Узагальнення поняття степеня
Математика – Алгебра
Степенева функція
Узагальнення поняття степеня
Основнi означення
1. Якщо n Є N, , то , де a – довільне число.
2. , де а – довільне число.
3. для . не має змісту.
4. , n Є N, .
5. , n Є N, m Є Z, .
Властивості степеня з раціональним
Для будь-яких раціональних чисел r і s і будь-яких додатних a і b виконуються такі рівності.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
6. Якщо , то для ; для .
7. Якщо , то для ; для .
Поняття
Нехай a – будь-яке додатне число, яке не дорівнює 1, – будь-яке ірраціональне число.
Розглянемо три випадки.
1. , .
Наприклад, ; . Степінь означає таке число, яке більше від усякого степеня , але менше від усякого степеня , де – будь-яке раціональне наближення числа , взяте з недостачею, а – будь-яке наближення числа a, взяте з надлишком. Зверніть увагу: таке дійсне число існує, і до того ж єдине.
2. , .
Наприклад, . Тоді під степенем розуміють число, яке менше від будь-якого степеня , але більше від будь-якого степеня .
3. a – довільне число, крім 1, .
Наприклад, , . Тоді вважають .
Дії над степенями з ірраціональними показниками виконуються за тими самими правилами, які встановлені для степенів із раціональними показниками.
Степенева функція
Функцію , де x – змінна, а p – стале дійсне число, називають Степеневою функцією.
Властивості степеневої функції залежать від значення p.
1. p Є N. Тоді ; ;
Якщо p – непарне, знак y збігається зі знаком x; функція непарна й зростає на всій області визначення. Якщо p – парне, для всіх значень x; функція парна. Якщо , функція спадає, якщо, функція зростає.
2. p Є Z; . Тоді .
Графік складається з двох віток; .
Якщо p – непарне, то для всіх значень знак функції збігається зі знаком аргументу.
Функція непарна, спадна на кожному з проміжків і .
Якщо p – парне, для всіх x; функція парна. Якщо , функція спадає, якщо , функція зростає. На рисунках, поданих нижче, наведені графіки степеневої функції для різних значень p:
Показникова функція
Функція , де і , називається Показниковою (з основою а).
Властивості показникової функції
:
1. . 1. .
2. . 2. .
3. Функція не є ні парною, ні непарною.
4. Графік функції розміщений у верхній півплощині, перетинає вісь Oу у точці (0; 1), вісь Oх є для нього асимптотою.
5. Функція зростає 5. Функція спа на R. дає на R.
6. Якщо , то .
7. Якщо , то існує, і до того ж єдине, значення x, при якому (Тобто рівняння завжди має розв’язок, і до того ж єдиний, якщо , , .)
На рисунку внизу зліва зображений графік показникової функції при ; на рисунку 1 – при .
Рис. 1
Рис. 2
Related posts:
- Узагальнення поняття степеня УРОК 40 Тема. Узагальнення поняття степеня Мета уроку. Формування поняття степеня з раціональним показником, степінь з ірраціональним показником. І. Перевірка домашнього завдання 1. Відповіді на запитання, що виникли в учнів при розв’язуванні домашнього завдання. 2. Колективне розв’язування нерівності < 4 – х. Відповідь: 0 < х < 2. II. Повторення і систематизація знань учнів про […]...
- Кoрінь n-го степеня та його властивості Математика – Алгебра Степенева функція Кoрінь n-го степеня та його властивості Коренем N-го степеня з числаА називається таке число, n-й степінь якого дорівнює а. Якщо n – число непарне, то існує – і до того ж тільки один – корінь n-го степеня з довільного числа а. Цей корінь – число того ж знака, що число […]...
- Властивості степеня з натуральним показником (продовження). Степінь степеня Урок № 23 Тема. Властивості степеня з натуральним показником (продовження). Степінь степеня Мета: свідоме засвоїти зміст властивостей піднесення степеня до степеня, виробляти вміння виконувати перетворення виразів із застосуванням раніше набутих знань про властивості степеня в комплексі з названою властивістю; систематизувати знання учнів про властивості степеня. Тип уроку: засвоєння знань, умінь та навичок. Хід уроку I. […]...
