Властивості тригонометричних функцій

УРОК 10

Тема. Властивості тригонометричних функцій

Мета уроку: вивчення властивостей тригонометричних функцій у = sin х, у = cos х, у = tg х, у = ctg x (область визначення; область значень; парність (непарність); симетричність графіків; періодичність; нулі; проміжки спадання (зростання); проміжки знакопостійності; найбільші і найменші значення).

І. Перевірка домашнього завдання

Перевірити правильність побудови графіків функцій вправи № 28 (а-г) за рисунками, зробленими до уроку.

II. Вивчення властивостей тригонометричних функцій.

Властивості вивчених тригонометричних функцій зручно за­писати в таблицю 5. При заповненні таблиці мож­ливі такі коментарі:

1. Вирази sin х і cos х визначені для будь-яких x, оскільки для будь-якого числа х можна знайти координати точки Властивості тригонометричних функцій, оди­ничного кола.

Вираз tg х має смисл при будь-якому x, крім чисел виду х = Властивості тригонометричних функцій, n Властивості тригонометричних функцій ?.

Вираз ctg x має смисл при будь-якому x, крім чисел виду х = ?n, n Властивості тригонометричних функцій ?.

2. Оскільки sin х і cos х – це ордината і абсциса точки Властивості тригонометричних функцій одиничного кола, то областю значення синуса і косинуса є про­міжок [-1; 1].

Оскільки tg? – це ордината точки Властивості тригонометричних функцій лінії тангенсів, то обла­стю значень тангенса є R.

Оскільки ctg? – це абсциса точки Властивості тригонометричних функцій лінії котангенсів, то областю значень котангенса є R.

3. Оскільки точки Р? і Р-? одиничного кола (рис. 75) симет­ричні відносно осі ОХ, то ці точки мають однакові абсциси і про­тилежні ординати, тобто sin (-?) = – sin?; cos (-?) = cos?.

Властивості тригонометричних функцій

Властивості тригонометричних функцій

Оскільки точки Т? і?-? симетричні відносно Р0 лінії тангенсів, то tg (-?) = – tg?.

Оскільки точки Q? і Q-? симетричні (рис. 77) відносно точки Властивості тригонометричних функцій лінії котангенсів, то ctg (-?) = – ctg?.

Властивості тригонометричних функцій

Можна довести аналітичне, що tg? і ctg? непарні:

Властивості тригонометричних функцій,

Властивості тригонометричних функцій.

4. Див. урок 8.

5. Ординату, рівну нулю, мають дві точки (рис. 78) одиничного кола: (1; 0) і (-1; 0). Ці точки утворюються із точки (1; 0) поворотом на кути 0, ?, 2?, 3? і т. д., а також на кути – ?, -2?… Отже, sin х = 0, якщо х = nk, n Властивості тригонометричних функцій ?.

Властивості тригонометричних функцій

6. Абсцису, рівну нулю, мають дві точки одиничного кола: (0; 1) і (0; -1). Ці точки утворюються із точки (1; 0) поворотом на кути Властивості тригонометричних функцій; Властивості тригонометричних функцій + ?; Властивості тригонометричних функцій + 2? і т. д., а також на кути – Властивості тригонометричних функцій ; – Властивості тригонометричних функцій + ?; – Властивості тригонометричних функцій + 2?, тобто на кути Властивості тригонометричних функцій+2?k, kВластивості тригонометричних функційZ (рис. 79). Отже, cos х = 0, якщо х = Властивості тригонометричних функцій + ?k, k Властивості тригонометричних функцій?.

Властивості тригонометричних функцій

7. Див. урок 9.

8. Якщо кут? змінюється від –Властивості тригонометричних функцій до Властивості тригонометричних функцій, то ордината точки?? збільшується від -1 до 1, тобто sin? зростає на проміжку Властивості тригонометричних функцій, враховуючи, що найменшим періодом синуса є 2?, робимо висновок, що sin? зростає на проміжку Властивості тригонометричних функцій, nВластивості тригонометричних функцій? (рис. 80). Якщо кут? змінюється від Властивості тригонометричних функцій до Властивості тригонометричних функцій, то ордината точки?? зменшується від 1 до -1, тобто sin? спадає на проміжку Властивості тригонометричних функцій. Враховуючи, що найменший період синуса є 2?, робимо висновок, що sin? спадає на про­міжках Властивості тригонометричних функцій, nВластивості тригонометричних функцій?.

Властивості тригонометричних функцій

Якщо кут? змінюється від 0 до?, то абсциса точки Р? змен­шується від 1 до -1, тобто cos? спадає на проміжку [0; ?], якщо кут? змінюється від – ? до 0, то абсциса точки?? збільшується від -1 до 1, тобто cos? зростає (рис. 81). Враховуючи, що найменший період косинуса є 2?, робимо висновок, що фун­кція cos? спадає на проміжках [2?n; ? + 2?n] і зростає на проміжках [-? + 2?n; 2?n], n Властивості тригонометричних функцій

/> ?.

