Головна ⇒ 📌Довідник з математики ⇒ Поняття про обернену функцію

Поняття про обернену функцію

Математика – Алгебра

Тригонометричні функції

Функція, яка приймає кожне своє значення в єдиній точці області визначення, є Оборотною.
У такої функції за значенням залежної змінної можна однозначно визначити, якому значенню аргументу воно відповідає.
Інакше кажучи, якщо функція є оборотною й число а належить до її області значень , то рівняння має розв’язок, причому єдиний.
Оберненою до даної оборотної

функції

називається така функція

, яка кожному із множини значень функції

ставить у відповідність єдине число x з області визначення.
Якщо аргумент і функцію в записі

позначити звичайним способом, отримаємо

.
Графік функції g, оберненої до функції f, симетричний графіку f відносно прямої

.
Якщо функція f зростає (або спадає) на проміжку I, то вона є оборотною. Обернена до f функція g, яка визначена в області значень f, теж є зростаючою (або спадною).

/> Наведемо деякі приклади обернених функцій.
1. На проміжку

функція

є оборотною. Оберненою до неї на цьому проміжку є функція

.
На рисунку зображені функція

і обернена до неї функція

2. y = arcsin x – функція, обернена до

, якщо

.
Отже, запис

Означає, що

;

.
Зверніть увагу: у деяких випадках не можна назвати точного значення

. Наприклад,

, але для

можемо знайти тільки наближене значення.
Властивості функції

:
1) область визначення

;
2) область значень

;
3) функція непарна, бо

– симетрична відносно 0;

.
Отже, графік

Симетричний відносно початку координат;
4) функція не є періодичною;
5)

;
6) функція зростаюча;
7)

при

;
8) найбільше значення –

, якщо

, найменше –

, якщо

.
Графік функції

зображений на рисунку:

Зверніть увагу на рівності:

;

.
Зверніть увагу:

3. y = arccos x – функція, обернена до

, якщо

.
Отже, запис

означає, що

;

.
Властивості функції y = arccosx:
1)

;
2)

;
3) функція не є ні парною, ні непарною;
4) функція не є періодичною;
5)

;
6) функція спадна;
7) функція додатна на всій області визначення;
8) найбільше значення –

, якщо

, найменше – 0, якщо

.
Графік функції

зображений на рисунку:

;

.
4.

– функція, обернена до

, якщо

.
Запис b = arctg(a) означає:

.
Властивості функції y = arctgx:
1)

;
2)

;
3) функція непарна.

симетрична відносно 0,

.
Графік симетричний відносно початку координат;
4) функція не є періодичною;
5)

;
6) функція зростаюча;
7)

, якщо

;
8) функція не набуває найбільшого і найменшого значень.

, якщо

;

, якщо

;

.
Графік функції

зображений на рисунку:

– функція, обернена до

, якщо

.
Запис

означає, що

;

.
Властивості функції y = arcctgx:
1)

;
2)

;
3) функція не є ні парною, ні непарною;
4) функція не є періодичною;
5)

при жодному значенні х;
6) функція спадна;
7) додатна на всій області визначень;
8) функція не набуває найбільшого і найменшого значень.
Графік функції