- Корінь n-го степеня. Арифметичний корінь n-го степеня і його властивості УРОК 33 Тема. Корінь n – го степеня. Арифметичний корінь n – го степеня і його властивості Мета уроку. Повторити відомості про квадратний корінь. Формування понять корінь n-го степеня і арифметичний корінь n-го степеня. Вивчення властивостей коренів n-го степеня. І. Аналіз контрольної роботи з теми “Тригонометричні рівняння і нерівності” II. Повторення відомостей про квадратний корінь […]...
- Властивості степеня з цілим показником – СТЕПЕНІ, КОРЕНІ, ЛОГАРИФМИ Формули й таблиці МАТЕМАТИКА СТЕПЕНІ, КОРЕНІ, ЛОГАРИФМИ Степінь числа з натуральним показником n – добуток Позначуване аn; число а називається основою, а натуральне число n > 1 – показником степеня. Степінь числа з натуральним показником n називають n-м степенем числа а. Другий степінь числа називають квадратом цього числа. Степінь числа з нульовим показником – вираз […]...
- Поняття первісної функції – Інтеграл і його застосування Математика – Алгебра Інтеграл і його застосування Поняття первісної функції Первісною для даної функції на заданому проміжку називається така функція , що для всіх . Операція знаходження первісної F для даної функції називається Інтегруванням. Теорема 1. Будь-яка неперервна на відрізку функція має первісну функцію. Лема. Якщо на деякому проміжку, то на цьому проміжку, де C […]...
- ВЛАСТИВОСТІ СТЕПЕНЯ З НАТУРАЛЬНИМ ПОКАЗНИКОМ Цілі: – навчальна: удосконалити вміння застосовувати властивості степенів до розв’язування задач; – розвивальна: формувати вміння міркувати за аналогією; розвивати увагу, логічне мислення, пам’ять; – виховна: виховувати об’єктивність та чесність під час оцінювання власних знань, старанність, наполегливість у досягненні мети; Тип уроку : удосконалення вмінь і навичок. Обладнання та наочність: Хід уроку І. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ ЕТАП ______________________________________________________ […]...
- Множення, ділення й піднесення до степеня дробів – Раціональні вирази Математика – Алгебра Раціональні вирази Множення, ділення й піднесення до степеня дробів Щоб помножити дріб на дріб, треба перемножити окремо їхні чисельники й окремо знаменники і перший добуток записати чисельником, а другий – знаменником дробу. Щоб піднести дріб до степеня, треба піднести до цього степеня чисельник та знаменник і перший результат записати чисельником, а другий […]...
- Поняття про обернену функцію Математика – Алгебра Тригонометричні функції Поняття про обернену функцію Функція, яка приймає кожне своє значення в єдиній точці області визначення, є Оборотною. У такої функції за значенням залежної змінної можна однозначно визначити, якому значенню аргументу воно відповідає. Інакше кажучи, якщо функція є оборотною й число а належить до її області значень , то рівняння має […]...
- Властивості степеня з натуральним показником Розділ 1. ЦІЛІ ВИРАЗИ & 4. Властивості степеня з натуральним показником Розглянемо властивості степеня з натуральним показником. Вираз а3а2 є добутком двох степенів з однаковими основами. Застосувавши означення степеня, цей добуток можна переписати так: А3а2 = (ааа) ∙ (аа) = ааааа = а5. Отже, а3а2 = а5, тобто a5 = а2 + 3. У той […]...
- Властивості степеня (продовження). Степінь добутку й відношення Урок № 24 Тема. Властивості степеня (продовження). Степінь добутку й відношення Мета: домогтися свідомого розуміння властивості степеня добутку й відношення; виробити вміння застосовувати ці властивості для перетворень виразів і обчислення значень числових виразів. Тип уроку: засвоєння знань, умінь та навичок. Хід уроку І. Перевірка домашнього завдання @ Як і на попередніх двох уроках, перевірку домашнього […]...
- Властивості степеня (продовження). Частка степенів з однаковою основою Урок № 22 Тема. Властивості степеня (продовження). Частка Степенів з однаковою основою Мета: домогтися свідомого розуміння учнями властивостей степеня з натуральним показником (частка степенів) та виробити вміння застосовувати ці властивості для спрощення виразів разом з іншими властивостями степеня, вивченими раніше. Тип уроку: засвоєння знань, умінь та навичок. Хід уроку I. Перевірка домашнього завдання. Актуалізація опорних […]...
