Головна ⇒ 📌ГДЗ з математики ⇒ Властивості сфери і кулі

Властивості сфери і кулі

1.

Відстань, яка б відділяла мене від мого антипода дорівнювала б

Двом радіусам Землі.

Відповідь: 2R Землі.

2.

Нехай АО – радіус Землі, ОА = 6400 км, О1А – радіус Полярного кола Землі.

Координати Полярного кола Землі 66°31′ п. ш.

∠АОВ = 66°31′; ∠О1ОА = 90° – 67° = 23°.

З ΔO1ОA: Ο1Α = ОА sin ∠Ο1ΟΑ = 6400 × sin 23° = 6400 × 0,39 = 2496 (км).

Довжина Полярного кола С = 2π × О1А ≈ 2 × 3,14 × 2496 = 15 675 (км).

Відповідь: 15 675 км.

Нехай ОА – радіус Землі, ОА – 6400 км.

Координати міста Харків 50°

п. ш.

∠АОВ = 50°, ∠O1ОA = 90° – 50° = 40°.

З ΔOO1A: О1А = ОА × sin 40° = 6400 × 0,64 = 4096 (км).

Шлях С, який проходить за добу місто Харків, дорівнює:

С = 2π × Ο1Α ≈ 2 × 3,14 × 4096 = 25 723 (км).

Відповідь: 25 723 км.

Найбільшим колом земної кулі є екватор.

1) Нехай AM = MB, OB = ОА – радіус сфери. Розглянемо ΔSABO: ОВ = ОА – як радіуси кулі, отже, ΔАОВ – рівнобедрений. AM = MB, отже, ОМ – медіана, а в рівнобедреному трикутнику медіана є і висотою. Отже, ОМ + АВ.

2) Нехай ОА і О В – радіуси сфери. Розглянемо АОАВ: ОА = ОВ, отже, АОАВ – рівнобедрений, ОМ + АВ, а оскільки АОАВ – рівнобедрений, то он

є медіаною.

Звідси AM = MB.

Нехай ОА = OB = R, AM = MB.

1) R = 15 см, AB = 18 см. ОМ + AB; OB = R = = 15 см.

З Δ OMB:

2) R= 10 дм, OM = 60 см. AB = 2AM; AO = R = 10 дм.

З Δ АМО: АВ = 2AM = 2 × 8 = 16 (см).

3) R = а, ОМ = b, OA = R = а. З Δ АМО:

Відповідь: 1) 12 см; 2) 16 см; 3)

7.

Нехай АВ – хорда, АВ = m, ОВ – радіус сфери OB = R. Проведемо ОС + АВ.

З ΔСОВ:

Відповідь:

8.

Рівняння сфери з центром у точці (а; b; c) і радіусом R має вигляд:

(х – а)2 + (у – b)2 + + (z – с)2 = R2.

1) O(0; 0; 0); R = 5 см.

Рівняння сфери буде мати вигляд: x2 + у2 + z2 = 25.

2) O(1; 0; 1); R =5 см.

Рівняння сфери буде мати вигляд: (х – 1)2 + у2 + (z – 1 )2 = 25.

2) O(2; 5; -1); R = 5 см.

Рівняння сфери буде мати вигляд: (х – 2)2 + (у – 5)2 + (z + 1)2 = 25.

Відповідь:

1) х2 + у2 + z2 = 25;

2) (х – 1)2 + у2 + (z – 1)2 = 25;

3) (x – 2)2 + (у – 5)2 + (z + 1)2 = 25.

9.

1) Складемо рівняння сфери з центром

O(1; -2; 6) і радіусом 3: (х – 1)2 + (у + 2)2 + (z – b)2 = 9.

Перевіримо, чи належить точка (1; -2; 3) отриманій сфері:

(1 – 1)2 + (-2 + 2)2 + (3 – 6)2 = 9; 0 + 0 + (-3)2 = 9; 9 = 9.

Отже, точка (1; -2; 3) належить сфері.

2) Складемо рівняння сфери з центром

Р(-1; 2; 0) і радіусом 2: (х + 1)2 + + (у – 2)2 + z2 = 4.

Перевіримо, чи належить точка (1; -2; 3) сфері:

(1 + 1)2 + (-2 – 2)2 + 9 = 4; 22 + 42 + 9 = 4; 4 + 16 + 9 = 4; 29 = 4.

Рівність неправильна 29 ≠ 4, тобто точка (1; -2; 3) не належить сфері.

Відповідь: 1) так; 2) ні.

1 0.

Радіус сфери дорівнює 1, сфера дотикається до координатних площин.

Абсциса і ордината її центра додатні, а апліката від’ємна, отже, центр сфери знаходиться в точці А(1; 1; -1). (х – 1)2 + (у – 1)2 + (z + 1)2 = 1.

Відповідь: (х – 1)2 + (у – 1)2 + (z + 1)2 = 1.

11.

1) O(0; 0; 0); R = 4; 2) O(0; 0; 0); 3) O(5; 1; -1); R = 3;

4) x2 + 2х + у2 + z2 = 8; х2 + 2х + 1 – 1 + у2 + z2 = 8;

(х +1)2 + у2 + z2 = 9; O(-1; 0; 0); R = 3;

5) х2 – 2х + у2 + 5у + z2- z = 0;

Х2 – 2х + 1 + у2 + 5у + 6,25 + z2 – z + 0,25 – 1 – 6,25 – 0,25 = 0;

(х -1)2 + (у + 2,25)2 + (x – 0,5) 2 = 7,5; O(1; – 2,25; 0,5);

12.

