Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь. Рівняння sin t = a
УРОК 21
Тема. Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь. Рівняння sin t = а
Мета уроку: засвоєння учнями виведення і застосування формули для коренів рівняння sin t = а.
Обладнання: Таблиця “Рівняння sin t = а”.
І. Перевірка домашнього завдання
1. Відповіді на питання, що виникли при виконанні домашніх завдань.
2. Самостійна робота.
Варіант 1
Розв’яжіть рівняння:
А) 2cos 
= 
. (3 бали)
Б) 2cos2x + cos x – 1 = 0. (3 бали)
В) 4cos x = 4 – sin x. (3 бали)
Г) sin 3х sin x – cos
. (3 бали)Варіант 2
Розв’яжіть рівняння :
А) 2 cos 
= 
. (3 бали)
Б) 2cos2x – cosx – 1 = 0. (3 бали)
В) 8 sin2х + cosx + 1 = 0. (3 бали)
Г) sin2 
– cos2 = 1. (3 бали)
Відповідь:
B-1. a)
±+4?n, n
Z; б) ±+2?n і?+2?n, nZ; в)2?n, nZ; г) ±
+?n, nZ.
В-2. a) 
±+
, nZ;
+2?n, nZ; в) n+2?n, nZ; г) 4?n, nZ.II. Повідомлення теми уроку
III. Сприймання і усвідомлення матеріалу про розв’язування рівняння sin t = a
Демонструється таблиця 9.
Пояснення вчителя
1) Якщо |а| > 1, то рівняння не має розв’язків, поскільки |sin x| 
1 для будь-якого t.
2) Якщо |а| < 1, то, враховуючи те, що sin t – ордината точки Рt одиничного кола, маємо: ординату, рівну а, мають дві точки одиничного кола (на осі OY відкладаємо число а і через цю точку проведемо пряму, перпендикулярну до осі ординат (рис. 123), яка перетне коло у двох токах – 
і 
):
T1 = arcsin a + 2?n, nZ,
T2 = n – arcsin а + 2?n, nZ.
Ці дві формули можна записати у вигляді однієї формули:
T = (-1)k arcsin a + nk, kZ (1)
Неважко впевнитися, що при парному k = 2? маємо:
T1 = (-1)2n arcsin а + 2?n або t1 = arcsin a + 2?n, nZ;
При непарному k = 2n + 1 маємо:
T2 = (-1)2n+1 arcsin а + (2n + 1)n;
T2 = – arcsin а + 2?n + n;
T2 = n – arcsin a + 2?n, nZ.
3) Якщо а = 1, то, враховуючи те, що sint – це ордината точки Pt (одиничного кола, маємо: ординату, рівну 1, має точка Рt утворена із точки Р0(1;0) поворотом на кут 
+ 2?n, nZ.
Отже, t = + 2?n, nZ. Якщо а = -1, то t = – + 2?n, nZ.
4) Якщо а = 0, маємо t = 0 + ?n; t = ?n, nZ.
Розглянемо приклади.
Приклад 1. Розв’яжіть рівняння sinx = .
Згідно з формулою (1) маємо: х = (-1)n arcsin + ?n, nZ.
Оскільки arcsin = , то х = (-1)n + ?n, nZ.
Відповідь: (-1)n + ?n, nZ.
Приклад 2. Розв’яжіть рівняння sin х = – 
.
Згідно з формулою (1) маємо: х = (-1)n arcsin 
+ ?n, nZ.
Оскільки arcsin = – 
, то х =(-1)n –
+ ?n, nZ; х = (-1)n+1 + ?n, nZ.
Відповідь: (-1)n+1 + ?n, nZ.
Приклад 3. Розв’яжіть рівняння sin x = 
– 1.
Згідно з формулою (1) маємо: х = (-1)n arcsin(– 1) + ?n, nZ.
Значення arcsin(-1) знайдемо за допомогою мікрокалькулятора:
Arcsin(– 1) 
0,427, тоді х (-1)n – 0,427 + ?n, nZ.
Відповідь: (-1)n – arcsin(-1) + ?n (-1)n – 0,427 + ?n, nZ.
IV. Осмислення вивченого матеріалу
Розв’яжіть рівняння.
1. a) 2sin х – 1 = 0; б) 2sin 
= – 1; в) 2sin = – ; г) 2sin 
= .
Відповідь: а) (-1)n + ?n, nZ; б) (-1)n+1+ 2?n, nZ; в) +(-1) n+1+
, nZ; г) 
+(-1)n+1 + 4?n, nZ.
2. a) sin 3х cos х – cos 3х sin х = ;
Б) sin 2x cos 2x = – 
;
В) sin 
Cos
– cosSin= 
;
Г) cos 2x sin 3х + sin 2x cos 3x = 1.
Відповідь: а) (-1)n + 
, nZ; б) (-1)n+1 
+ 
, nZ; в) 
(-1)n+3 ?n, nZ; г) 
+
, nZ.
3. а) (2sin х – 1)(3sin х + 1) = 0; б) (4sin 3х – 1)(2sin х + 3) = 0.
Відповідь: а) (-1)n+ ?n і (-1)n+1arcsin 
+ ?n, nZ; б) (-1)n 
+, nZ.
V. Підведення підсумків уроку
VI. Домашнє завдання
Розділ II § 2 (1). Запитання і завдання для повторення до розділу II № 13-15. Вправи № 1 (6; 7; 8; 14; 17; 18), № 2 (3).