ТОЧКИ І ПРЯМІ

РОЗДІЛ 1 НАЙПРОСТІШІ ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ

У цьому розділі ви повторите і поглибите свої знання про найпростіші і найважливіші геометричні фігури: точки, прямі, відрізки, кути.

Дізнаєтесь, як вимірюють відрізки і кути, ознайомитесь із найуживанішими креслярськими і вимірювальними інструментами.

& 1. ТОЧКИ І ПРЯМІ

Геометрія – це наука про геометричні фігури та їх властивості. Найпростіша геометрична фігура – точка. Кожна інша геометрична фігура складається з точок. Наприклад,

коло – це фігура, що складається з усіх точок площини, рівновіддалених від даної точки (мал. 1). Відрізок також складається з точок. Будь-яка множина точок є геометричною фігурою. Частина геометричної фігури чи об’єднання кількох фігур – теж геометрична фігура (мал. 2).

Однією з геометричних фігур є площина. Уявлення про частину площини дає поверхня стола, стелі, підлоги. У геометрії площина вважається необмеженою, ідеально рівною і гладкою.

Фігури, які можна розмістити в одній площині, називають плоскими. Усі названі вище геометричні фігури – плоскі. А от куб, куля, прямокутний паралелепіпед –

неплоскі фігури (мал. 3). Частину геометрії, у якій вивчають плоскі фігури, називають планіметрією (від латинського слова “плануй” – площина).

Ми починаємо вивчати планіметрію.

Насамперед розглянемо, як можуть бути розташовані на площині точки і прямі.

Мал. 1

Мал. 2

Мал. 3

Ви вже знаете, як за допомогою лінійки проводять прямі (мал. 4). Пряма в геометрії – ідеально рівна і нескінченна в обидва боки. Як і кожна інша фігура, пряма складається з точок. Якщо точка А лежить на прямій а, говорять, що пряма а проходить через точку А. Символічно записують це так: А ∈ а. Якщо точка В не лежить на прямій а, пишуть: В а (мал. 5).

Мал. 4

Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що їй не належать.

Через одну точку можна провести безліч прямих. На малюнку 6 зображено прямі а і b, які проходять через точку Р. Це їх спільна точка. Інших спільних точок прямі а і b не мають.

Якщо дві прямі мають тільки одну спільну точку, кажуть, що вони перетинаються в цій точці. Прямі а і b перетинаються в точці Р.

Якщо прямій належать точки А і В, кажуть, що ця пряма проходить через точки А і В. Позначають її так: АВ.

Через будь-які дві різні точки можна провести пряму, і тільки одну.

Чи можна провести пряму через три точки? Не завжди. Якщо точки А, В і С розміщені, як показано на малюнку 7, через них можна провести пряму.

А через точки А, В i D – не можна.

Кажуть, що точки А, В і D не лежать на одній прямій.

Точки А, В, С лежать на одній прямій, причому точка В лежить між точками А і С.

Із трьох точок прямої одна, і тільки одна, лежить між двома іншими.

Якщо точка В лежить між точками А і С, кажуть, що точки А і С лежать по різні боки від точки В, а точки А і В – по один бік від точки С.

Надруковані вище жирним шрифтом три речення, позначені знаком – це основні властивості розміщення точок на прямій.

Будь-яка точка А прямої ділить цю пряму на дві частини (мал. 8). Кожну із частин прямої разом із точкою А називають променем, який виходить із точки А. Точку А називають початком променя. Якщо кажуть “промінь АВ”, то мають на увазі промінь з початком у точці А (мал. 9).

Мал. 5

Мал. 6

Мал. 7

Мал. 8

Мал. 9

Мал. 10

Два промені, які мають спільний початок і доповнюють один одного до прямої, називають доповняльними. На малюнку 10 зображено промінь О К – доповняльний для променя ОР, і промінь ОР – доповняльний для ОК.

Для допитливих

Геометрія – частина математики (мал. 11).

Геометрична наука багата за змістом і методами дослідження. До неї входять: елементарна геометрія, вища геометрія, неевклідові геометрії та ін. У школі вивчають тільки елементарну геометрію.

Геометрія тісно пов’язана з багатьма іншими науками, насамперед із фізикою. Проте фізика займається вивченням матеріальних тіл (які мають масу, температуру, колір тощо), а в геометрії абстрагуються від усього матеріального.

Абстрагуватися – означає подумки відриватися від конкретних об’єктів, які нас оточують.

Абстрагуючись від матеріальних речей, ми уявно створюємо ідеальні об’єкти зі схожими властивостями. Кінець голки, натягнута струна – це матеріальні об’єкти. Вони мають певну товщину, довжину, масу. Абстрагуючись від таких фізичних властивостей, людська уява створила абстрактні геометричні поняття: точка, пряма.