При гомотетії з центром у початку координат коефіцієнтом k координати довільної точки, образу M1(x1; у1; z1) і її прообразу М(х; у; z) пов’язані співвідношенням:

Координати центра даної сфери O(0; 0; 0). Тоді координати центра О1 шуканої сфери O1 (0; 0; 0). Радіус, даної сфери дорівнює 4. Тоді радіус шуканої сфери дорівнює:

1) R1 = 0,5 × 4 = 2. Рівняння сфери з центром у точці O(0; 0; 0) і радіуcом R1= 2 має вигляд: х2 + у2 + z2 = 4.

2) R1 = 2 × 4 = 8. Рівняння сфери з центром у точці O1(0; 0; 0) і радіусом R1 = 8 має вигляд: х2 + у3 + z2 = 64.

3) R1 = ¦-1¦ × 4 = 4. Рівняння сфери з центром у точці О1(0 0; 0) і радіусом R1 = 4 має вигляд: x2 + у2 + z2 = 16.

Відповідь: 1) x2 + у2 + z2 = 4; 2) x2 + у2 + z2 = 64; 3) x2 + у2 + z2 = 16.

13.

Оскільки точки 4(1; 0; z) і В(-1; у; 0) належать сфері x2 + у2 + z2 = 10. Підставивши коoрдинати точки A в рівняння сфери, отримаємо: 12 + 02 + z2 = 10; z2 = 9;

Підставивши координати точки В в рівняння сфери, отримаємо:

(-1)2 + у2 + 02 = 10; y2 = 9; Таким чином, отримали точки і

Відповідь:

14.

1) z = 0; х2 + у2 = 4; центр кола A(0; 0; 0), r = 2.

2) у = 1; x2 + z 2 + 1 = 4; x2 + z2 = 3; центр кола A(0; 1; 0), радіус кола

3) х = 1; 1 + у2 + z2 = 4; у2 + z2= 3; центр кола A(1; 0; 0), радіус кола

3) х + у + z = 2; х2 + у2 + z 2 = 4.

4) Знайдемо відстань р від центра сфери O(0; 0; 0)

До площини заданої рівнянням х + у + z – 2 = 0.

Радіус кола г знайдемо за теоремою Піфагора

Отже, центр колаа радіус

Відповідь: 1) A(0; 0; 0), r = 2; 2) A(0; 1; 0), 3) A(1; 0; 0),

4)

15.

1) Центр сфери (x – а)2 + (у – b)2 + (x – с) 2 = 1 є точка (а; b; c).

Оскільки радіус кулі дорівнює 1, то а = b = с = -1.

Відповідь: (-1; -1; -1).

2) Знайдемо відстань від центра сфери до перерізу

Тоді радіус перерізу дорівнює Площа перерізу

Відповідь:

16.

Нехай ОА – радіус кулі, ОА = 41 дм, OO 1 – відстань від

Центра кулі до січної площини, ОО1 = 9 дм.

За теоремою 2 маємо:

Відповідь: 1600π дм2.

17.

Нехай ОА – радіус сфери,

∠OAO1 = 45°. Проведемо ОО1 + АВ (де АВ – діаметр кола перерізу).

З ΔAO1O:

Отже, довжина кола перерізу С дорівнює С = 2π × АО1 = 2π × 2 = 4π (м).

Відповідь: 4π м.

18.

Нехай ОА – радіус сфери, ОА = R, АС – діаметр кола перерізу, ∠CAB = α. З’єднаємо точки С і В, отримаємо ΔАСВ, ∠ C = 90°, оскільки він спирається на діаметр. Ο1 – центр перерізу

Знайдемо АС з ΔАСВ: АС = АВ × cos ∠CAB = 2 · ОА × cos α = 2R × cos α.

1) R = 5см, α = 45°.

Довжина кола перерізу С дорівнює:

2) R = 2 см, α = 30°.

Довжина кола перерізу С дорівнює:

3) R = 4 см, α = 60°.

Довжина кола перерізу С дорівнює: С = 2π × АО1 = 2π × 2 = 4π (см).

Відповідь: 1) 2) 3) π см.

19.

1)

Нехай ОА = ОВ = 12 см, АВ = 12 см. Оскільки ОА = ОB = 12 см,

То ΔОАВ – рівносторонній, ∠ΑΟΒ = 60°.

Отже, відстань між А і В дорівнює:

2)

Нехай ОА = ОВ = 12 см, АВ = 24 см. Хорда АВ стягує дугу в 180°, отже,

3)

Нехай З ΔСВО:

4)

Нехай ОВ = ОА = 12 см, АВ = 9 см. З ΔСОВ:

Відповідь: 1) 4π см; 2) 12π см; 3) 4)

20.

1 випадок.

Сфери дотикаються зовнішнім дотиком. Нехай ОА і O 1 A – радіуси сфер,

ОА = 12 дм, О1А = 10 дм. OO1 = ОА + О 1 А = 12 дм + 10 дм = 22 дм.

2 випадок.

Сфери дотикаються внутрішнім дотиком. Нехай ОК і O1К – радіуси сфер,

OК = 12 дм, O1K =10 дм. ОО1 = ОА – O1A = 12 дм – 10 дм = 2 дм.

Відповідь: 22 дм або 2 дм.

21.

Нехай ОА – радіус кулі, ОА = 15 см, AO1- висота кульового сегмента.

