Властивість точки, рівновіддаленої від вершин многокутнику



Урок 32

Тема. Властивість точки, рівновіддаленої від вершин многокутнику

Мета уроку: формування знань про властивість точки, рівновіддаленої від вершин многокутника, та вмінь застосовувати цю властивість до розв’язування задач.

Обладнання: стереометричний набір, схема “Коло, описане навколо многокутника”.

Хід уроку

1. Перевірити розв’язання задачі № 24 за записами (з пропусками), зробленими на дошці до початку уроку.

Розв’язання задачі № 24 Нехай АВВластивість точки, рівновіддаленої від вершин многокутнику? (рис. 166).

Властивість точки, рівновіддаленої від вершин многокутнику

class=""/>

1) ВС = 40 см, BD =…; нехай AD = х см, тоді АС=…. Із? АВD: АВ2 = х2 -122 = х2 – 144. Із? АВС АВ2…. Тоді х2 – 144 = (х + 26)2 – 402; 52х=…; х =15. Отже, AD=…, AC = 41 см.

2) BD=…, BC=7 см; нехай АD=…,тоді AC = 2х см.

Із? АВD AB2=…. Із? АВС АВ2 = 4х2 – 49.

Тоді х2 – 1 = …; 3х2 = …; х2 = 16. Звідси х = …; отже, AD =…, AC = 2-4 = 8 (см).

Відповідь. 1) 15 см і 41 см; 2) 4 см і 8 см.

2. Математичний диктант.

МО – перпендикуляр до площини ОАВ; Властивість точки, рівновіддаленої від вершин многокутникуAOB = 90° (рис. 167); МА і MB – похилі.

Властивість точки, рівновіддаленої від вершин многокутнику

Варіант 1 – МО = 1 см, ОА = 3 см, MB = Властивість точки, рівновіддаленої від вершин многокутнику см;

Варіант 2 – МО = 1 см, ОВ = 4 см, МА = Властивість точки, рівновіддаленої від вершин многокутнику

class=""/> см. Користуючись зображенням, знайдіть:

1) довжину невідомої похилої; (2 бали)

2) довжину невідомої проекції похилої; (2 бали)

3) довжину відрізка АВ; (2 бали)

4) відстань від точки О до середини відрізка АВ; (2 бали)

5) відстань від точки М до середини відрізка АВ; (2 бали)

6) відстань від точки А до площини МОВ. (2 бали)

Відповідь. Варіант 1.1) Властивість точки, рівновіддаленої від вершин многокутникуСм; 2) Властивість точки, рівновіддаленої від вершин многокутникуСм; 3) Властивість точки, рівновіддаленої від вершин многокутникуСм; 4) Властивість точки, рівновіддаленої від вершин многокутникуСм; 5) Властивість точки, рівновіддаленої від вершин многокутникуСм; 6) 3 см.

Варіант 2. 1) Властивість точки, рівновіддаленої від вершин многокутникуСм; 2) 3 см; 3) 5 см; 4) 2,5 см; 5) Властивість точки, рівновіддаленої від вершин многокутникуСм; 6) 3 см.

Теорема 1.

Якщо через центр кола, описаного навколо многокутника, проведено пряму, перпендикулярну до площини многокут­ника, то кожна точка цієї прямої рівновіддалена від вер­шин многокутника.

?ASO = ?BSO = ?CSO = ?DSO (за двома катетами: SO – спільний, АО = BO = CO = DO).

Із рівності трикутників випливає, що SA = SB = SC = SD.

Властивість точки, рівновіддаленої від вершин многокутнику

Теорема 2.

Якщо деяка точка рівновіддалена від вершин многокутни­ка, то основа перпендикуляра, опущеного з даної точки на площину многокутника, збігається з центром кола, опи­саного навколо многокутника.

Нехай ABCD – даний чотирикутник, для точки S простору SA = SB = SC = SD і SOВластивість точки, рівновіддаленої від вершин многокутникуАВС. Доведемо, що точка О – центр кола, описаного навколо ABCD (рис. 168). ?ASO = ?BSО = ?CSO = ?DSO (за гіпотенузою і катетом: SO – спільний, AS = BS = CS = DS – за умо­вою). Із рівності трикутників випливає, що АО = BO = CO = DO, тобто точка О – центр кола, описаного навколо чотирикутника ABCD.

Далі слід нагадати формули для знаходження радіуса кола, описано­го навколо деяких многокутників, за допомогою даної стінної таблиці.

Властивість точки, рівновіддаленої від вершин многокутнику

Розв’язування задач

1. Властивість точки, рівновіддаленої від вершин многокутникуABC = 90°; МА = MB = МС (рис. 169). Опустіть з точки М перпендикуляр на площину АВС.

2. ABCD – квадрат, АВ = 4Властивість точки, рівновіддаленої від вершин многокутнику см, МА = MB = MC = MD = 5 см (рис. 170). Знайдіть відстань від точки М до площини АВС.

Властивість точки, рівновіддаленої від вершин многокутнику

3. АВ = ВС = АС = 5Властивість точки, рівновіддаленої від вершин многокутнику см; МА = MB = MC = 13 см (рис. 171). Знай­діть відстань від точки М до площини АВС.

Властивість точки, рівновіддаленої від вершин многокутнику

4. ABCD – квадрат, SOВластивість точки, рівновіддаленої від вершин многокутнику(ABC), SO = 2Властивість точки, рівновіддаленої від вершин многокутникуСм, АВ = 4 см (рис. 172). Знайдіть відстань від точки S до вершин квадрата.

Властивість точки, рівновіддаленої від вершин многокутнику

5. ?АВС – правильний; точка О – центр трикутника; АВ = 3Властивість точки, рівновіддаленої від вершин многокутникуСм; SOВластивість точки, рівновіддаленої від вершин многокутнику(АВС); SO = Властивість точки, рівновіддаленої від вершин многокутникуСм (рис. 173). Знайдіть відстань від точки 5 до вершин трикутника АВС.

Властивість точки, рівновіддаленої від вершин многокутнику

6. Задача 21 із підручника (с. 35).

7. Задача 20* із підручника (с. 35).

III. Домашнє завдання

Задачі № 6, 17-19 (с. 34-35).

IV. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу

1) Яку властивість мають точки, які лежать на перпендикулярі, про­веденому до площини многокутника через центр кола, описаного навколо многокутника?

2) Де знаходяться точки, рівновіддалені від вершин деякого много­кутника?

3) Через центр О правильного шестикутника ABCDEF проведемо перпендикуляр SO до площини АВС (рис. 174). Укажіть, які з поданих тверджень пра­вильні, а які – неправильні:

Властивість точки, рівновіддаленої від вершин многокутнику

А) відстані від точки S до вершин шестикутника ABCDEF різні;

Б) кут OAS дорівнює куту OCS;

В) якщо ОА = 1 cm, SO = 1 см, то SA = Властивість точки, рівновіддаленої від вершин многокутникуCm;

Г) якщо SO = OB, то <OSB = 60°.

4) Відстані від точки S до всіх вершин прямокутника ABCD однакові, точка О – точка перетину діагоналей АС і BD прямокутника ABCD. Укажіть, які з поданих тверджень правильні, а які – не­правильні:

А) пряма SO перпендикулярна до прямої АС;

Б) пряма SO не перпендикулярна до прямої BD;

В) пряма SO перпендикулярна до площини АВС;

Г) якщо АВ = 6 см, ВС = 8 см і AS = 13 см, то SO = 12 см.


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (No Ratings Yet)
Loading...


Ціна виробництва.
Ви зараз читаєте: Властивість точки, рівновіддаленої від вершин многокутнику