- Властивості степеня з натуральним показником. Добуток степенів з однаковою основою Урок № 21 Тема. Властивості степеня з натуральним показником. Добуток степенів з однаковою основою Мета: домогтися свідомого розуміння учнями властивості добутку степенів з однією основою та сформувати вміння перетворювати числові та буквені вирази з використанням цієї властивості. Тип уроку: засвоєння знань, умінь та навичок. Хід уроку I. Перевірка домашнього завдання (Зібрати зошити) II. Актуалізація, опорних […]...
- Формули зниження степеня – ОСНОВНІ ФОРМУЛИ ТРИГОНОМЕТРІЇ Формули й таблиці МАТЕМАТИКА ОСНОВНІ ФОРМУЛИ ТРИГОНОМЕТРІЇ Формули зниження степеня Для будь-якого α Якщо , то Якщо α ≠ kπ, то...
- Означення степеня з цілим від’ємним показником Урок № 24 Тема. Означення степеня з цілим від’ємним показником Мета: домогтися засвоєння учнями змісту означення степеня з цілим від’ємним показником (для цілої та дробової основи степеня); сформувати вміння відтворювати означення степеня та застосовувати його для перетворення степеня з цілим від’ємним показником у дріб, та навпаки, сформувати вміння розв’язувати вправи на обчислення значень числових виразів […]...
- Степінь з натуральним показником Математика – Алгебра Одночлени Степінь з натуральним показником Степенем Числа a з натуральним показником n, більшим за 1, називається добуток n множників, кожний із яких дорівнює a. Тобто де a – основа степеня; n – показник степеня. Степенем числа a з показником 1 є саме число a. Знак степеня з натуральним показником 1. Якщо основа […]...
- Властивості степеня з цілим від’ємним показником Урок № 26 Тема. Властивості степеня з цілим від’ємним показником Мета: закріпити знання учнів про означення та властивості степеня з цілим (від’ємним) показником та сформувати вміння використовувати їх для розв’язування вправ на обчислення значень числових виразів та перетворень виразів зі змінними. Тип уроку: відпрацювання навичок, діагностика засвоєння. Наочність та обладнання: опорний конспект “Степінь з цілим […]...
- Поняття про обернену функцію УРОК 17 Тема. Поняття про обернену функцію Мета уроку: формування понять: оборотна функція, обернена функція. Вивчення алгоритму знаходження формули функції, оберненої до даної, властивості графіків взаємно-обернених функцій. І. Аналіз контрольної роботи II. Сприймання і усвідомлення нового матеріалу На уроках математики ви неодноразово розв’язували задачу: обчислити значення функції у = f(x) при заданому значенні х0 аргументу. […]...
- Метод інтервалів Математика – Алгебра Границя Метод інтервалів Отже, нехай функція неперервна на інтервалі І й перетворюється на 0 у скінченній кількості точок цього інтервалу. Тоді інтервал І розбивається цими точками на інтервали, в кожному з яких зберігає незмінний знак. Щоб визначити цей знак, достатньо обчислити значення у будь-якій точці кожного такого інтервалу. Приклад Розв’язати нерівність Розглянемо […]...
- Границя функції Математика – Алгебра Границя Границя функції Нехай функція визначена на проміжку (можливо, що ). Число A називається границею функції у точці , якщо для будь-якого числа існує таке число , що для всіх , і таких, що , виконується нерівність . Позначення: , або . Нехай – внутрішня точка проміжку . Функція називається нескінченно малою […]...
- Арифметичні операції над диференційовними функціями Математика – Алгебра Похідна Арифметичні операції над диференційовними функціями Теорема 1. Якщо функції і в точці мають похідні, то функція в цій точці також має похідну, яка дорівнює . Теорема 2. Якщо функції і в точці мають похідні, то в цій точці функція також має похідну, яка дорівнює . Наслідок. Якщо функція має похідну в […]...
- Степінь з раціональним показником – СТЕПЕНІ, КОРЕНІ, ЛОГАРИФМИ Формули й таблиці МАТЕМАТИКА СТЕПЕНІ, КОРЕНІ, ЛОГАРИФМИ Степінь з раціональним показником N ) Для будь-якого невід’ємного числа а й натурального числа n (n ≥ 2) існує одне невід’ємне число b, при якому bn = а й позначається . Звідси випливає: 1. = 0 тільки при а = 0; 2. = 1 тільки при а = […]...