1) AO1 = AO – OO1 = 15 см – 3 см = 12 см;

2) AO1 = AO – OO1 = 15 см – 5 см = 10 см;

3) AO1 = AO – OO1= 15 см – a см = (15 – a) см.

Відповідь: 1) 12 см; 2) 10 см; 3) (15 – a) см.

22.

1 випадок.

Основи кульового поясу лежать по різні боки від центра кулі.

Нехай ОА, ОВ – радіуси кулі, ОА = ОВ = 5 м. S1, S2- площі основ кульового поясу, S1 = 9π м2, S2 = 16π м2; O1А, О2В – радіуси основ кульового поясу,

O1A + O1O2, O2B + O1O2. S1 = π × Ο1Α2; 9π = π × Ο1Α2; Ο1Α2= 9 (м 2); S2 = π × O2B2;

16 = π × O2Β2·, О2В2 = 16 (м 2). 3 ΔΟΟ1Α:

З ΔΟΟ2В: Ο1O2 = Ο1O + Ο2O = 4 + 3 = 7 (м).

2 випадок.

Основи кульового поясу лежать по один бік від центра кулі.

Нехай ОА и ОB – радіуси кулі, ОА = ОВ = 5.

S 1, S2- площі основ кульового поясу.

S 1 = 16π м2, S2 = 9π м2; Ο1Α, O2В – радіуси основ кульового поясу.

Ο1Α + OO2, O2B + OO2. S1 = π × Ο1Α2; 16π = π × Ο1Α2; Ο1Α2= 16 (м2);

S2 = π × Ο2B2; 9π = π × O2Β2; O2Β2 = 9 (м 2).

3 ΔOO2Β:

3 ΔΟΟ1Α: O1O2 = OO2 – OO1 = 4 – 3 = 1 (м).

Відповідь: 7 м або 1 м.

23.

Нехай AO = R, О – центр кулі, О1 – центр перерізу.

Проведемо через точку А дотичну до кола, ОА + m, тоді Ο1Α + m, отже, ∠Ο1ΑΟ = α, ∠ OO1А = 90°.

З ΔΑΟ1Ο: АО1 = АО × cos ∠Ο 1ΑΟ = r cos α.

Отже, площа перерізу S дорівнює: S = π × АО21 = π × r2‘cos2α.

Відповідь: πr2 cos2α.

24.

Нехай ABC – трикутник, AB = 6 см, BC = 8 см, AC = 10 см, OA – радіус сфери,

OA = 13 см. Виходячи з довжини сторін трикутника, стає очевидним,

Що ABC – прямокутний трикутник і центр описаного кола лежить

На гіпотенузі АС. OO1 + АС.

З ΔAΟ1Ο:

Відповідь: 12 см.

25.

Кола двох великих кругів С1 і С2 – це кола з радіусом R (радіус сфери)

І центр яких співпадає з центром сфери О.

Нехай кола С1 і С2 перетинаються в точках А і В, тоді АВ – діаметр цих кіл.

Оскільки ці кола рівні, то вони діаметром АВ діляться навпіл.

26.

Нехай ОА = г, O1А + ОБ. З ΔΟ1ΑΟ:

Знайдемо площі перерізів січної площини S1 і S2- площа великого круга.

S2=π × ОС2 = π × r2;

Відповідь: 3 : 4.

27.

Нехай центр кулі О, а центри перерізів O1 і О2, спільна хорда АВ, С – її середина. Точки О, О1, С і O2 є вершинами прямокутника. Його діагональ є відрізок ОС.

З ΔСАО: Якщо радіуси перерізів позначити через 2х і 3x,

То О1C2 = 4х2 – 1 і O2С2 = 9×2 – 1. Таким чином, отримаємо рівняння:

4×2 – 1 + 9х2 – 1 = 323; 13×2 = 325; х2 = 25; х = 5 (м), отже, шукані радіуси 10 м і 15 м,

А шукані площі перерізів S1 = 225π см2, S2 = 100π см2.

Відповідь: 100π см2, 225π см2.

28.

Нехай О – центр кулі, О1, О2 – центри перерізів, АВ – спільна хорда, АВ = 16 см. Точки О, O1, O2 і С – є вершинами прямокутника. Його діагональ є відрізок ОС. S1, S, – площі перерізів, S1 = 185π см2, S2 = 230π см2.

3 ΔСВO2:

З ΔСВО1:

З ΔСOO2:

З ΔCAQ:

Відповідь: 21 см.

29.

Нехай О – центр кулі, О1, O2 – центри перерізів, S1, S2- площі перерізів,

ОА = ОВ = ОС = г.

З ΔО1BО:

З AO2AO:

Відповідь: 8 : 5.

31.

Нехай ОА = ОВ = 112 м, площина α дотикається до сфери у точці А, МА =15 м. З’єднаємо точки О і Μ, ΔОАМ – прямокутний, оскільки дотична площина перпендикулярна до радіуса у точці дотику.

З ΔOAM: MB = ОМ – OB = 113 – 112 = 1 (м).

Відповідь: 1м.

32.

1) x2 + y2 + z2 = 6; x + у + z – 6 = 0.

Знайдемо відстань від центру сфери O(0; 0; 0) до площини x + y + z – 6 = 0;

Радіус сфери Отримаємо R < ρ, оскільки

Отже, сфера і площина не мають спільних точок.

2) x2 + у2 + z2= 16; 2х – 2у + z – 12 = 0.

