Головна ⇒ 📌Плани-конспекти уроків по математиці ⇒ Кут між мимобіжними прямими

Кут між мимобіжними прямими

Урок 53

Тема. Кут між мимобіжними прямими

Мета уроку: формування поняття кута між мимобіжними прямими, а також вмінь учнів знаходити кути між мимобіжними прямими.

Обладнання: стереометричний набір, моделі куба, тетраедра, прямокутного паралелепіпеда.

Хід уроку

II. Перевірка домашнього завдання

В кінці уроку збираються учнівські зошити для перевірки їх ведення і виконання домашнього завдання.

III. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу

Введемо поняття кута між прямими в просторі.

Якщо дві прямі перетинаються,

вони утворюють чотири кути (попарно вертикальні або попарно суміжні). Кутова міра меншого з них називається кутом між даними прямими, що перетинаються. Кут між прямими, що перетинаються, не перевищує 90°.

Якщо прямі перпендикулярні, то величина кута між цими прямими дорівнює 90°.

Кут між паралельними прямими вважають таким, що дорівнює 0°. Слід зазначити, що кут між прямими – це не геометрична фігура, це – величина.

Розв’язування вправ

1. ABCDA1B1С1D1 – куб. Знайдіть кут між прямими:

А) АВ1 і AD1; б) АВ1 і AD; в) АВ1 і АВ; г) АС і AC1.

(Відповідь: а) 60° ; б) 90° ; в) 45° ; г) arcsin )

Прямі а і b перетинаються під кутом 30° , а прямі а і с – під кутом 60° . Чи можуть бути перпендикулярними прямі b і с? (Відповідь. Так)

3. ABCDA1B1C1D1 – прямокутний паралелепіпед, в якому АВ = а, AD = b, АА1 = с. Знайдіть кут між прямими:

А) А1В і АВ; б) A1D і AD; в) BD і АВ; г) ВА1 і DA1.

(Відповідь, a) arctg ; б) arctg; в) arctg ; г) arccos )

Кутом між мимобіжними прямими називається кут між прямими, які перетинаються і паралельні відповідно даним мимобіжним прямим.

Кут між мимобіжними прямими, як і між прямими однієї площини, не може бути більше 90°. Дві мимобіжні прямі, які утворюють кут в 90°, називаються перпендикулярними.

1. Покажіть перпендикулярні мимобіжні прямі в оточенні.

2. Дано зображення куба (рис. 275). Знайдіть кут між мимобіжними прямими а і b.

Рис. 275

(Відповідь, а) 90°; б) 45° ; в) 60°; г) 90°; д) 90°; е) 90°)

3. Дано куб ABCDA1B1C1D1. Доведіть, що АВ1CD1.

4. Пряма SA перпендикулярна до сторін АВ і АС трикутника АВС. Знайти кут між прямими SA і ВС. (Відповідь. 90°)

5. Точки К і М середини ребер АВ і DC трикутної піраміди DABC, кожне ребро якої дорівнює а. Доведіть, що KMАВ. Знайдіть довжину відрізка KM.

(Відповідь. )

6. Знайдіть кут між мимобіжними діагоналлю грані куба і діагоналлю куба.

Знайдемо кут між діагоналлю ВD1 куба і діагоналлю DC1 грані куба (рис. 276). Добудуємо до даного куба куб ADMNA1D1M1N1 (рис. 277), тоді кут між прямими BD1 і DC1 дорівнює куту між прямими BD1 і D1M. Нехай АВ = а; тоді D1M = А, AD1 = A, ВМ = А.

Із? BD1M маємо:

ВМ2 = DB2 + D1M2 – 2AD1 – D1M cosBD1M, або

5а2 = 2а2 + 3а2 – 2А – A cos BD1M;

5а2 = 5а2 – 2А2 cos <BD1M;

2А2 cos <BD1M = 0;

Cos <BD1M = 0;

<BD1M = arccos 0 = 90°.

Відповідь. 90°.

7. Довести, що кут між мимобіжними прямими не залежить від вибору прямих, що перетинаються.

Враховуючи означення кута між мимобіжними прямими, можна дати узагальнене означення перпендикулярності прямої і площини, ознаки перпендикулярності прямої і площини, теореми про три перпендикуляри.

Якщо пряма перпендикулярна до площини, то вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині.

Якщо пряма перетинає площину, перпендикулярна до двох прямих цієї площини, що перетинаються, то вона перпендикулярна до площини.

Узагальнена теорема про три перпендикуляри

Будь-яка пряма на площині, перпендикулярна до проекції похилої на цю площину, перпендикулярна і до похилої. І навпаки: якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і до проекції похилої.

1. Задача № 30 із підручника (с. 56).

2. Якщо пряма, яка перетинає площину, перпендикулярна до двох прямих цієї площини, що перетинаються, то вона перпендикулярна до площини. Довести.

3. Задача № 33 із підручника (с. 56).

4. Дано куб ABCDA1B1C1D1. Доведіть, що АС1BD.

5. ABCD – ромб (рис. 278), пряма SO перпендикулярна до площини АВС. Доведіть, що SCBD.