Куля і сфера
1028.
Нехай OA и OB – радіуси кулі з центром в точці О, OA = OB = 50 см,
AB = 80 см. Проведемо OD + AB. ΔAOB – рівнобедрений (OA = OB — як радіуси кулі). OD – висота, а також медіана. Отже, AD = DB = 80 : 2 = 40 (см).
З ΔADO за теоремою Піфагора маємо: OA2 = AD2 + OD2,
Відповідь: 30 см.
1029.
Нехай OM і ON – радіуси кулі, OM = ON = 13 см, AN : AM = 5 : 12. Через точку А і точки M I N проведемо переріз. ΔAMN належить перерізу. ∠MAN спирається на діаметр, отже, ∠MAN = 90°.
Нехай AN = 5x, AM = 12x.
З
X2 = 4; x = 2. Звідси AN = 10 см, AM = 24 см.
Відповідь: 10 см, 24 см.
1030.
Нехай площина перетинає кулю по кругу з центром в точці O1.
O – центр кулі, OO1 = 6 см, OA = 10 см.
З прямокутного ΔΟ1ΟΑ:
Для площі основи утвореного кульового сегмента S маємо:
S = π × О1A2 =64π (см2),
1031.
Нехай площина, перпендикулярна до радіуса ОА, перетинає кулю по кругу з центром в точці O1. BO1+ AO, AO1 = O1O. З прямокутного ΔВО1О: нехай OB = г, тоді
Обчислимо площу
Обчислимо площу великого круга: S1 = π × OC2 = πr2.
Знайдемо відношення S: S1.
Відповідь:
1032.
Нехай (A1O2A) ? (B1O1B), O2A = 30 см, O1B = 40 см, OA = OB = 50 см,
O – центр кулі.
Розглянемо два варіанти:
1 варіант: Обидві площини лежать по одну сторону від центра кулі.
З прямокутного ΔO2 AO:
З прямокутного ΔО 1ВО:
Отже, висота утвореного кульового поясу O1O2дорівнює:
O1O2 = OO2- OO1 = 40 см – 30 см = 10 см.
2 варіант: Площини лежать по різні сторони від центра кулі.
3 прямокутного ΔO 2AO:
З прямокутного ΔO1ВО:
Отже, висота утвореного кульового поясу O1O2обчислюється таким чином:
O1O2 = OO2 + OO 1 = 40 см + 30 см = 70 см.
Відповідь: 10 см або 70 см.
1033.
Нехай S1- площа основи кульового поясу, r1- радіус основи, S1 = 64π см2,
S2- площа основи кульового поясу, S2 = 19 см2, O1O2 = 15 см, г2 – радіус основи. Площа основи S кульового поясу обчислюється за формулою:
S1 = πr1 = πO2.Α2. За умовою S1 = 64π см2.
Отже, маємо πO2A2 = 64π2; O2A2 = 64; O2A = 8 (см).
Площа основи S2кульового поясу обчислюється за формулою S2 = πr2 = πO1B2. За умовою S1 = 19π см2. Отже, маємо πO1B2 = 19π см2, O1B2 = 19,
Площі основ кульового поясу лежать по різні сторони від центра кулі.
Нехай O 1O = х. З прямокутного ΔO2AO:
З прямокутного ΔOBO1:
Отже, отримуємо: (15 – х)2 + 64 = х2 + 19; 225 – 30x + x2 + 64 = х2 + 19;
30x = 270; x = 9. Отже, OO1 = 9 см, тоді
Відповідь: 10 см.
1034.
Нехай ∠COD = 60°, O1C = а
З ΔO1CO: ∠O1OC = 30°, тоді OC = 2а,
Отже, висота конуса
З ΔAO1C:
Отже, висота кульового сегмента
Відповідь: 1 : 3.
1035.
Нехай A i B – точки на кулі. OA і OB – радіуси кулі, ОА = ОВ = r.