Знайдемо відстань від центра сфери O(0; 0; 0) до площини 2x – 2у + z – 12 = 0;

Радіус сфери R = 4. Отже, R = ρ, тобто площина дотикається до сфери.

Відповідь: 1) не має спільних точок; 2) дотикається.

33.

Нехай куля дотикається до однієї грані двогранного кута у точці А, до другої – у точцi В. ОА + АС, OB + СВ, ОС = а.

1) З ΔОАС: ЗΔАОВ:

2) З ΔАОС: З ΔАОВ:

3) З ΔАОС: З ΔАОВ:

Відповіді: 1) а; 2) 3)

34.

Розглянемо переріз площиною, яка проходить через центр кулі перпендикулярно до ребра двогранного кута. Нехай O1A1 = r, ОА = R; О2Д2 = R1; R + r = QO – QO1.

Відповідь:

35.

1)

Знайдемо радіус сфери вписаної в піраміду ВАВО із формули:

ΔΑΟΒ = 18.

Із ΔΒΟΑ:

Із ΔАОВ:

Із ΔSKA:

S = 36 + 36 + 18 + 54 = 144.

Тоді 72 = 48г,

Тоді рівняння сфери: (х – 1,5)2 +(у + 1,5)2 + (z – 1,5) 2 = 2.25.

2)

Нехай А і В – точки дотику сфери до площин xOz і уОz, тоді рівняння сфери має вигляд (х – З)2 + (у – З)2 + (z – с)2 = 9. Знайдемo с, виходячи з того, що сфера проходить через тoчку М(2; 5; 3): (2 – З)2 + (5 – 3)2 + (3 – с)2 = 9; 1 + 4 + (3 – с)2 = 9;

(3 – с)2 = 4; 3 – с = 2 або З – с = -2; с = 1 або с = 5. Отже, таких сфер дві:

(х – 3)2 + (у – З)2 + (z – 1)2 = 9, (x – З)2 + (у – З)2 + (z – 5)2 = 9.

36.

Оскільки А(-1; 2; -3) – точка дотику, то -: нормальний вектор

Нехай М(х; у; z) – довільна точка шуканої площини, то – вектор,

Що лежить у січній площині.

Оскільки то маємо: (х + 1) × (-1) + (у – 2) × 2 + (z + 3) × (-3) = 0;

-x – 1 + 2у – 4 – Зz – 9 = 0; – х + 2у – 3z = 14; х – 2у + Зz = -14.

Відповідь: х – 2у + Зz = -14.

37.

Нехай площина α дотична до кулі, А – точка дотику, β – площина, проведена під кутом α до першої, ∠BAD = α. Оскільки площина дотикається до кулі у точці А,

OA + α. Отже, ОА перпендикулярна до будь-якої прямої цієї площини, ОА + ED. ∠OAC = 90° – α. З ΔОСА: АС = ОА × cos(90° – α) = R × sin α.

Отже, площа утвореного перерізу: S = π × АС2 = πR2 sin2α.

Відповідь: πR2 sin2α.

38.

Нехай сторони рівнобічної трапеції дотикаються до кулі у точках E, F, К, L кульової поверхні. Оскільки площина ABCD перетинає кулю по колу, то коло з центром у точці О буде вписаним у трапецію ABCD. Проведемо BP + AD,

Оскільки коло вписане в трапецію, то AD + CD = ВС + AD;

АВ + CD = 52; АВ = CD = 26 (см).

З ΔВАР:

Отже, радіус вписаного кола О1К = 12 см.

З ΔΟ1КΟ:

Відповідь: 35 см.

39.

На рисунку зображено переріз куль площиною, яка проходить через їх центри О1 і О2

Нехай Ο1Α = 2 м, О2A = 4 м, O1O2 = 3 м. Оскільки O1A + O2A > ОО1 і О2A – Ο1Α < O1O2,

То поверхні куль перетинаються по колу. АВ діаметр цього кола, знайдемо площу трикутника АO1O2 за формулою Герона:

Де

З іншого боку

Відповідь:

40.

1) х2 + y2 + z2 = 100; центр сфери O(0; 0; 0), радіус R = 10.

Х2 + у2 + z2 – 38x – 16у – 8z + 152 = 0;

(x2 – 38x + 361) + (у2 – 16y + 64) + (z2 – 8z + 16) = 289;

(x – 19)2+ (у – 8)2 + (z – 4)2 = 289; центр сфери О1(19; 8; 4), R1 = 17.

Знайдемо відстань між центрами сфер:

R1- R = 17 – 10 = 7; R1 + R = 17 + 10 = 27.

Якщо R1- R < OO1 < R1 + R, то сфери перетинаються.

7 < 21 < 27. Отже, сфери перетинаються.

2) х2 + у2 + z2 = 4; центр сфери O1 (0; 0; 0), радіус R1 = 2.

Х2 + у2 + z2- 24х – 12у + 16z + 168 = 0;

(x2 – 24x+ 144) + (у2 – 12y + 36) + (z2 + 16z + 64) = 76;

(x – 12)2 + (у – 6)2 + (z + 8)2 = 76; центр сфери O2(12; 6; -8),

Радіус

Знайдемо відстань між центрами сфер.

R2- R1 = 8,71 – 2 = 6,71; R2 + R1 = 2 + 8,71 = 10,71.

ОО1 > R2 + R1, отже, сфери не перетинаються.

Відповідь: 1) перетинаються; 2) не перетинаються.

41.