- Логарифмічна функція, її графік і властивості УРОК 56 Тема. Логарифмічна функція, її графік і властивості Мета уроку. Ознайомити учнів з логарифмічною функцією, її властивостями і графіком. І. Перевірка домашнього завдання 1. Три учні відтворюють розв’язування вправ № 13, 15, 20. 2. Розв’язування вправ, аналогічних домашнім. А) Обчисліть: ; . =====–=. ====–= 5. Б) Обчисліть . ==== 52 – 3-2 = 25 […]...
- Екстремуми функції Математика – Алгебра Числові функції Екстремуми функції Точку x0 називають Точкою мінімуму функції, а саме число – Мінімумом функції, якщо існує інтервал , , на якому функція визначена і для всіх із цього інтервалу. Точку називають Точкою максимуму функції, а саме число – Максимумом функції, якщо існує інтервал , , на якому функція визначена і […]...
- Обернені функції – ФУНКЦІЇ ТА ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ Формули й таблиці МАТЕМАТИКА ФУНКЦІЇ ТА ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ Обернені функції Дві функції називаються оберненими, якщо вони виражають ту саму залежність між змінними величинами, але в одній з них за аргумент прийнято х, а за функцію – у, в іншій – навпаки, тобто за аргумент прийнято у, а за функцію – х. Функції у = f(x) […]...
- Множення дробів. Піднесення дробу до степеня Урок № 14 Тема. Множення дробів. Піднесення дробу до степеня Мета: закріпити знання учнів щодо способів перетворення добутку та степеня раціонального дробу на раціональний дріб; відпрацювати вміння використовувати набуті знання для виконання названих перетворень раціональних виразів. Тип уроку: застосування знань, умінь та навичок. Наочність та обладнання: опорний конспект “Множення та ділення дробів. Піднесення дробу до […]...
- Схема дослідження – ФУНКЦІЇ ТА ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ Формули й таблиці МАТЕМАТИКА ФУНКЦІЇ ТА ЇХНІ ВЛАСТИВОСТІ Функцією (або функціональною залежністю) називається закон, за яким кожному значенню незалежної змінної х з деякої множини чисел, що називається областю визначення функції, ставиться у відповідність тільки одне певне значення величини у. Графіком функції називається множина всіх точок координатної площини з координатами (х, у), такими, при яких абсциса […]...
- ПІДНЕСЕННЯ ОДНОЧЛЕНІВ ДО СТЕПЕНЯ. МНОЖЕННЯ ОДНОЧЛЕНІВ Цілі: – навчальна: удосконалити вміння учнів виконувати піднесення одночленів до степеня та множення одночленів;_ – розвивальна: формувати вміння міркувати за аналогією; сприяти вдосконаленню обчислювальних навичок; ______ – виховна: виховувати упевненість у власних силах, позитивне ставлення до навчання, скрупульозність;______________ Тип уроку : удосконалення вмінь і навичок. Обладнання та наочність: Хід уроку І. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ ЕТАП ______________________________________________________ ______________________________________________________ […]...
- Застосування похідної Математика – Алгебра Похідна Застосування похідної Нехай функція визначена на проміжку і . Функція називається Зростаючою в точці, якщо існує інтервал , де , який міститься у проміжку і є таким, що для всіх x з інтервалу і для всіх x з інтервалу . Функція називається Спадною в точці, якщо існує інтервал , який міститься […]...
- Періодичність тригонометричних функцій Математика – Алгебра Тригонометричні функції Періодичність тригонометричних функцій Функція називається Періодичною з періодом , якщо для будь-якого x з області визначення функції числа і також належать області визначення й виконується умова: . Якщо T – період функції , то всі числа виду nT, де , , також є періодами функції. Щоб побудувати графік періодичної функції […]...
- Арифметичний квадратний корінь з добутку, дробу, степеня Урок № 40 Тема. Арифметичний квадратний корінь з добутку, дробу, степеня Мета: закріпити знання змісту властивостей арифметичного квадратного кореня з добутку, частки та степеня; відпрацювати вміння учнів застосовувати вивчені властивості для виконання обчислень значення числових виразів, що містять квадратний корінь, а також для перетворення виразів зі змінними. Тип уроку: застосування знань та вмінь. Наочність та […]...