AB = г. Звідси маємо: ΔABO – рівносторонній, ∠AOB = 60°.
Найкоротшою відстанню між точками A i B буде l – довжина дуги AB.
де r – радіус, n° – градусна міра дуги.
Отже, маємо ∠AOB – центральний кут, n = 60°,
Відповідь:
1036.
Нехай OA – радіус кулі з центром в точці О. OA = 2 см.
Проведемо січну площину, яка перетне кулю по кругу з центром в точці O1.
OO1 = х.
З прямокутного ΔAO1O:
Для площі S перерізу маємо: S = π × O1A2 = π(4 – х2).
Відповідь: π(4 – х2).
1037.
Нехай OA = r, O – центр кулі, O1- центр перерізу.
Два круга з центрами в точках O і O1мають спільну точку А.
Проведемо через точку А дотичну до кола, OA + AM, тоді O1A + AM,
Отже, ∠O1AO = α, ∠OO1A = 90°.
З ΔAOO1: AO1 = AO × cos ∠O1AO = r cos α.
Отже, площа S перерізу S = π × AO1 = πr 2 cos2α.
Відповідь: πr2 cos2 α.
1038.
Нехай ΔABC – рівносторонній трикутник, AB = BC = AC = 10 см;
А, В, C – точки дотику кулі до вершин трикутника. OA = OB = OC = 10 см.
Опустимо з центра O кулі перпендикуляр OO1 на площину трикутника.
ΔAO1O = ΔBO1O = ΔCO1O (за гіпотенузою і катетом: катет OO1- спільний, а гіпотенуза дорівнює радіусу). Звідси маємо AO1= BO1 = CO1.
Отже, О1 – центр описаного кола навколо трикутника.
Радіус цього кола дорівнює де а – сторона трикутника.
Отже,
За теоремою Піфагора з AAO1O маємо:
1039.
Нехай А, В, C – точки сфери з центром в точці О, OA = OB = OC = 26 см.
З’єднаємо точки A, B i C відрізками, отримаємо трикутник ABC зі сторонами:
AB = 16 см, BC = 12 см, AC = 20 см.
Опустимо з точки O – центра сфери перпендикуляр OO1 на площину трикутника ABC.
AO1O = ABO1O = ACO1O (за катетом і гіпотенузою: катет OO1- спільний,
OA = OB = OC – як радіуси сфери).
З рівності трикутників маємо: O1A = O1B = O1C.
Отже, O1- центр кола, описаного навколо трикутника ABC.
Скористаємося формулою для радіуса:
Де а, = 16 см, b = 12 см, с = 20 см;
Підставивши дані, маємо:
Отже, O1A = O1B = O1C = 10 (см).
З прямокутного AAO1O:
1040.
Нехай А, В, C – точки дотику кулі до сторін трикутника KLM.
Опустимо з центра O кулі перпендикуляр OO1 на площину трикутника.
Відрізки ОА, OB, OC перпендикулярні до сторін (оскільки дотична до кулі перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику).
За теоремою про три перпендикуляри відрізки O1A, O1B, O1C теж перпендикулярні до відповідних сторін трикутника.
З рівності прямокутних трикутників OO1A, OO1B, OO1C (у них катет спільний, а гіпотенузи дорівнюють радіусу) випливає рівність сторін O1A = O1B = O1C.
Отже, O1- центр кола, вписаного у трикутник.
Для знаходження радіуса кола, вписаного в трикутник, скористаємося формулою: де а = 26 см, b = 28 см, с = 30 см, тоді
і для радіуса r маємо:
Отже, O1A = O1B = O1C = 8 см.
З прямокутного AAO1O:
Відповідь: 6 см.
1041.
Нехай сторони ромба ABCD дотикаються до сфери з центром в точці O в точках М, N, L, K.
Оскільки площина ABC перетинає сферу по колу, то коло з центром в точці O1буде вписаним в ромб ABCD. Проведемо OO1+ (ABC).