Рівняння площини, яка паралельна площині 2x – 3у + z + 1 = 0,

Має вигляд: 2x – 3у + z + d = 0. Оскільки площина 2x – 3y + z + d = 0

Проходить через центр сфери (0; 0; 0), то маємо: 2 × 0 – 3 × 0 + 0 + d = 0;

Отже, шукана площина 2x – 3у + z = 0.

Відповідь: 2х – 3у + z = 0.

42.

На рисунку зображено переріз кулі площиною, яка проходить через їх центри O1і O2 (рис. 1).

Нехай AO1 = 25 см, АО2 = 30 см. Поверхні кулі перетинаються по колу, довжина якої С = 48π см; С = 2π × АС; 48π = 2π × АС; АС = 24 (см).

З ΔО2AС:

З ΔО1АС:

Отже: O1O2 = O2C+ O1C = 18 + 7 = 25 (см).

Або при розташуванні сфер, як зобрaжено на рис. 2. О1O2 = O2C – O1C = 18 – 7 = 11 (см).

Відповідь; 11 см або 25 см.

43.

1)

Геометричним місцем прямих, що дотикаються до даної сфери в заданій

Точці А є дотична площина до сфери, проведеної через задану точку А.

2) Геометричним місцем прямих, що паралельні даній прямій а

І дотикаються до даної сфери з центром О є циліндрична поверхня,

Твірні якої паралельні прямій а і дотикаються до сфери.

3)

Геометричним місцем прямих, що дотикаються до даної сфери з центром O і проходять через задану точку S є конічна поверхня з вершиною S i твірною SA, де А – точка дотику прямої і сфери.

44.

Геометричним місцем точок рівновіддалених на а від даної точки М є сфера з центром в точці М і радіуса а. Геометричним місцем точок віддалених на b від даної площини є дві площини, які паралельні даній площині і знаходяться на відстані b від неї. Отже, шуканим геометричним місцем точок є переріз сфери і двох паралельних площин. Можливі випадки: шукане геометричне місце точок є:

А) два кола;

Б) коло і точка;

В) дві точки;

Г) порожня множина;

Д) одна точка.

45.

Геометричним місцем точок, які є центрами сфер радіусів R, що дотикаються до сфери радіуса r, є:

А)

Сфера, центр якої збігається з центром сфери радіуса r і радіус якої дорівнює r + R, якщо R > r;

Б)

Дві сфери, центри яких збігаються з центром сфери радіуса r і радіус яких дорівнює

R + R і r – R, якщо R < г.

Геометричним місцем точок, які є центрами перерізів даної кулі радіуса R, які мають однакові площі заданої величини Q є:

А)

Центр заданої кулі, якщо Q = πR2;

Б)

Порожня множина, якщо Q > πR2;

В) сфера радіуса центр якої збігається з центром заданої кулі, якщо Q < πR2.

Геометричним місцем точок, які є серединами хорд сфери, які проведені з однієї точки М є: сфера діаметром якої є ОМ, де О – центр даної сфери, а центр сфери – середина відрізка ОМ.

Геометричним місцем точок, які є серединами хорд, які паралельні даній прямій a є великий круг кулі, площина якого перпендикулярна до прямої а.

Геометричним місцем точок, які є серединами хорд даної сфери, якщо довжина кожної хорди дорівнює а є:

А)

Порожня множина, якщо а > 2R, де R – радіус даної сфери;

Б)

Центр даної сфери, якщо а = 2R, де R – радіус даної сфери;

В) сфера радіуса якщо а < 2R, де R – радіус даної сфери.


1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (1 votes, average: 5.00 out of 5)
Loading...


Related posts:

  1. Об’єми кулі та її частини. Площа сфери 1. Обчислимо площу поверхні Землі: S= 4πR2 = 4π · 63752. Площа суші складає Відповідь: π × 63752. 2. Знайдемо об’єм кавуна радіуса 10 см: На одного їдока приходиться Знайдемо об’єм кавуна-радіусом 20 см: На одного їдока приходиться Відповідь: у вісьмох. 3. Оскільки передбачається, що каша у двох котлах однакова, То в другому казані відношення […]...

  2. Рівняння сфери, площини і прямої 79. (x – 1)2 + у2 + (2 – 4)2 = 25. 80. A(10; 0; 0), В(0; 10; 0), С(0; 0; 10). 81. M(3; 2; -1) не належить сфері. X2+ у2 + z2 – 2х + 4у – 6z – 2 = 0, бо 32 + 22 + (-1)2 – 2 × 3 + 4 […]...

  3. Вписані кулі Геометрія Комбінації геометричних тіл Вписані кулі Якщо куля вписана в призму, то в її перпендикулярний переріз можна вписати коло. Висота призми дорівнює діаметру кола, вписаного в перпендикулярний переріз призми, тобто діаметру вписаної кулі. Центр кулі – середина висоти призми, що проходить через центр кола, яке вписане в перпендикулярний переріз. Центр кулі, яка вписана в пряму […]...

  4. Метод координат. Рівняння сфери, площини, прямої Завдання 2 1. 1) Рівняння сфери, усі точки якої рівновіддалені від початку координат на 1 од. має вигляд х2 + у2 + z2= 1. 2) Оскільки центр сфери – початок координат і вона перетинає ось Оz у точці (0; 0; 1), то вона має радіус 1, а значить, її рівняння; х2 + у2 + z2 […]...

