’язаннями на дошці, заготовленими до уроку. 2. Самостійна робота Розв’яжіть рівняння: А) = . (4 бали) Б) – = 2. […]...
  28. Огляд властивостей основних функцій УРОК 2 Тема. Огляд властивостей основних функцій Мета уроку: Повторення і узагальнення властивостей елементарних функцій: у = kx + b, у = , у = х2, у= х3, у = , у = , у = ?х2 + bx + с. І. Перевірка домашнього завдання 1. Один учень пояснює розв’язання вправи № 1 (5), другий […]...
  29. Застосування координат 124. Б) 0 ≤ x ≤ 4; 0 ≤ у ≤ 4; 0 ≤ z ≤ 4. 125. 0 ≤ х ≤ 3; 0 ≤ у ≤ 3; -3 ≤ 2 ≤ 3. 126. А) А(0; 0; 0); В(0; 1; 0); С(1; 1; 0); D(1; 0; 0); А1(0; 0; 1); В1(0; 1; 1); С1(1; 1; […]...
  30. Застосування різних способів розкладання многочлена на множники Немає коренів. Немає коренів. 726. 1) х3 – х = 0; х(х2 – 1) = 0; х(х – 1)(х + 1) = 0; х = 0 або х – 1 = 0; х = 1 або х + 1 = 0; х = -1. 2) х4 + х2 = 0; х2(х2 + 1) = 0; […]...
Ви зараз читаєте: Застосування похідної
«
»