Формула Герона

УРОК № 13

Тема. Формула Герона

Мета уроку: виведення формули Герона для площі трикутника. Формування вмінь учнів застосовувати виведену формулу до розв’язування задач.

Тип уроку: комбінований.

Наочність і обладнання: таблиця “Площі трикутників і чотирикутників” [13].

Вимоги до рівня підготовки учнів: використовують формулу Герона під час розв’язування задач.

Хід уроку

І. Перевірка домашнього завдання

Перевірити наявність виконаних домашніх завдань та відповісти на запитання, які виникли в учнів при

їх виконанні.

Задача 1. Розв’язання

Оскільки квадрат і ромб мають однакові периметри, то їхні сторони рівні. Нехай довжина сторони дорівнює а, тоді площа квадрата дорівнює а2, а площа ромба a2sin?, де? – кут ромба.

Оскільки sin? < 1, то a2sin? < а2. Отже, площа ромба менша за площу квадрата.

Відповідь. Квадрат.

Задача 2. Розв’язання

Оскільки в трикутнику ABC (рис. 45) АВ = а, Формула ГеронаCAB = 45°, то АС = АВ • cos Формула ГеронаCAB = a • cos45° = a • Формула Герона = Формула Герона.

S? AВC = Формула ГеронаAC2 =Формула ГеронаФормула Герона= Формула Герона

class=""/>.

Відповідь. Формула Герона.

Формула Герона

Задача 3. Розв’язання

Нехай у трикутнику ABC (рис. 46) АС = ВС = 1 м, Формула ГеронаС = 70°, тоді S = Формула Герона• AC • BC • sinC = Формула Герона • 1 • 1 • sin70° = Формула Герона • sin70° Формула Герона Формула Герона • 0,94 = 0,47 (м2).

Відповідь. Формула Герона 0,47 м2.

Формула Герона

Математичний диктант

1) Знайдіть площу прямокутника зі сторонами 2 см і 3 см. 2) Знайдіть площу прямокутного трикутника з катетами 3 см і 2 см. 3) Знайдіть площу правильного трикутника зі стороною 2 см. 4) Знайдіть площу паралелограма зі сторонами 2 см і Формула Герона см, якщо кут між сторонами становить 60°. 5) Знайдіть площу ромба, діагоналі якого дорівнюють 3 см і 4 см. 6) Знайдіть площу трикутника, сторони якого дорівнюють Формула Герона см і 3 см, а кут між ними становить 135°.

Відповіді. 1) 6 см2; 2) 3 см2; 3) Формула ГеронаСм2; 4) 3 см2; 5) 6 см2; 6) 1,5 см2.

II. Сприймання й усвідомлення нового матеріалу

Ви навчилися знаходити площу довільного трикутника за відомими:

1) стороною і висотою, проведеною до цієї сторони; 2) сторонами і кутом між ними.

Сьогодні ми ознайомимося з тим, як можна знайти площу трикутника, якщо відомі три його сторони. Цю формулу одержав Герон Олександрійський, давньогрецький учений, який жив в Александрії в І ст. н. є. Відомо, що він був ученим-інженером, займався геодезією і прикладною математикою.

Проведемо висоту до найбільшої сторони трикутника ABC (рис. 47). Нехай АС = b – найбільша сторона цього трикутника, АВ = с, ВС = а, BDФормула ГеронаAC. Нехай AD = х, тоді DC = b – х. Із прямокутного трикутника ABD маємо: BD2 = c2 – x2. Із прямокутного трикутника BCD маємо: BD2 = а2 – (b – x)2. Тоді маємо рівняння с2 – х2 = a2 – (b – х)2, з якого знайдемо х.

С2 – х2 = а2 – b2 + 2bx – x2; 2bx = c2 + b2 – a2; Формула Герона.

Тоді BD = Формула Герона= Формула Герона = Формула Герона.

Отже, S = Формула ГеронаB • ВD = Формула ГеронаФормула Герона = Формула Герона= Формула Герона = Формула Герона=

= Формула Герона = Формула Герона = Формула Герона.

Ураховуючи, що Формула Герона, маємо:

S = Формула Герона=Формула Герона.

Що і треба було довести.

Формула Герона

Колективне розв’язування задач

Знайдіть площу трикутника за трьома сторонами:

А) 17, 65, 80; б) Формула Герона, Формула Герона, 6; в) 15, 37Формула Герона, 47Формула Герона; г) 2Формула Герона, 3Формула Герона, 1,83.