  5. Куля. Площа поверхні та об’єм кулі УРОК № 58 Тема. Куля. Площа поверхні та об’єм кулі Мета уроку: повторення, приведення в систему й розширення відомостей про кулю (сферу), площу поверхні та об’єм кулі; формування вмінь учнів знаходити площі поверхонь і об’єми куль. Тип уроку: комбінований. Наочність і обладнання: таблиця “Початкові відомості стереометрії” [13]; моделі куль. Вимоги до рівня підготовки учнів: пояснюють, […]...

  6. Описані кулі Геометрія Комбінації геометричних тіл Описані кулі Кожна грань вписаного у сферу многогранника є вписаним у деяке коло многокутником. Основи перпендикулярів, які опущені з центра описаної кулі на площини граней, є центрами описаних навколо граней кіл. Отже, центром кулі, описаної навколо многогранника, є точка перетину перпендикулярів до площини граней, які проведені через центри кіл, описаних навколо […]...

  7. Об’єм кулі та її частин 1338. А) Нехай ABCDA1В1C1D1 – куб. Оскільки куля вписана в куб з ребром а, то 2г = а, Отже, об’єм кулі Б) Оскільки діагональ куба дорівнює двом радіусам кулі, то знайдемо діагональ З ΔB1BD: Отже, радіус, кулі Об’єм кулі V дорівнює: Відповідь: а) б) 1339. Нехай SA – твірна конуса. ∠SAO = α. З ΔSAO: […]...

  8. Дотична до кола, її властивості Розділ 4. Коло і круг. Геометричні побудови § 22. Дотична до кола, її властивості 607. Проведемо радіус ОР, а потім за допомогою косинця побудуємо пряму m, перпендикулярну до радіуса. За теоремою 2 пряма m є дотичною до кола. 608. Проведемо радіус ОМ, а потім за допомогою косинця побудуємо пряму n, перпендикулярну до радіуса. За теоремою […]...

  9. Об’єм кулі Геометрія Об’єми тіл Об’єм кулі На рисунку зображено кулю, кульовий сегмент і кульовий сектор. Об’єм кулі: , де R – радіус кулі. Об’єм кульового сегмента: , де H – висота кульового сегмента, R – радіус кулі. Об’єм кульового сектора: , де R – радіус кулі, H – висота відповідного кульового сегмента. Іноді треба знайти об’єм […]...

  10. Властивості конуса 1. 1) Твірна конуса не може утворювати з його основою прямий кут, оскільки Вона є гіпотенузою трикутника обертання, яка утворює бічну поверхню конуса. 2) Теж не може (обгрунтування у п. 1). Якщо конус зрізаний 1) ні; 2) так. Відповідь: 1) ні; 2) ні для зрізаного конуса 1) ні, 2) так. 2. Нехай SA – твірна […]...

  11. Зовнішній кут трикутника та його властивості Розділ 3. Трикутники. Ознаки рівності трикутників § 18. Зовнішній кут трикутника та його властивості 438. ∠BAK – зовнішній кут при вершині А. 439. ∠LDP – зовнішній кут при вершині D. 441. ∠A + ∠B = 70° – за властивістю зовнішнього кута трикутника. 442. Зовнішній кут трикутника при вершині С дорівнює 74° згідно з властивістю зовнішнього […]...

  12. Циліндр, описаний навколо кулі Геометрія Комбінації геометричних тіл Циліндр, описаний навколо кулі Площина, проведена через центр кулі паралельно твірним циліндра (рисунок нижче зліва), є площиною симетрії тіла. У цьому випадку висота циліндра дорівнює діаметру кулі. В осьовому перерізі цього тіла отримаємо прямокутник, у який вписане коло (рисунок справа). Але із цього випливає, що осьовий переріз даного циліндра – квадрат. […]...

  13. Прямокутні трикутники. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників Розділ 3. Трикутники. Ознаки рівності трикутників § 19. Прямокутні трикутники. Властивості та ознаки рівності прямокутних трикутників 466. 1) PF – гіпотенуза, PL і LF – катети. 2) PF довша за PL, PF довша за LF, оскільки PF – гіпотенуза. 467. На рис. 321 трикутники рівні за двома катетами. Оскільки АС = ML, СВ = LP, […]...

  14. Властивості кола. Дотична до кола § 3. Паралельні прямі. Сума кутів трикутника § 19. Властивості кола. Дотична до кола Практичні завдання 507. АК = КВ. 508. AB ⊥ CD – дотичні до кола. 509. АС i ВС – дотичні до кола. 510. Таких кіл може бути два. Вправи 511. CD ⊥ AB. ?АОК = ?ВОК (за катетом і гіпотенузою: ОК […]...

  15. Геометричні тіла 628. А) спільна вершина; Б) спільне ребро; В) спільна грань; Г) спільна діагональ. 629. А) дві кулі не мають спільних точок; Б) дві кулі мають одну спільну точку; В) дві кулі, які перетинаються; Г) кулі мають різні радіуси і спільний центр. 630. Дано точку О і r > 0, г – відстань. ОХ ≤ r. […]...

  16. Коло і його елементи Розділ 4. Коло і круг. Геометричні побудови § 21. Коло і його елементи 578. PL – хорда, що проходить через центр кола, називається діаметром. 579. 1) 5 х 2 = 10(см); 2) 4,7 х 2 = 9,4 (дм). 580. 1) 8 мм х 2 = 16 мм; 2) 4,8 см х 2 = 7,6 см. […]...