З прямокутного ΔMO1O:
Оскільки радіус кола, вписаного в ромб, дорівнює не половині висоти,
То висота ромба ABCD BP = 2MO1 = 2 × 6 = 12 (см).
Нехай ∠ABC = 150°, тоді ∠BAD = 30°.
З прямокутного ΔАВР:
Оскільки в ромбі всі сторони рівні, то PΔABCD = 4 × AM = 4 × 24 = 96 см.
SABCD= АО × BP = 24 × 12 = 288 см2.
Відповідь: 96 см, 288 см2.
1042.
Куля дотикається до однієї сторони у точці А, до другої – у точці В.
OA + AC, OB + СВ, ∠ACO = ∠BCO.
А)
Б)
В)
Г)
Відповідь: а) 2г; б) в) г)
1043.
Нехай MA, MB – дотичні до кулі з центром в точці О.
(MOA) + (МОВ), OM = 6 см. OB + MB, як радіус, проведений в точку дотику,
OB = 2 см.
З прямокутного ΔВМО:
Оскільки (MOA) + (МОВ), то BK + ОМ, AK + ОМ. Нехай OK = х.
В прямокутному ΔOBM: OB2 = OK х ОМ, 4 = х × 6,
Отже,
З прямокутного ΔАВК:
Відповідь:
1044.
Існує вісім сфер радіуса 2, які дотикаються до координатних площин.
(х – 2)2 + (у – 2)2 + (z – 2)2 = 4 – рівняння сфери радіуса 2, яка дотикається до координатних площин.
1045.
А)
Геометричним місцем центрів сфер радіуса г, які дотикаються до даної площини α, є дві площини β і γ, які паралельні до площини α і знаходяться на відстані r від неї.
Б)
Геометричним місцем центрів сфер радіуса г, які проходять через дану точку А, є сфера з центром в точці А і радіуса г.
1046.
А)
Геометричним місцем центрів сфер, які дотикаються до даної площини α у даній А є пряма а (без точки А), яка перпендикулярна до площини α і проходить через точку А.
Б)
Геометричним місцем центрів сфер, які дотикаються до даної прямої а в точці А, є площина (з виколотою точкою А), яка проходить через точку А і перпендикулярна до прямої а.
1047.
ΔSKO — прямокутний, OC = OK = 6400 км, AC = 100 км.
Тоді із ΔACO :
З ΔSCO: AD × OS = CO2, тоді
Тоді SK = SO – OK = 6401 – 6400 = 1 (км).
Відповідь: 1 км.
1048.
Нехай OA = 6,4тис. км. ∠AOB = α, ∠O1OA = 90° – α.
З ΔOO1A: O1A = OA × sin(90° – α) = OA × cos α = 6,4 cos α (тис. км)
C = 2π × 6,4 cos α = 12,8π cos α (тис. км).
Якщо α = 46°29′, то C = 12,8 × 3,14 × cos46°29′ = 12,8 × 3,14 × 0,69 = 28(тис. км).
Якщо α = 49°49′, то C = 12,8 × 3,14 cos49°49′ = 40,192 × 0,6 = 26 (тис. км).
Якщо α = 50°27′, то C = 12,8 × 3,14 cos50°27’= 40,192 × 0,45 = 25,6 (тис. км).
Відповідь: =28 тис. км; =26 тис. км; =25,6 тис. км.
1049.
Нехай R – радіус Землі, тоді довжина обруча дорівнює 2πR,
Нова довжина обруча 2πR1або 2πR +1, тоді 2πR +1 = 2πR1,
Звідси 2πR1 – 2πR – 1; 2π(R1 – R) = 1;
Нехай г – радіус футбольного м’яча, тоді довжина обруча дорівнює 2πг,
Нова довжина обруча або 2πг + 1, тоді 2πг +1 = 2πr1,
Звідси 2πг1 – 2πr = 1, 2π(г1 – г) = 1;
Отже, відстані однакові.