У природі абстрактної прямої немає, але це поняття існує в людській уяві. І дуже корисне поняття, бо всі властивості прямої і її частин, виявлені в геометрії, переносяться на мільйони і мільярди всіх натягнутих струн, прямолінійних рейок, труб, стрічок тощо.

Не існує в природі і геометрична площина – без товщини, ідеально рівна і гладка, нескінченна в кожному її напрямі. Але для науки це ідеальне поняття дуже важливе, бо властивості, встановлені в геометрії для площини і її частин, можна переносити на властивості мільярдів конкретних шибок, стін та інших предметів, які мають плоскі поверхні.

Мал. 11

Кресліть красиво

Проводячи відрізок, вістрям олівця не слід торкатися нижнього ребра лінійки, а треба трохи відступити від нього.

Геометричний відрізок не має товщини. Але щоб зробити малюнок зрозумілішим і красивішим, креслярі іноді зображують його потовщеною лінією, іноді – штриховою лінією або й іншим кольором:

Запитання і завдання для самоконтролю

1. Що таке геометрія? Що таке планіметрія?

2. Наведіть приклади плоских і неплоских фігур.

3. Що означають записи: А ∈ а, В ∉ b?

4. Опишіть поняття: точка, пряма, площина.

5. Наведіть приклади матеріальних об’єктів, моделями яких є точка, пряма, площина.

6. Сформулюйте основні властивості розміщення точок на прямій.

7. Що означає вислів ” точка В лежить між точками А і С”?

8. Що таке промінь? Як позначають промені?

9. Які промені називають доповняльними?

Виконаємо разом

На скільки частин можуть розбивати площину три її прямі?

Якщо прямі розташовані, як показано на малюнку 12, то вони розбивають площину на 7 частин. Якщо вони розташовані, як показано на малюнку 13 (а, б), то вони розбивають площину на 4 або б частин.

Отже, три прямі розбивають площину, якій вони належать, на 4, 6 або 7 частин.

Мал. 12

Мал. 13, а

Мал. 13, б

Мал. 13, в

ЗАДАЧІ І ВПРАВИ

Виконайте усно

1. Чи через кожні дві точки можна провести пряму? Чи існують дві точки, через які можна провести пряму?

2. Чи через кожні три точки можна провести пряму? Чи існують три точки, через які можна провести пряму?

3. Провідміняйте слово: а) точка; б) пряма; в) площина.

4. Опишіть, як взаємно розташовані точки і прямі на малюнку 14.

5. На скільки частин пряму ділить її точка? А дві точки?

6. Чи можна вважати доповняльними промені РК і КР (див. мал. 10)? А промені ОР і КР? Чому?

Мал. 14

7. Позначте в зошиті точки А і В та проведіть через них пряму. Назвіть цю пряму.

8. Проведіть пряму. Позначте кілька точок, що належать цій прямій, і кілька точок, що їй не належать.

9. Дано точку А. Проведіть через неї три прямі. Чи можна через точку А провести десять прямих? А мільйон прямих?

10. Пряма а і точки А, В такі, що А ∈ а і В ∉ а. Зобразіть це на малюнку.

11. Прямі k i p перетинаються в точці X. Зобразіть це на малюнку. Чи правильно, що X ∈ k і X ∈ р?

12. Пряма АВ перетинає пряму АС в точці А, а пряму ВС – у точці В. Чи належить точка С прямій АВ?

13. Позначте точки К, Р і Т так, щоб через них можна було провести пряму. Як можна назвати цю пряму?

14. Позначте на прямій точки А, В, С так, щоб точки А і В лежали по один бік від точки С, а точки А і С – по один бік від точки В.

15. Дано пряму а. Позначте точки А, В і С так, щоб прямі АВ і а перетинались у точці С, яка лежить між точками А і В.

16. Прямі а і b перетинаються в точці Р. Скільки променів утворилось?

17. На скільки частин площину ділить її пряма? А дві прямі? Зобразіть усі випадки.

18. Позначте точки А, В, С і D так, щоб прямі АВ і CD перетинались, а промені АВ і CD не перетинались.

19. Чи можна розмістити точки A, B, C i D так, щоб промені АВ і CD перетинались, а промені АС і BD не перетинались?

20. Накресліть три прямі АВ, ВС і АС. На скільки частин розбивають ці прямі площину?

21. Позначте чотири точки так, щоб жодні три з них не лежали на одній прямій (мал. 15). Скільки існує прямих, що проходять через будь-які дві з цих точок? На скільки частин розбивають ці прямі площину?

22. Учень провів спочатку одну пряму, а потім, перевернувши лінійку, – іншу й одержав лінії, що перетинаються у двох точках (мал. 16). Що можна сказати про його лінійку? Чому?

23. Щоб перевірити лінійку, дивляться вподовж її ребра (мал. 17). Що бачать, якщо лінійка викривлена?