Властивість точки, рівновіддаленої від вершин многокутнику
Урок 32
Тема. Властивість точки, рівновіддаленої від вершин многокутнику
Мета уроку: формування знань про властивість точки, рівновіддаленої від вершин многокутника, та вмінь застосовувати цю властивість до розв’язування задач.
Обладнання: стереометричний набір, схема “Коло, описане навколо многокутника”.
Хід уроку
1. Перевірити розв’язання задачі № 24 за записами (з пропусками), зробленими на дошці до початку уроку.
Розв’язання задачі № 24 Нехай АВ
? (рис. 166).
1) ВС = 40 см, BD =…; нехай AD = х см, тоді АС=…. Із? АВD: АВ2 = х2 -122 = х2 – 144. Із? АВС АВ2…. Тоді х2 – 144 = (х + 26)2 – 402; 52х=…; х =15. Отже, AD=…, AC = 41 см.
2) BD=…, BC=7 см; нехай АD=…,тоді AC = 2х см.
Із? АВD AB2=…. Із? АВС АВ2 = 4х2 – 49.
Тоді х2 – 1 = …; 3х2 = …; х2 = 16. Звідси х = …; отже, AD =…, AC = 2-4 = 8 (см).
Відповідь. 1) 15 см і 41 см; 2) 4 см і 8 см.
2. Математичний диктант.
МО – перпендикуляр до площини ОАВ; 
AOB = 90° (рис. 167); МА і MB – похилі.
Варіант 1 – МО = 1 см, ОА = 3 см, MB = 
см;
Варіант 2 – МО = 1 см, ОВ = 4 см, МА = 
1) довжину невідомої похилої; (2 бали)
2) довжину невідомої проекції похилої; (2 бали)
3) довжину відрізка АВ; (2 бали)
4) відстань від точки О до середини відрізка АВ; (2 бали)
5) відстань від точки М до середини відрізка АВ; (2 бали)
6) відстань від точки А до площини МОВ. (2 бали)
Відповідь. Варіант 1.1) См; 2) 
См; 3) 
См; 4) 
См; 5) 
См; 6) 3 см.
Варіант 2. 1) 
См; 2) 3 см; 3) 5 см; 4) 2,5 см; 5) 
См; 6) 3 см.
Теорема 1.
Якщо через центр кола, описаного навколо многокутника, проведено пряму, перпендикулярну до площини многокутника, то кожна точка цієї прямої рівновіддалена від вершин многокутника.
?ASO = ?BSO = ?CSO = ?DSO (за двома катетами: SO – спільний, АО = BO = CO = DO).
Із рівності трикутників випливає, що SA = SB = SC = SD.
Теорема 2.
Якщо деяка точка рівновіддалена від вершин многокутника, то основа перпендикуляра, опущеного з даної точки на площину многокутника, збігається з центром кола, описаного навколо многокутника.
Нехай ABCD – даний чотирикутник, для точки S простору SA = SB = SC = SD і SOАВС. Доведемо, що точка О – центр кола, описаного навколо ABCD (рис. 168). ?ASO = ?BSО = ?CSO = ?DSO (за гіпотенузою і катетом: SO – спільний, AS = BS = CS = DS – за умовою). Із рівності трикутників випливає, що АО = BO = CO = DO, тобто точка О – центр кола, описаного навколо чотирикутника ABCD.
Далі слід нагадати формули для знаходження радіуса кола, описаного навколо деяких многокутників, за допомогою даної стінної таблиці.
Розв’язування задач
1. ABC = 90°; МА = MB = МС (рис. 169). Опустіть з точки М перпендикуляр на площину АВС.
2. ABCD – квадрат, АВ = 4 см, МА = MB = MC = MD = 5 см (рис. 170). Знайдіть відстань від точки М до площини АВС.
3. АВ = ВС = АС = 5 см; МА = MB = MC = 13 см (рис. 171). Знайдіть відстань від точки М до площини АВС.
4. ABCD – квадрат, SO(ABC), SO = 2См, АВ = 4 см (рис. 172). Знайдіть відстань від точки S до вершин квадрата.
5. ?АВС – правильний; точка О – центр трикутника; АВ = 3См; SO(АВС); SO = См (рис. 173). Знайдіть відстань від точки 5 до вершин трикутника АВС.
6. Задача 21 із підручника (с. 35).
7. Задача 20* із підручника (с. 35).
III. Домашнє завдання
Задачі № 6, 17-19 (с. 34-35).
IV. Підведення підсумку уроку
Запитання до класу
1) Яку властивість мають точки, які лежать на перпендикулярі, проведеному до площини многокутника через центр кола, описаного навколо многокутника?
2) Де знаходяться точки, рівновіддалені від вершин деякого многокутника?
3) Через центр О правильного шестикутника ABCDEF проведемо перпендикуляр SO до площини АВС (рис. 174). Укажіть, які з поданих тверджень правильні, а які – неправильні:
А) відстані від точки S до вершин шестикутника ABCDEF різні;
Б) кут OAS дорівнює куту OCS;
В) якщо ОА = 1 cm, SO = 1 см, то SA = Cm;
Г) якщо SO = OB, то <OSB = 60°.
4) Відстані від точки S до всіх вершин прямокутника ABCD однакові, точка О – точка перетину діагоналей АС і BD прямокутника ABCD. Укажіть, які з поданих тверджень правильні, а які – неправильні:
А) пряма SO перпендикулярна до прямої АС;
Б) пряма SO не перпендикулярна до прямої BD;
В) пряма SO перпендикулярна до площини АВС;
Г) якщо АВ = 6 см, ВС = 8 см і AS = 13 см, то SO = 12 см.
(1 votes, average: 5.00 out of 5)
Loading...