Відповідь: відстані однакові.
1050.
Нехай рівняння сфери має вигляд
(x – a) 2 + (у – b)2 + (z – с)2 = R2. Враховуючи, що сфера
Проходить через точки А(2;0;1), B(2; 0;3), С(1;4;0),D(l; 2; 2),
Маємо систему рівнянь:
Розв’яжемо отриману систему:
Отже, центр сфери (8; 4; 2) і радіус сфери
Відповідь: (8; 4; 2).
1051.
AB = BC = AC = 3а, OA = OC = OB = 2а, OM = а.
Оскільки OA = OC = OB і OO1+ (ABC) ,то O1- центр AABC, тоді
З ΔOAO1маємо
Оскільки OO1 = а, то площина трикутника ABC дотикається до кулі.
1052.
Оскільки AM + MN = NB, то N – центр кулі, нехай AB = 2а, тоді S1 = πа2
Проведемо NH + KM, тоді
Тоді з ΔKHN:
Тоді
Тоді
Відповідь:
1053.
∠ABC = 120°, OA = OC = 10 см2, π × (O2A)2 = 36π см 2 , OO2+ AB, OA1+ BC. Оскільки π × (O2A)2 = 36π, το O2A = 6 см.
3 ΔOO2A:
Нехай ∠ OBO2 = α, тоді ∠ OBO1 = 120° – α, тоді із ΔOBO2 і ΔOBO1 маємо
Отже, звідси
8sin(120°- α) = 10sinα;
8(sin 120° cos α – cos 120° sin α) = 10 sin α;
Тоді
Тоді
Відповідь:
1054.
АС = 16см; π(O1B)2 = 100π см 2; π(O2B)2 = 144π см 2
Оскільки π(O1B)2 = 100πt, то O1B = 10.
Оскільки π(O2B)2=144π, то O2B = 12.
З ΔO1BA:
З ΔO1AO:
Відповідь:
1055.
AB = AC = AD = OB = OC = OD = 2 см. ОО 1 + (ABC), ∠BAC = α = ∠BAD = ∠ DAC,
Нехай AB = AC = AD = x, тоді з ΔABC:
ΔBCD – рівносторонній,
3 ΔABO2:
З ΔBO1O:
Відповідь:
1056.
Нехай сфера з центром O проходить через точки А, В, C і дотикається до площини а в точці O2. Центр кола, описаного навколо трикутника ABC, лежить на діаметрі сфери, яка перпендикулярна до площини ABC. Продовження цього діаметра сфери перегинає площину в точці X. ΔXOO2 – прямокутний.
Якщо задано точки А, В, C і O2, то, щоб знайти центр сфери, необхідно: описати коло навколо трикутника ABC, провести перпендикуляр O1X до площини ABC та провести перпендикуляр O2O до площини α. O – точка перетину цих перпендикулярів.
1057.
Нехай ∠ASC = ∠ASB = ∠BSC = 90°,
Де А, В, C – точки дотику ребер SA, SB, SC до кулі радіуса г.
ΔSAO = ΔSBO = ΔSCO, де O – центр кулі,
Тоді SA = SB = SC, AO = BO = CO = г. Нехай SA = SB = SC = І, тоді
З ΔАВС:
З ΔSO1B:
З ΔOO1B:
З ΔSAO:
г2 =2l2;
Тоді
Отже, шукане геометричне місце точок – сфера радіуса
Із центром О, де г і O – радіус і центр даної кулі.
1058.
Нехай через пряму а проходять площини α1, α2, …, αn, які перетинають сферу з центром у точці О, причому α1 і αnдотикаються до даної сфери в точках C I B відповідно, ∠ BAC – лінійний кут двогранного кута.
Шукане геометричне місце точок – дуга кола, радіус якого дорівнює AC = AB, а його центр – точка А.
1059.
