Розв’язування задач на знаходження відстані між мимобіжними прямими
Урок 41
Тема. Розв’язування задач на знаходження відстані між мимобіжними прямими
Мета уроку: формування вмінь учнів у знаходженні відстані між двома мимобіжними прямими.
Обладнання: стереометричний набір, моделі куба і прямокутного паралелепіпеда.
Хід уроку
1. Фронтальна бесіда за контрольними запитаннями № 13-15 та перевірка правильності розв’язання домашньої задачі.
2. Математичний диктант.
Дано зображення куба: варіант 1 (рис. 229); варіант 2 (рис. 230). Ребро куба дорівнює а.
Знайдіть відстань між прямими:
1) АВ і LK;
2) АХ і CN;
3) AN і KM;
4) DL і AB;
5) AL і ВК;
6) KN і АВ. (Кожне завдання – 2 бали)
Відповідь. Варіант 1. 1) а; 2) а; 3) а; 4) ; 5) ; 6) а.
Варіант 2. 1) а; 2) а; 3) ; 4) а; 5) ; 6) а.
Розв’язування задач, які допомагають знаходити відстань між двома мимобіжними прямими
Задача 1.
Відстань між мимобіжними прямими дорівнює відстані від однієї з цих прямих до паралельної цій прямій площини, яку проведено через другу пряму. Довести.
Відстань між мимобіжними
Задача 2.
Відстань між мимобіжними прямими дорівнює відстані між їх проекціями на площину, перпендикулярну до однієї з цих прямих. Довести.
Нехай?А. Спроектуємо (ортогонально – перпендикулярно) обидві прямі а і b на площину? (рис. 232). Проекцією прямої а є точка А, а проекцію прямої b є пряма b1. Проведемо площину? через прямі b і b1. ? || ?, оскільки будь-яка проектуюча пряма площини? паралельна а. ??, тому перпендикуляр, проведений з точки А до прямої b1, буде перпендикуляром і до площини?. Цей перпендикуляр є відстанню від прямої а до паралельної їй площини?, а, отже, і відстанню між мимобіжними прямими а і b.
1. Через вершину А трикутника ABC проведено пряму а, перпендикулярну до площини трикутника. Знайдіть відстань між прямими а і ВС, якщо АВ = 13 см, ВС = 14 см, АС = 15 см. (Відповідь. 12 см.)
2. До площини квадрата ABCD проведено перпендикуляр KD. Сторона квадрата дорівнює 5 см. Знайдіть відстань між прямими: 1) АВ і KD; 2) KD і АС. (Відповідь. 1) 5 см; 2) См.)
3. Прямокутники ABCD і АВМК лежать у різних площинах. Сума їх периметрів дорівнює 46 cm, AK = 6 cm, BC = 5 см. Знайдіть відстань між прямими AK і BC. (Відповідь. 6 см.)
4. Через точку перетину діагоналей квадрата ABCD проведено перпендикуляр МО до його площини; МО = а , АВ = 2а. Знайдіть відстань між прямими: 1) АВ і МО; 2) ВD і МС. (Відповідь. 1) а; 2) а.)
5. Ребро куба дорівнює 10 см. Знайдіть відстань між прямими а і b (рис. 233).
Рис. 233
(Відповідь: а) 5 см; б) 5 см; в) 5 см; г) см; д) ; е) См.)
III. Домашнє завдання
§3, п. 21; контрольні запитання № 13-15. Розв’язати наступну задачу.
Через вершину С прямого кута трикутника АВС проведено пряму а, перпендикулярну до його площини. АС = 15 см, BC = 20 см. Знайдіть відстань між прямими а і АВ. (Відповідь. 12 см.)
Повторити п. 13 § 2.
Запитання до класу
1) Як можна знайти відстань між двома даними мимобіжними прямими?
2) Через вершину А прямокутного трикутника АВС з прямим кутом С проведено перпендикуляр SA до площини трикутника, СК – висота трикутника. Відомо, що АС = 3 см, АВ = 5 см. Укажіть, які з наведених тверджень правильні, а які – неправильні:
А) спільним перпендикуляром прямих SA і ВС є відрізок АВ;
Б) відстань між прямими SA і ВС дорівнює 3 см;
В) відстань між прямими SA і СК дорівнює відстані між точкою А і прямою СК;
Г) відстань між прямими SA і СК дорівнює 1,8 см.