Властивості тригонометричних функцій

При зміні кута? від –Властивості тригонометричних функцій до Властивості тригонометричних функцій ордината точки Т? лінії тангенсів збіль­шується від –Властивості тригонометричних функцій до +Властивості тригонометричних функцій, тобто tg? зростає на проміжку Властивості тригонометричних функцій. Враховуючи, що найменший додатний період тангенса є?, робимо висновок, що tg? зростає на кожному з проміжків Властивості тригонометричних функцій, ?Властивості тригонометричних функцій? (рис. 82).

Властивості тригонометричних функцій

При зміні кута? від 0 до? абсциса точки Q? лінії котанген­сів зменшується від +Властивості тригонометричних функцій до –Властивості тригонометричних функцій, тобто ctg? спадає на проміжку (0; ?). Враховуючи, що найменший додатний період котанген­са є?, робимо висновок, що ctg? спадає на кожному з проміж­ків (?n; ? + ?n), nВластивості тригонометричних функцій?.

11. Ординату, рівну 1, має точка (0; 1) одиничного кола (рис. 84). Цю точку отримаємо із точки (1; 0) поворотом на кути Властивості тригонометричних функцій + 2?n. Отже, sin x = 1, якщо x = Властивості тригонометричних функцій+ 2?n, nВластивості тригонометричних функцій?.

Абсцису, рівну 1, має точка (рис. 85), утворена із точки (1; 0) поворотом на кути 2?n, nВластивості тригонометричних функцій?. Отже, cos x = 1, якщо x = 2?n, nВластивості тригонометричних функцій?.

Властивості тригонометричних функцій

Властивості тригонометричних функцій

12. Ординату, рівну -1, має точка (рис. 86), утворена із точки (1; 0) поворотом на кут – Властивості тригонометричних функцій + 2?n, nВластивості тригонометричних функцій?. Отже, sin x = -1, якщо x = – Властивості тригонометричних функцій + 2?n, nВластивості тригонометричних функцій?. Абсцису, рівну -1, має точка, утворена із точки?? поворотом (рис. 87) на кут? + 2?n, nВластивості тригонометричних функцій?. Отже, cos x = -1, якщо х = ? + 2?n, nВластивості тригонометричних функцій?.

Властивості тригонометричних функцій

Властивості тригонометричних функцій

III. Застосування властивостей тригонометричних функцій до розв’язування вправ

1. Використовуючи властивості функції у = sin x, порівняйте числа:

A) sin Властивості тригонометричних функцій і sin Властивості тригонометричних функцій; б) sin Властивості тригонометричних функцій і sin Властивості тригонометричних функцій; в) sin 3 і sin 4; г) sin 1° і sin 1.

Відповідь: a) sin Властивості тригонометричних функцій > sin Властивості тригонометричних функцій; б) sin Властивості тригонометричних функцій > sin Властивості тригонометричних функцій; в) sin 3 > sin 4; г) sin 1° < sin 1.

2. Розташуйте числа в порядку зростання:

A) sin 20°; sin 85°; sin 30°;

Б) sin 0,2; sin 0,3; sin 0,1;

В) sin 2; sin (-2); sin (-1); sin 1.

Відповідь: a) sin 20°; sin 30°; sin 85°; б) sin 0,1; sin 0,2; sin 0,3; в) sin (-2); sin (-1); sin 1; sin 2.

3. Використовуючи властивості функції у = cos x, порівняйте числа:

A) cos 2,52 і cos 2,53;

B) б) cos (-4,1) і cos (-4);

C) в) cos 1 і cos 3;

D) г) cos 4 і cos 5.

Відповідь: a) cos 2,52 > cos 2,53; 6) cos (-4,1) > cos (-4); в) cos 1 > cos 3; г) cos 4 < cos 5.

4. Розташуйте числа в порядку зростання:

A) cos 13°; cos 53°; cos 23°;

Б) cos 0,3; cos 0,6; cos 0,9;

В) cos 2; cos 4; cos 6.

Відповідь: a) cos 53°; cos 23°; cos 13°; б) cos 0,9; cos 0,6; cos 0,3; в) cos 4; cos 2; cos 6.

5. Використовуючи властивості функції у = tg x, порівняйте чис­ла:

А) tg (-2,6?) і tg (-2,61?);

Б) tg 2,7? і tg 2,75?;

В) tg 2 і tg 3;

Г) tg 1 і tg 1,5.

Відповідь: а) tg (-2,6?) > tg (-2,61?); б) tg 2,7? < tg 2,75?; в) tg 2 < tg 3; г) tg 1 < tg 1,5.

6. Розташуйте числа в порядку зростання:

A) tg 25°; tg 65°; tg 15°;

Б) tg (-1); tg (-2); tg (-3);

В) tg (-5); tg (-3); tg 3.

Відповідь: а) tg 15°; tg 25°; tg 65°; б) tg (-1); tg (-3); tg (-2); в) tg 3; tg (-3); tg (-5).

IV. Підсумок уроку

V. Домашнє завдання

Розділ І § 7. Запитання і завдання для повторення до розділу І № 52-56, Вправи № 18 (а-г), № 35 (1-4). Повторити розділ І §1-6.

Таблиця 5
Властивості тригонометричних функцій

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (No Ratings Yet)
Loading...
Ви зараз читаєте: Властивості тригонометричних функцій