Позначимо центри даних сфер O1і O2 , а радіус третьої сфери R.
Тоді точка O належить бісектору даного кута і площині, що проходить через середину P відрізка O1O2 і перпендикулярна до O1O2. Отже, точка O належить перетину бісектора з цією площиною – променю QP.
З ΔQOM:
З Δ O1QM1:
QP = Q1O1 = 2 r.
OP = QP – OQ = 2r – 2R, O1P = r, OO1P = R + г.
З прямокутного трикутника O1OP за теоремою Піфагора маємо:
OP2 = O1O2- O1P2; (2r – 2R)2 = (R + г)2 – г2;
4г2 – 8Rr + 4R2 =R2 + 2Rr + r2 – r2; 4r2 – 10Rr + 3R2 = 0 ;
3R2 – 10Rr +4г2 =0;
Відповідь:
1060.
Центри даних чотирьох сфер позначимо O1, O2, O3, O4. Сфера, яка дотикається до даних сфер внутрішньо, нехай має центр в точці O5 . Точки дотику цієї сфери зі сферами з центрами, в O1, O2 , O3, O4позначимо через A1, A2 , A3 , A4.
Тоді O5A1 = O5O1 + O1A1; O5A2 = O5O2 + O2A2; O5A3= O5O3 + O3A3;
O5A4 = O5O4 + O4A4.
Крім того O5A1 = O5A2 = O5A3 = O5A4(як радіуси однієї і тієї ж сфери),
O1A1 = O2A2 = O3A3 = O4A4 = г (як радіуси даних чотирьох однакових сфер).
Тому O5O1 = O5O2 = O5O3 = O5O4, тобто O5є одночасно і центром сфери, описаної навколо тетраедра O1O2O3O4 .
Знайдемо радіус цієї сфери. Кожне ребро тетраедра O1O2O3O4 дорівнює 2г. Центр O5рівновіддалений від вершин O2, O3, O4тетраедра, отже, точка O5лежить на висоті O1H тетраедра. З ΔO2O3O4 знаходимо
З ΔHO1O3:
Нехай O5O1 = O5O3 = R, тоді
Враховуючи, що маємо
Тоді
Звідси Радіус шуканої сфери дорівнює
Відповідь:
1061.
Нехай O1O2O3O4O5O6 – правильний шестикутник, O1O4 = 4r. OA1 – радіус сфери, яка дотикається внутрішньо до шести сфер із центрами O1, O2, O3, O4, O5, O6 радіуса r. OA1 = 3r, тоді OO1 = OA1 – O1A = 3r – r = 2r. OO1 + (ABC).
Тоді із AOO1O7: O1O72 = O7O2 + OO2.
Нехай O7B = x, тоді (x + r) = (3r – x + (2г)2;
X2 + 2xr +r2 = 9r2 – 6xr + x2 + 4r2; 8xr = 12r2;
8x = 12r; x = 1,5r.
Отже, шуканий радіус дорівнює 1,5r.
Відповідь: 1,5г.
1062.
Проведемо через р площину, яка паралельна прямій l і спроектуємо на неї пряму? і центри куль. Нехай O1, O2, O3 – проекції центрів куль, A1, A2 , A3 – точки дотику, А – точки перетину р i l′ – проекції І, α – кут між l i р, d – відстань між ними. Нехай AO1 = х. Відстань від O1 до р дорівнює x sin α. a відстань від центра першої кулі до p дорівнює .
Таким чином, х2 sin2 α + d 2 = 1.
Аналогічно отримуємо ще два рівняння:
(x + 3)2 sin2 α + d2 = 4, (х + 10)2 sin2 α + d2= 25.
Останні два рівняння з урахуванням першого рівняння перетворюються до вигляду: 2х sin2 α + 3 sin2 α = 1, 5x sin2 α + 25 sin2 α = 6 .
Звідси x = 1. Потім Отже,
Відповідь: