Головна ⇒ 📌Плани-конспекти уроків по математиці ⇒ Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин

Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин

Урок 38

Тема. Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин

Мета уроку: формування поняття перпендикулярності площин. Вивчення ознаки перпендикулярності площин.

Обладнання: стереометричний набір, моделі куба і прямокутного паралелепіпеда.

Хід уроку

1. Перевірити виконання задач № 49, 50 за записами, зробленими до початку уроку на дошці.

Нехай AB?; А?, d?; АВ = b, ACD, AC = a (рис. 214). За теоремою про три перпендикуляри ВС

class=""/>D, отже, ВС – відстань від точки В до прямої d. Із? АВС ВС =

Перпендикулярні площини. Ознака перпендикулярності площин

Відповідь..

Нехай FBQD – квадрат (рис. 215). Оскільки точка А рівновіддалена від сторін квадрата, то основа перпендикуляра АО точка О (АО(АВС)) є центром кола, вписаного в квадрат FBCD, тобто точка О – точка перетину діагоналей квадрата. Проведемо ОМCD, тоді AMCD, AM = a. FC = BD = d.

Із? FCD FD = FC – cos45° = d – = . Тоді ОМ =

class=""/>FD =

Із? АОМ AO = = = .

Відповідь. .

2. Самостійна робота.

Варіант 1

Периметр правильного трикутника дорівнює 36 см, а відстані від деякої точки до кожної із сторін трикутника – 10 см. Знайти відстань від цієї точки до площини трикутника.

Варіант 2

Площа правильного трикутника дорівнює 108 см2. Точка віддалена від площини трикутника на 8 см і рівновіддалена від його сторін. Знайти відстані від цієї точки до сторін трикутника.

Варіант 3

Сторони трикутника дорівнюють 13, 14 і 15 см. Точка простору віддалена від кожної сторони цього трикутника на 5 см. Знайти відстань від цієї точки до площини трикутника.

Сторони трикутника дорівнюють 36, 25 і 29 см. Відстань від деякої точки до площини трикутника дорівнює 15 см. Відстані від цієї точки до сторін трикутника рівні. Знайдіть ці відстані.

Відповідь. Варіант 1. 8 см. Варіант 2. 10 см. Варіант 3.3см. Варіант 4.17 см.

II. Сприйняття й усвідомлення нового матеріалу

Дві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними, якщо третя площина, проведена перпендикулярно до лінії перетину цих площин, перетинає їх по перпендикулярних прямих. На рис. 216 ??, бо площини? і? перетинаються по прямій с, площина?, перпендикулярна до с, перетинає? і? по прямих а і b, які перпендикулярні.

Означення перпендикулярності площин не залежить від вибору площини?. Дійсно, візьмемо іншу площину?1, перпендикулярну до прямої с (рис. 217).

Оскільки с? та прямі a і b лежать у площині? і перетинаються в точці А, то сА, сB (за означенням перпендикулярності прямої і площини).

Аналогічно сА1, сB1. Крім того, а і а1b, b і b1 лежать відповідно в площинах? і?. Отже, а || а1 і b || b1. Оскільки а b, а || a1 і b || b1, то а1B1 (теорема 3.1).

1. Наведіть приклади моделей перпендикулярних площин із оточення.

2. Покажіть на моделі прямокутного паралелепіпеда перпендикулярні грані (площини).

3. Дано зображення куба ABCDA1B1C1D1. Укажіть площини, які перпендикулярні до площини:

А) АВС; б) ADC1; в) АСС1.

4. На двох перпендикулярних площинах вибрали по прямій. Чи може статися, що ці прямі:

А) паралельні; б) перетинаються; в) мимобіжні?

Відповідь проілюструйте прикладами з оточення.

5. Задача № 59 (1, 3, 5) із підручника (с. 39).

Ознака перпендикулярності площин

Доведення ознаки перпендикулярності двох площин провести, як це зроблено в підручнику (§ 3, п. 20, теорема 3.6).

Подамо зразок запису теореми 3.6 на дошці і в зошитах.

Теорема.

Дано:а, b, b?, ?, b?.

Довести: ? ? (рис. 218).

Нехай? і? перетинаються по прямій с, а пряма c перетинається з b в точці А. Через точку А в площині? проведемо пряму а, аС. Через а і b проведемо площину?, сА, сB, отже, ?С. Оскільки аB, то??.

Розв’язування задач,

1. Як на практиці встановити, чи перпендикулярна площина стіни до площини підлоги?

2. ABCD – квадрат, MD(АВС) (рис. 219). Доведіть, що:

А) (MAD)(MCD); б) (MBC)(MCD).

3. У трикутнику АВС <C = 90°; PB(ABC) (рис. 220). Доведіть, що (РАС)(РВС).

4. Задача № 54 із підручника (с. 38).

5. Чи правильні твердження:

А) через точку, взяту поза площиною, можна провести площину, перпендикулярну до цієї площини, і притому тільки одну;

Б) якщо площина перпендикулярна до даної площини, то вона перпендикулярна і до довільної прямої, паралельної цій площині?

6. Задача № 55 із підручника (с. 38).

7. Задача № 61 із підручника (с. 39).

III. Домашнє завдання

§3, п. 20; контрольні запитання № 11, 12;

Задачі № 59 (2; 4; 6), 60 (с. 39).

IV. Підведення підсумку уроку

Запитання до класу

1) Які площини називаються перпендикулярними?

2) Сформулюйте ознаку перпендикулярності площин.

3) Дано куб ABCDA1B1C1D1. Враховуючи, що ребра куба, які виходять з однієї вершини, попарно перпендикулярні, укажіть серед наведених тверджень правильні:

А) площини АD1С і AD1D перпендикулярні;

Б) площини AD1C і CDD1 перпендикулярні;

В) площини AD1C і ADC перпендикулярні;

Г) площини ADD1 і ADC перпендикулярні.

4) Дано дві перпендикулярні площини? і? та пряму с, яка перпендикулярна до площини?. Укажіть, які з наведених тверджень правильні, а які – неправильні:

А) пряма с обов’язково належить площині?;

Б) пряма с може бути паралельною площині?;

В) якщо пряма с, належить площині?, то вона паралельна лінії перетину площин? і?;

Г) будь-яка площина, яка містить пряму с, перпендикулярна до площини?.