Розв’язання

А) S = Формула Герона = Формула Герона = Формула Герона = 288.

Б) Формула Герона.

S = Формула Герона = Формула Герона = 10.

В) Формула Герона.

S = Формула Герона = Формула Герона= 42Формула Герона= Формула Герона= Формула Герона = 193Формула Герона.

Г) Формула Герона.

S=Формула Герона=Формула Герона=Формула Герона = Формула Герона = Формула Герона = 1,4.

ІІІ. Закріплення й осмислення нового матеріалу

Колективне розв’язування задач

Сторони трикутника дорівнюють а, b, с. Знайдіть висоту трикутника, опущену на сторону с.

Розв’язання

Формула Герона, Формула Герона.

Оскільки S = Формула ГеронаChc, то hc = Формула Герона = Формула Герона.

Відповідь. Формула Герона.

Самостійне розв’язування задач

Бічні сторони трикутника дорівнюють 30 см і 25 см. Знайдіть висоту трикутника, опущену на основу, що дорівнює: а) 25 см; б) 11 см.

Розв’язання

А) Формула Герона,

Формула Герона (см2).

S = Формула Герона • 25 • h, 300 = Формула Герона • 25 h, h = Формула Герона = 24 (см).

Відповідь. 24 см.

Б) Формула Герона,

Формула Герона (см2).

S = Формула Герона • 11 • h, 132 = Формула Герона • 11 • h, h = Формула Герона = 24 (см).

Відповідь. 24 см.

Колективне розв’язування задачі

Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 64 см, а його бічна сторона на 11 см більша від основи. Знайдіть висоту трикутника, опущену на бічну сторону.

Розв’язання

Формула Герона

Нехай трикутник ABC (рис. 48) рівнобедрений, АВ = ВС. Нехай АС = х см, тоді АВ = ВС = (х + 11) см. Оскільки периметр дорівнює 64 см, то маємо:

X + 11 + x + 11 + x = 64; 3х + 22 = 64; 3х = 42; х = 14. Отже, АС = 14 см, АВ = ВС = 25 см.

Оскільки Формула Герона=Формула Герона= 7 • 4 • 6 = 168 (см2), S = Формула Герона • АВ • h, то h = Формула Герона = Формула Герона = 13,44 (см).

Відповідь. 13,44 см.

IV. Самостійна робота

Варіант 1

1. Знайдіть найменшу висоту трикутника зі сторонами 5, 5, 6. 2. Знайдіть найбільшу висоту трикутника зі сторонами Формула Герона, Формула Герона, 6.

Варіант 2

1. Знайдіть найменшу висоту трикутника зі сторонами 17, 65, 80. 2. Знайдіть найбільшу висоту трикутника зі сторонами 13, 37Формула Герона, 47-Формула Герона.

Розв’язання до завдань самостійної роботи

Варіант 1

1. Формула Герона = 8, Формула Герона= 12(см2).

S = Формула Герона• 6 h, h = –Формула Герона = Формула Герона = Формула Герона = 4 (см).

Відповідь. 4 см.

2. S = 10 см 2. S = Формула ГеронаФормула Герона • h, h = Формула Герона = Формула Герона = Формула Герона = 4,8 (см).

Відповідь. 4,8 см.

Варіант 2

1. Формула Герона = 81, Формула Герона = 288(см2).

S = Формула Герона • 80 • h, h = Формула Герона = Формула Герона = 7,2 (см).

Відповідь. 7,2 см.

2. S = Формула Герона см 2. S = Формула Герона • 13 • h, h = Формула Герона = Формула Герона = Формула Герона = 29 Формула Герона (см).

Відповідь. 29 Формула Герона см.

V. Домашнє завдання

Розв’язати задачі.

1. Знайдіть площу трикутника за трьома сторонами, що дорівнюють:

А) 13, 14, 15; б) 5, 5, 6.

2. Знайдіть висоти трикутника, у якого сторони дорівнюють 13 см, 14 см, 15 см. 3. Знайдіть висоту трикутника зі сторонами 2Формула Герона, 3Формула Герона, 1,83, яка проведена на основу 2Формула Герона.

VI. Підбиття підсумків уроку Завдання класу

1. Запишіть відомі вам формули для знаходження площі трикутника. 2. Знайдіть площу трикутника, якщо його сторони дорівнюють 3 см, 3 см і 2 см.


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (1 votes, average: 5.00 out of 5)
Loading...


Ви зараз читаєте: Формула Герона