  17. Взаємне розміщення двох кіл Розділ 4. Коло і круг. Геометричні побудови § 25. Взаємне розміщення двох кіл 656. На рис. 404 кола перетинаються. На рис. 405 кола дотикаються. На рис. 406 кола не мають спільних точок. 657. 1) Кола мають внутрішній дотик. 2) Кола перетинаються. 3) Кола концентричні. 658. 1) Кола мають зовнішній дотик. 2) Кола не перетинаються. 659. […]...

  18. Рівняння кола УРОК № 26 Тема. Рівняння кола Мета уроку: виведення рівняння кола. Формування вмінь учнів використовувати рівняння кола до розв’язування задач. Тип уроку: комбінований. Наочність і обладнання: таблиця “Декартові координати і вектори на площині” [13]. Вимоги до рівня підготовки учнів: записують і пояснюють рівняння кола. Розпізнають рівняння кола. Хід уроку I. Перевірка домашнього завдання Перевірити наявність […]...

  19. Властивості прямокутного трикутника § 3. Паралельні прямі. Сума кутів трикутника § 17. Властивості прямокутного трикутника 457. Найбільший катет трикутника дорівнює 24 см. 458. ?DEF – прямокутний, ∠F = 90°, ∠D = 30°, DE = 18 см. Відповідь: 9 см. 459. ?KCM – прямокутний, ∠M = 90°, ∠C = 60°, MC = 7 см. ∠MKC = 90° – 60° […]...

  20. Вписана та описана сфера 1. Нехай О А – радіус кулі, ОА = 1 см. АВ = ΚΚ1 = 2ОА = 2 см. CD = 2СО = 2 см. Sбіч. = PKLMN× КК1 = 4 × 2 × 2 = 16 (см2). Відповідь: 16 см2. 2. Нехай АВ =AD = ВВ1 = а. З ΔABD: З ΔΒ1BD: В1D2 = […]...

  21. Точки та лінії небесної сфери § 2. Основи практичної астрономії 2. Точки та лінії небесної сфери На небесній і земній сферах можна провести деякі кола, за допомогою яких визначаються небесні координати світил (рис. 2.3, а). На земній сфері існують дві особливі точки – географічні полюси, де вісь обертання Землі перетинає поверхню планети (N, S – відповідно Північний та Південний полюси). […]...

  22. Теорема Гульдіна 1379. У трикутнику ABC AB = ВС, AC = a, BK + AC, BK = h. Центром мас трикутника ABC є точка O – точка перетину медіан трикутника ABC: Тоді і Відповідь: 1380. ABCD – ромб, AB = a, ∠BAD = a, BD? I. SABCD = AB2 sin∠BAD = а2 sin α. Центром мас ромба […]...

  23. Властивості й ознака рівнобедреного трикутника Розділ 1. Найпростіші геометричні фігури та їх властивості § 12. Властивості й ознака рівнобедреного трикутника 476. На мал. 72: ML і МК – бічні сторони, KL – основа, ∠K = ∠L. 477. KD = DF, КЕ = EF, ∠K = ∠F, ∠KDE = ∠FDE, ∠DEK = ∠DEF = 90°. 478. Щоб провести бісектрису, медіану і […]...

  24. Властивості циліндра 1. 1) В перерізі циліндра площиною трикутник отримати не можна. 2) Прямокутник може бути перерізом циліндра, який проходить через вісі циліндра, або їй паралельний. 3) Трапеція не може бути перерізом циліндра. 4) Квадрат може бути перерізом циліндра, який є рівностороннім. Відповідь: 1) ні; 2) так; 3) ні; 4) так для рівносторонього циліндра. 2. ГМТ, рівновіддалених […]...

  25. Описана піраміда Геометрія Комбінації геометричних тіл Описана піраміда Якщо вершина піраміди проектується в центр кола, яке є вписаним в основу піраміди, то центр вписаної кулі – точка перетину висоти піраміди з бісектрисою лінійного кута двогранного кута при ребрі основи. У будь-яку правильну піраміду можна вписати кулю, центр якої лежить на висоті піраміди. Точки дотику кулі й бічних […]...

  26. Суміжні та вертикальні кути § 1. Найпростіші геометричні фігури та їхні властивості § 4. Суміжні та вертикальні кути Практичні завдання 86. ∠BAC – гострий, ∠OAB – суміжний до кута ВАС. ∠АОВ – прямий, ∠COA – суміжний до кута АОВ. ∠BOC – тупий, ∠AOB – суміжний до кута ВОС. 87. ∠AOC і ∠COB – суміжні. 88. а) ∠ABD i ∠CBD; […]...

  27. Властивості кутів трикутника Розділ 1. Найпростіші геометричні фігури та їх властивості § 10. Властивості кутів трикутника 344. ∠E = 60°, ∠F = 40°, ∠D = 80°. ∠E + ∠F + ∠D = 60° + 40° + 80° = 180°. 345. На мал. 208 неправильно сказано градусну міру кутів? АВС, оскільки? ABC – прямокутний, a ∠B + ∠C = […]...

  28. Куля і сфера 1028. Нехай OA и OB – радіуси кулі з центром в точці О, OA = OB = 50 см, AB = 80 см. Проведемо OD + AB. ΔAOB – рівнобедрений (OA = OB — як радіуси кулі). OD – висота, а також медіана. Отже, AD = DB = 80 : 2 = 40 (см). З […]...