- Зростаючі й спадні функції Математика – Алгебра Числові функції Зростаючі й спадні функції Функція називається Зростаючою на деякому інтервалі, якщо для будь-яких двох значень аргументу з цього інтервалу більшому значенню аргументу відповідає більше значення функції. Функція називається Спадною На деякому інтервалі, якщо для будь-яких значень аргументу з цього інтервалу більшому значенню аргументу відповідає менше значення функції. Приклади 1) y […]...
- Степенева функція УРОК 41 Тема. Степенева функція Мета уроку. Познайомити учнів із степеневою функцією, її властивостями і графіками. І. Перевірка домашнього завдання 1. Перевірити наявність виконаного домашнього завдання. 2. Розв’язування вправ. А) Обчислити . Відповідь: 5. Б) Спростити вираз . Відповідь: ab. В) Спростити вираз . Відповідь: 2a. II. Сприймання і усвідомлення матеріалу про степеневу функцію Степеневою […]...
- Узагальнення й систематизація знань з теми “Початкові хімічні поняття” Тема 1 ПОЧАТКОВІ ХІМІЧНІ ПОНЯТТЯ Урок 23 Тема. Узагальнення й систематизація знань з теми “Початкові хімічні поняття” Цілі: узагальнити й систематизувати знання про початкові хімічні поняття, хімічні формули, хімічні реакції, хімічні рівняння; підготувати учнів до тематичного оцінювання з теми “Початкові хімічні поняття”. Тип уроку: узагальнення і систематизації знань. Форма проведення: гра. ХІД УРОКУ I. Організація […]...
- Основні властивості неперервних функцій Математика – Алгебра Границя Основні властивості неперервних функцій Теорема 1. Якщо функції і є неперервними в точці , то в цій точці будуть неперервними і функції , . Теорема 2. Якщо і є неперервними в точці і , то в точці є неперервною також і функція . Зверніть увагу: всі дробово-раціональні функції і основні тригонометричні […]...
- Поняття політичної ідеології Політологія ПРИКЛАДНА ПОЛІТОЛОГІЯ ПОЛІТИЧНА КУЛЬТУРА. ПОЛІТИЧНА ІДЕОЛОГІЯ. ОСНОВНІ ПОЛІТИЧНІ ТЕЧІЇ СУЧАСНОСТІ 3. Поняття політичної ідеології Термін “ідеологія” (від грецького idea – поняття і logos – учення) у науковий обіг уперше ввів французький учений Дестюд Детрасі (1754-1836) у своїй праці “Елементи ідеології”. У політичній науці існують різноманітні підходи до визначення поняття “політична ідеологія”. Марксизм, наприклад, виходить […]...
- Неперервність функції в точці Математика – Алгебра Границя Неперервність функції в точці Нехай функція визначена на проміжку і точка є внутрішньою точкою цього проміжку. Функція називається Неперервною в точці, якщо існує границя функції в цій точці й вона дорівнює значенню функції в точці . Нехай функція визначена в усіх точках деякого проміжку . Візьмемо дві довільні точки з цього […]...
- Первісна функція – ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ Формули й таблиці МАТЕМАТИКА ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ Первісна функція Первісною для даної функції y = f(x) на проміжку (а; b) називається така функція F(x), похідна якої для всіх х (а;b), що дорівнює f(x): F'(x) = f(x). Загальний вигляд первісної F(x) + C, де С – довільне стале число. Теорема. Будь-яка неперервна на функція y = f(x) […]...
- Парність функції Математика – Алгебра Числові функції Парність функції Функція називається Парною, якщо: 1) ; 2) . У парних функцій протилежним значенням аргументу відповідають рівні значення функції. Графік парної функції симетричний відносно осі Oy. Функція називається Непарною, якщо: 1) ; 2) . У непарних функцій протилежним значенням аргументу відповідають протилежні значення функції. Графік непарної функції симетричний відносно […]...
- Огляд властивостей основних функцій УРОК 2 Тема. Огляд властивостей основних функцій Мета уроку: Повторення і узагальнення властивостей елементарних функцій: у = kx + b, у = , у = х2, у= х3, у = , у = , у = ?х2 + bx + с. І. Перевірка домашнього завдання 1. Один учень пояснює розв’язання вправи № 1 (5), другий […]...