  29. Рівнобедрений трикутник і його властивості § 2. Трикутники 8. Рівнобедрений трикутник і його властивості Практичні завдання 196. 197. 198. Вправи 199. 1) Р = 13 + 2 х 8 = 29(см). Відповідь: 29 см. 2) Нехай х см – бічна сторона, тоді 15 + 2х = 39, тоді 2х = 39 – 15; 2х = 24; х = 24 : […]...

  30. Описане та вписане коло трикутника § 3. Паралельні прямі. Сума кутів трикутника § 20. Описане та вписане коло трикутника 540. 1) Різносторонній гострокутний трикутник. 2) Прямокутний трикутник. 3) Тупокутний трикутник. 541. 1) Рівнобедрений гострокутний трикутник. 2) Рівнобедрений тупокутний трикутник. 542. 543. 544. Вправи 545. Медіана BD рівнобедреного трикутника ABC є в той же час і серединним перпендикуляром до сторони АС […]...

  31. Відрізок. Вимірювання відрізків. Відстань між двома точками Розділ 1. Елементарні геометричні фігури та їхні властивості § 2. Відрізок. Вимірювання відрізків. Відстань між двома точками 13. На рисунку зображені відрізки: AB, AK, BK, ВМ. AK = 38 мм, MB = 12 мм. 14. На рисунку зображені відрізки: PC, PD, CD, PT. PC = 9 мм. PD = 31 MM. PT = 27 мм. […]...

  32. Властивість паралельних прямих. Властивості кутів, утворених при перетині паралельних прямих січною Розділ 2. Взаємне розміщення прямих па площині § 10. Властивість паралельних прямих. Властивості кутів, утворених при перетині паралельних прямих січною 199. 1) ∠1 = ∠8, ∠6 = ∠3 (як відповідні кути при паралельних прямих а і b і січній с). 2) ∠2 = ∠4 (як внутрішні різносторонні кути при паралельних прямих а і b і […]...

  33. Коло і круг Розділ 1. Найпростіші геометричні фігури та їх властивості § 15. Коло і круг 588. 1) Хордами є відрізки: KB, NC, KN, CB, LD. 2) Діаметрами є відрізки: LD, NC, КВ. 3) Радіусами кола є відрізки: OL, OK, ОС, OD, OB, ON. 589. Дотичні до кола: АС, CB, AB. ON ⊥ AC, ОМ ⊥ CB, OK […]...

  34. Описані і вписані кола Розділ 1. Найпростіші геометричні фігури та їх властивості § 17. Описані і вписані кола 671. Коло, описане навколо трикутника, зображено на мал. 372. 672. Коло, вписане у трикутник, зображено на мал. 375. 673. Центр кола, описаного навколо гострокутного трикутника, лежить всередині трикутника. Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутника, лежить на середині гіпотенузи. Центр кола, описаного […]...

  35. Куля Геометрія Тіла обертання Куля Кулею називається тіло, що складається з усіх точок простору, які розташовані від даної точки на відстані, що не більша за дану. Ця точка називається Центром кулі, а дана відстань – Радіусом кулі. Межа кулі називається Кулевою поверхнею, або Сферою. Відрізок, що сполучає дві точки кульової поверхні й проходить через центр кулі, […]...

  36. Кут. Вимірювання кутів. Бісектриса кута Розділ 1. Елементарні геометричні фігури та їхні властивості § 3. Кут. Вимірювання кутів. Бісектриса кута 33. 1) М – вершина кута, МА і МК – сторони кута АМК; 2) L – вершина кута, LP і LF – сторони кута PLF; 3) N – вершина кута, NB i NC – сторони кута BNC. 34. 1) O […]...

  37. Рівняння та їх властивості. Розв’язування задач за допомогою рівнянь Урок № 106 Тема. Рівняння та їх властивості. Розв’язування Задач за допомогою рівнянь Мета: діагностика рівня засвоєння знань та вмінь, передбачених програмою з названої теми. Тип уроку: перевірка і корекція знань, умінь та навичок. Хід уроку I. Організаційний момент (Перевіряємо готовність до уроку, збираємо робочі зошити на перевірку; оголошуємо умову та вимоги до виконання завдань […]...

  38. Медіана, бісектриса і висота трикутника. Властивість бісектриси рівнобедреного трикутника Розділ 3. Трикутники. Ознаки рівності трикутників § 15. Медіана, бісектриса і висота трикутника. Властивість бісектриси рівнобедреного трикутника 351. 1) AT – висота трикутника ABC. 2) AN – медіана трикутника ABC. 3) АР – бісектриса трикутника? AВС. 352. Оскільки AK – висота, то ∠BKA = ∠CKA = 90°. 353. Оскільки АК – бісектриса, то ∠BAK = […]...

  39. Комбінації тіл 1073. Нехай ABCDA1B1C1D1 – куб, вписаний в кулю з центром О, B1O = OD = 8 см. Тоді B1D = 2В1О = 2 × 8 = 16 (см). Відповідь: 16 см. 1074. Див. рис. 1075. Див. рис. 1076. Див. рис. 1077. Див. рис. 1078. Див. рис. 1079. Нехай ABCA1B1C1 – правильна трикутна призма. Sбіч. = […]...

  40. Рівняння із вдома змінними 870. Рівняння із двома змінними: б) x + 2у = 7; г) х – у = 1; д) 12x + 10у = 0; е) 0x – 2у = 3; ж) 3x + 0у = 0; ж) 0x + 0у = 0; з) 0x + 0y = 1. 871. 2х – у = 3. А) x […]...

Ви зараз читаєте: Властивості сфери і кулі
«
»